Un esercizio per maturandi
Segnalo un interessante esercizio, peraltro sicuramente alla portata di uno studente del V anno.
Prima una definizione (che credo comunque si nota a tutti):
Dato un insieme $S$, una funzione $d : S \times S \rightarrow [0, + \infty[$ si dice una metrica su $S$ se sono soddisfatte le proprieta' seguenti:
1) $d (x, y) = 0 \iff x = y$, $\forall x, y$
2) $d (x, y) = d (y, x)$, $\forall x, y$
3) $d (x, z) <= d (x, y) + d (y, z)$, $\forall x, y, z$.
Bene!
Dimostrare che posto $d (u, v) = \int_{-1}^{1} | u (x) - v (x) | dx$, $d$ e' una metrica sull'insieme delle funzioni reali continue su $[-1, 1]$.
Prima una definizione (che credo comunque si nota a tutti):
Dato un insieme $S$, una funzione $d : S \times S \rightarrow [0, + \infty[$ si dice una metrica su $S$ se sono soddisfatte le proprieta' seguenti:
1) $d (x, y) = 0 \iff x = y$, $\forall x, y$
2) $d (x, y) = d (y, x)$, $\forall x, y$
3) $d (x, z) <= d (x, y) + d (y, z)$, $\forall x, y, z$.
Bene!
Dimostrare che posto $d (u, v) = \int_{-1}^{1} | u (x) - v (x) | dx$, $d$ e' una metrica sull'insieme delle funzioni reali continue su $[-1, 1]$.
Risposte
"WiZaRd":
spero di non irritare né te né alcun altro del forum con la (molto probabile) stupidità delle mie domande e attendendo risposte dico che secondo me da domani a lunedì non riuscirò a stare lontano da questo forum (alla faccia della bella preparazione per gli orali)
Dunque...
1) qualcosa sarebbe cambiato, infatti ho usato il fatto che $a\inQQ$, che segue dal fatto che $a\in[a,b]$. Ovviamente la dimostrazione può essere adattata al caso $(a,b)$: si prende $c\in(a,b)$ e si converge a $c$, invece che ad $a$.
2) $a,b$ appartengono sempre ad $[a,b]$, per definizione. Infatti, se $a\leb$, si definisce $[a,b]={x\inRR: a\lex\leb}$.
$a$ e $b$ possono essere quello che vogliono: pensa all'intervallo $[1,\pi]$, in cui $a\inQ$ e $b\inRR-QQ$. Nella mia dimostrazione sono entrambi dello stesso tipo per il semplice motivo che ho supposto per assurdo che tutti gli elementi di $[a,b]$ fossero razionali oppure irrazionali.
3) per definizione di limite: scegli $\varepsilon=b-a$, allora definitivamente deve essere $|x_n-a|
4) certo! per definizione $q[a,b]={qx,x\in[a,b]}$
5) ce lo assicura il seguente ragionamento: $0$ è il limite della successione $1/n$ (che vi converge da destra) e, quindi, in ogni intervallo $[0,a]$ ci sono elementi della forma $1/n$ che sono razionali.
ok...grazie
adesso ti faccio vedere la mia fantasia dove arriva così ci facciamo due risate dopo che trovi tutti gli errori
A) se mi azzardassi a dimostrare che non esistono irrazionali col metodo del passo 1 andrebbe bene...mi spiego: prendiamo $q \in QQ$ di modo che $q>b-a$ e costruiamo la successione $x_n=\frac{p}{n}+a$; la passiamo al limite per $n \to +oo$ e otteniamo $x_n \to a^{+}$; quindi per un certo $m$ si ha $x_m \in [a;b]$; a sto punto $q=m(a-b)$ ma essendo $m(a-b) \in RR-QQ$ allora si ha l'assurdo
B) la successione di funzioni così definita:
$f_n(x)=|cos(n!2\pix)|^{n}$
è continua su $[0;1]$ e quindi riemann-integrabile; per $n \to oo$ se $x \in QQ$ e $x$ è una frazione ridotta ai minimi termini allora $2n! x$ è un intero perchè prima o poi il denominatore della frazione lo troviamo in $n!$ e quindi $|cos(n!2\pix)|^{n}=1$; se invece $x \in RR-QQ$ allora $n!2\pix \in RR-QQ$ e $0<|cos(n!2\pix)|<1$ e da questo segue che $|cos(n!2\pix)|^{n}$ per $n \to +oo$ è $0$: quindi questa successione tende alla dirichlet (ho preso spunto da wikipedia http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_di_Dirichlet)
quindi credo che anche questa andava bene...tu che ne dici?
quanto a continuare la discussione che abbiamo lasciato in sospeso, questa veramente la continuaiamo lunedì (sempre se siete d'accordo) altrimenti veramente non mi faccio niente per gli orali...e dopo mammà mi schioppetta 
P.S.:
se anche si prendesse $a$ con l'intervallo aperto $(a;b)$, la successione $x_n=\frac{\sqrtp}{n}+a$ covergerebbe lo stesso ad $a$ da destra e ugualmente al caso $[a;b]$ la successione sarebbe definitivamente contenuta in $(a;b)$ (cioè, esisterebbe $m$ tale che $x_m=\frac{\sqrtp}{m}+a \in (a;b)$), solo che andando a fare $x_m=\frac{\sqrtp}{m}+a => \sqrtp=m(x_m-a)$, dal momento che $a$ sta fuori dall'intervallo $(a;b)$ non sappiamo com'è $a$ e quindi non è detto che arriveremmo all'assurdo...è per questo che si deve prendere c $\in (a;b)$?
adesso ti faccio vedere la mia fantasia dove arriva così ci facciamo due risate dopo che trovi tutti gli errori
A) se mi azzardassi a dimostrare che non esistono irrazionali col metodo del passo 1 andrebbe bene...mi spiego: prendiamo $q \in QQ$ di modo che $q>b-a$ e costruiamo la successione $x_n=\frac{p}{n}+a$; la passiamo al limite per $n \to +oo$ e otteniamo $x_n \to a^{+}$; quindi per un certo $m$ si ha $x_m \in [a;b]$; a sto punto $q=m(a-b)$ ma essendo $m(a-b) \in RR-QQ$ allora si ha l'assurdo
B) la successione di funzioni così definita:
$f_n(x)=|cos(n!2\pix)|^{n}$
è continua su $[0;1]$ e quindi riemann-integrabile; per $n \to oo$ se $x \in QQ$ e $x$ è una frazione ridotta ai minimi termini allora $2n! x$ è un intero perchè prima o poi il denominatore della frazione lo troviamo in $n!$ e quindi $|cos(n!2\pix)|^{n}=1$; se invece $x \in RR-QQ$ allora $n!2\pix \in RR-QQ$ e $0<|cos(n!2\pix)|<1$ e da questo segue che $|cos(n!2\pix)|^{n}$ per $n \to +oo$ è $0$: quindi questa successione tende alla dirichlet (ho preso spunto da wikipedia http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_di_Dirichlet)
quindi credo che anche questa andava bene...tu che ne dici?
quanto a continuare la discussione che abbiamo lasciato in sospeso, questa veramente la continuaiamo lunedì (sempre se siete d'accordo) altrimenti veramente non mi faccio niente per gli orali
...e dopo mammà mi schioppetta P.S.:
"ubermensch":
1) qualcosa sarebbe cambiato, infatti ho usato il fatto che $a\inQQ$, che segue dal fatto che $a\in[a,b]$. Ovviamente la dimostrazione può essere adattata al caso $(a,b)$: si prende $c\in(a,b)$ e si converge a $c$, invece che ad $a$.
se anche si prendesse $a$ con l'intervallo aperto $(a;b)$, la successione $x_n=\frac{\sqrtp}{n}+a$ covergerebbe lo stesso ad $a$ da destra e ugualmente al caso $[a;b]$ la successione sarebbe definitivamente contenuta in $(a;b)$ (cioè, esisterebbe $m$ tale che $x_m=\frac{\sqrtp}{m}+a \in (a;b)$), solo che andando a fare $x_m=\frac{\sqrtp}{m}+a => \sqrtp=m(x_m-a)$, dal momento che $a$ sta fuori dall'intervallo $(a;b)$ non sappiamo com'è $a$ e quindi non è detto che arriveremmo all'assurdo...è per questo che si deve prendere c $\in (a;b)$?
"WiZaRd":
A) se mi azzardassi a dimostrare che non esistono irrazionali col metodo del passo 1 andrebbe bene...mi spiego: prendiamo $q \in QQ$ di modo che $q>b-a$ e costruiamo la successione $x_n=\frac{p}{n}+a$; la passiamo al limite per $n \to +oo$ e otteniamo $x_n \to a^{+}$; quindi per un certo $m$ si ha $x_m \in [a;b]$; a sto punto $q=m(a-b)$ ma essendo $m(a-b) \in RR-QQ$ allora si ha l'assurdo
perchè $m(b-a)\inRR-QQ?$
"WiZaRd":
B) la successione di funzioni così definita:
$f_n(x)=|cos(n!2\pix)|^{n}$
è continua su $[0;1]$ e quindi riemann-integrabile; per $n \to oo$ se $x \in QQ$ e $x$ è una frazione ridotta ai minimi termini allora $2n! x$ è un intero perchè prima o poi il denominatore della frazione lo troviamo in $n!$ e quindi $|cos(n!2\pix)|^{n}=1$; se invece $x \in RR-QQ$ allora $n!2\pix \in RR-QQ$ e $0<|cos(n!2\pix)|<1$ e da questo segue che $|cos(n!2\pix)|^{n}$ per $n \to +oo$ è $0$: quindi questa successione tende alla dirichlet (ho preso spunto da wikipedia http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_di_Dirichlet)
quindi credo che anche questa andava bene...tu che ne dici?
si, va bene! fra l'altro neanche la sapevo sta cosa e sinceramente neanche me l'aspettavo... anche se credo che tutte le funzioni limitate si possano approssimare con funzioni continue... questo è un bel problema e semmai lo metto di là (in università), anche se su due piedi non so neanche se è vero.
"WiZaRd":
se anche si prendesse $a$ con l'intervallo aperto $(a;b)$, la successione $x_n=\frac{\sqrtp}{n}+a$ covergerebbe lo stesso ad $a$ da destra e ugualmente al caso $[a;b]$ la successione sarebbe definitivamente contenuta in $(a:b)$ (cioè, esisterebbe $m$ tale che $x_m=\frac{\sqrtp}{m}+a \in (a;b)$), solo che andando a fare $x_m=\frac{\sqrtp}{m}+a => \sqrtp=m(x-a)$, dal momento che $a$ sta fuori dall'intervallo $(a;b)$ non sappiamo com'è $a$ e quindi non è detto che arriveremmo all'assurdo...è per questo che si deve prendere c $\in (a;b)$?
certo!
"ubermensch":
[quote="WiZaRd"]A) se mi azzardassi a dimostrare che non esistono irrazionali col metodo del passo 1 andrebbe bene...mi spiego: prendiamo $q \in QQ$ di modo che $q>b-a$ e costruiamo la successione $x_n=\frac{p}{n}+a$; la passiamo al limite per $n \to +oo$ e otteniamo $x_n \to a^{+}$; quindi per un certo $m$ si ha $x_m \in [a;b]$; a sto punto $q=m(a-b)$ ma essendo $m(a-b) \in RR-QQ$ allora si ha l'assurdo
perchè $m(b-a)\inRR-QQ?$
[/quote]
mi sono spiegato male, scusa...questa dimostrazione servirebbe (nelle mie intenzioni) per dimostrare che non esistono intervalli di soli irrazionali: la rifaccio così capisci meglio dove ho sbagliato
ammettiamo che esitsta un intervallo chiuso e limitato $[a;b]$ fatto di soli irrazionali; prendiamo $q \in QQ$ tale che $q>b-a$; prendiamo la successione numerica $x_n=\frac{p}{n}+a$: questa, per $n \to +oo$ tende a $a$ da destra ed è definitivamente contenuta in $[a;b]$, cioè esiste $m \in NN$ tale che $x_m=\frac{p}{m}+a \in [a;b]$; poichè si è supposto che $[a;b]$ è fatto solo di irrazionali allora è irrazionale pure $x_m$; a questo punto troviamo $p$ dalla formula della successione e abbiamo che $p=m(x_m-a)$ che è un assurdo perchè essendo $x_m$ e $a$ irrazionali ed essendo $m$ un naturale allora il secondo membro è irrazionale...era questo che volevo dire...lì ho messo $b$ al posto di $x_m$.....va bene?
P.S.: $m(b-a)$ appartiene agli irrazionali (con $RR-QQ$ intendevo gli irrazionali) perchè $a$ è irrazionale, $b$ è irrazionale e $m$ è naturale, e a meno che $a=b$ allora anche $m(b-a)$ è un irrazionale (so che negli irrazionali la differenza è interna e il prodotto di un naturale per un irrazionale è un irrazionale)...forse ho sbagliato!!!:-D
P.P.S.:
"ubermensch":
[quote="WiZaRd"]
se anche si prendesse $a$ con l'intervallo aperto $(a;b)$, la successione $x_n=\frac{\sqrtp}{n}+a$ covergerebbe lo stesso ad $a$ da destra e ugualmente al caso $[a;b]$ la successione sarebbe definitivamente contenuta in $(a:b)$ (cioè, esisterebbe $m$ tale che $x_m=\frac{\sqrtp}{m}+a \in (a;b)$), solo che andando a fare $x_m=\frac{\sqrtp}{m}+a => \sqrtp=m(x-a)$, dal momento che $a$ sta fuori dall'intervallo $(a;b)$ non sappiamo com'è $a$ e quindi non è detto che arriveremmo all'assurdo...è per questo che si deve prendere c $\in (a;b)$?
certo![/quote]
mi ero dimenticato il pedice $m$ vicino a $x$ in $p=m(x-a)$, cioè doveva essere $p=m(x_m-a)$...ovviamente la risposta che hai dato
"ubermensch":
certo!
non cambia...giusto?
Ho capito quello che volevi dire... anche se era scritto un pò male!
sei te che non hai riflettuto bene sulla mia domanda
siano $a=\pi$ e $b=\pi+1$, quanto fa $b-a$?
P.s. se per dimostrare il passo II ho usato un'altra tecnica ci sarà un motivo!
La risposta rimane sempre "certo!"
sei te che non hai riflettuto bene sulla mia domanda
siano $a=\pi$ e $b=\pi+1$, quanto fa $b-a$?
P.s. se per dimostrare il passo II ho usato un'altra tecnica ci sarà un motivo!
La risposta rimane sempre "certo!"
se $a=\pi$ e $b=\pi+1$ fa $1$ quindi non è detto che $b-a$ sia irrazionale....lo stesso discorso vale per la differenza $(x_m-a)$?
a questo punto penso proprio di sì, quindi la mia dimostrazione fa cilecca ... adesso c'ho visto giusto?
P.S.: hai ragione, non ci avevo pensato al fatto che se la tecnica era un altra un motivo preciso ci doveva essere...sorry
a questo punto penso proprio di sì, quindi la mia dimostrazione fa cilecca
... adesso c'ho visto giusto?P.S.: hai ragione, non ci avevo pensato al fatto che se la tecnica era un altra un motivo preciso ci doveva essere...sorry
"WiZaRd":
se $a=\pi$ e $b=\pi+1$ fa $1$ quindi non è detto che $b-a$ sia irrazionale....lo stesso discorso vale per la differenza $(x_m-a)$?
a questo punto penso proprio di sì, quindi la mia dimostrazione fa cilecca
eh già!comunque è un errore classico, anche se banale. Lo fanno tutti una volta nella vita. Ti faccio allora uno schemino:
razionale * razionale = razionale
razionale * irrazionale = irrazionale
irrazionale * irrazionale = dipende
stessa cosa con la somma ( per n-esimo esercizio puoi farne la dimostrazione)
"ubermensch":
razionale * irrazionale = irrazionale
A meno che il razionale non sia zero, s'intende...
"Sandokan.":
[quote="ubermensch"]razionale * irrazionale = irrazionale
A meno che il razionale non sia zero, s'intende...[/quote]
ovviamente!
Comunque mi pare che la prima parte dell'esercizio sia completa. Forse vale la pena dare un cenno della dimostrazione di un importante teorema che ho enunciato, anche se alla fine non lo hai utilizzato
th: Una funzione limitata su un limitato e continua a meno di un numero finito di punti è integrabile nel senso di Riemann
cenno della dim.
si prenda una partizione che isoli le discontinuità: che significa che per ogni intervallo della partizione esiste al più una discontinuità in esso contenuta. Supponiamo che gli intervalli della partizione siano tutti della stessa lunghezza $\varepsilon$. Gli intervalli in cui la $f$ è continua non danno problemi, consideriamo gli intervalli in cui c'è una discontinuità e mostriamo che il loro contributo alle somme integrali è piccolo dell'ordine di $\varepsilon$ (in tal modo, infittendo la partizione, si riesce ad annullare tale contributo). Osserviamo allora che in questi intervallini, la funzione ha comunque estremo superiore ed inferiore limitati (per hp di limitatezza!) e quindi il contributo di questo intervallino alle somme integrali superiori e inferiori è rispettivamente $\varepsilon$ sup$f(x)$ e $\varepsilon$ inf $f(x)$, che tendono a $0$ quando $\varepsilon$ tende a $0$, cioè quando si infittisce la partizione.
OSSERVAZIONE
quando ho enunciato il teorema ho dimenticato l'ipotesi di limitatezza. Questa ipotesi è fondamentale, come mostra il seguente esempio: si prenda $f(x)=1/x$ per $x\in(0,1]$ e $f(0)=0$. Allora questa funzione ha una sola discontinuità, ma non è integrabile, in quanto l'integrale è divergente (effettivamente tale funzione non è limitata vicino a $0$).
P.s. si potrebbe obiettare che comunque l'integrale esiste, ma è infinito. In realtà si può costruire un esempio un pò più raffinato che mostra come l'integrale può non esistere.
OSSERVAZIONE 2
ti potresti chiedere dove uso il fatto che la funzione è definita su un limitato. La uso quando dico che gli intervalli in cui è continua non danno problemi, cosa che non è affatto vera se stiamo in un illimitato... Pensa a $sinx$..
Detto questo direi, se sei d'accordo, di passare alla seconda parte dell'esercizio, ossia:
determinare una successione di funzioni integrabili, puntualmente convergente ad una funzione integrabile, ma tale che non si possa effettuare lo scambio limite integrale.
P.s. come è andato l'orale?
"ubermensch":
P.s come è andato l'orale?
Beh...che dire...un molto traballante nelle materie umanistiche, abbastanza sciolto in quelle scientifiche...54 punti (38 scritti + 16 credito) ce li avevo e a questo punto l'unica cosa che mi interessava era andare via....adesso voglio dedicarmi al riposo delle vacanze e poi concentrarmi per fare al meglio l'università
"ubermensch":
th: Una funzione limitata su un limitato e continua a meno di un numero finito di punti è integrabile nel senso di Riemann
cenno della dim.
si prenda una partizione che isoli le discontinuità: che significa che per ogni intervallo della partizione esiste al più una discontinuità in esso contenuta. Supponiamo che gli intervalli della partizione siano tutti della stessa lunghezza $\varepsilon$. Gli intervalli in cui la $f$ è continua non danno problemi, consideriamo gli intervalli in cui c'è una discontinuità e mostriamo che il loro contributo alle somme integrali è piccolo dell'ordine di $\varepsilon$ (in tal modo, infittendo la partizione, si riesce ad annullare tale contributo). Osserviamo allora che in questi intervallini, la funzione ha comunque estremo superiore ed inferiore limitati (per hp di limitatezza!) e quindi il contributo di questo intervallino alle somme integrali superiori e inferiori è rispettivamente $\varepsilon$ sup$f(x)$ e $\varepsilon$ inf $f(x)$, che tendono a $0$ quando $\varepsilon$ tende a $0$, cioè quando si infittisce la partizione.
tre domande:
1) hai detto che il contributo alle somme integrali superiore e inferiore degli intervalli in cui c'è una discontinuità è, rispettivamente, $\varepsilon \cdot \mbox { sup } f(x)$ e $\varepsilon \cdot \mbox{ inf } f(x)$ e che per $\varepsilon \to 0$ tali contributi tendono a $0$, però lo stesso discorso vale anche per gli intervalli dove la funzione è continua: voglio dire, anche negli intervalli in cui la funzione è continua, essenso $\varepsilon$ l'ampiezza dell'intervallo e $\mbox { sup } f(x)$ e $\mbox { inf } f(x)$ il massimo e il minimo, il contributo alle somme integrali superiore e inferiore è rispettivamente $\varepsilon \cdot \mbox { sup } f(x)$ e $\varepsilon \cdot \mbox{ inf } f(x)$, quindi anche negli intervalli in cui la funzione è continua, per $\varepsilon \to 0$ i contributi tendono a $0$...giusto?
2) se però quanto alla domanda 1) è giusto segue che le somme integrali superiore e inferiore sono tutte e due $0$ (il contributo è sempre $0$)...e quindi non mi trovo più...dov'è che sbaglio?
3) solo un sospetto...non è che prima di poter dimostrare questo teorema si devono studiare un'altra ventina di teoremi e definizioni?
"ubermensch":
OSSERVAZIONE
quando ho enunciato il teorema ho dimenticato l'ipotesi di limitatezza. Questa ipotesi è fondamentale, come mostra il seguente esempio: si prenda $f(x)=1/x$ per $x\in(0,1]$ e $f(0)=0$. Allora questa funzione ha una sola discontinuità, ma non è integrabile, in quanto l'integrale è divergente (effettivamente tale funzione non è limitata vicino a $0$).
P.s. si potrebbe obiettare che comunque l'integrale esiste, ma è infinito. In realtà si può costruire un esempio un pò più raffinato che mostra come l'integrale può non esistere.
4) questo integrale che diverge e che è infinito è un integrale in senso improprio? (lo chiedo perchè non li abbiamo studiati quindi non mi fido molto del fatto che ho pensato che lo sia)
"ubermensch":
OSSERVAZIONE 2
ti potresti chiedere dove uso il fatto che la funzione è definita su un limitato. La uso quando dico che gli intervalli in cui è continua non danno problemi, cosa che non è affatto vera se stiamo in un illimitato... Pensa a $sinx$..
5) questo significa che una funzione definita su un intervallo illimitato ma limitata in questo intervallo non è "mai" integrabile su questo intervallo illimitato?
6) però, potrebbe comunque esistere l'integrale imporprio su questo intervallo illimitato?
7) data una funzione definita su un intervallo illimitato e limitata in questo, se si prendono delle restrizioni del dominio e tali restrizioni sono intervalli limitati, la funzione è integrabile su questi intervalli limitati?
detto questo...stanco ma felice per avere finito gli esami, attendendo le tue risposte illuminanti (non sto scherzando), chiedo scusa qualora le mie domande fossero risultate troppo stupide
ciao
Prima di tutto penso che in questo momento tu dovresti stare ad un parchetto con i tuoi amici ad ubriacarti... secondo poi
1) dimentichi il fatto che quando passi al limite gli intervallini diventano infiniti e la somma di infinite cose che tendono a $0$ non è detto che sia nulla... è su questo che si basa l''integrale.
Nel caso delle nostre discontinuità, esse sono un numero finito e quindi il loro contributo dà effettivamente zero, in quanto sommiamo un numero finito di cose che tendono a zero.
3) quale teorema? quello che ho dimostrato io o il secondo passo dell'esercizio?
?) sì, è un integrale in senso improprio. Pensavo li conoscessi.. in genere si fanno al liceo (io almeno li ho fatti!).. comunque sono semplicemente il limite di un integrale normale. Nell'esempio considerato si ha per definizione
$\int_0^1 1/xdx=lim_{a->0}\int_a^1 1/xdx$
Alcune funzioni sono integrabili in senso improprio su un intervallo illimitato, come ad esempio $1/(x^2)$, altre il cui integrale vale infinito, come $1/x$, altre il cui integrale non esiste prorpio, come ad esempio $sinx$... infatti ogni sua primitiva non ha limite all'infinito.
3) non è detto: la funzione di Dirichlet la puoi pensare come restrizione in $[0,1]$ della stessa funzione definita su tutto $RR$. Essa è limitata, ma la restrizione (cioè Dirichlet) non è integrabile
1) dimentichi il fatto che quando passi al limite gli intervallini diventano infiniti e la somma di infinite cose che tendono a $0$ non è detto che sia nulla... è su questo che si basa l''integrale.
Nel caso delle nostre discontinuità, esse sono un numero finito e quindi il loro contributo dà effettivamente zero, in quanto sommiamo un numero finito di cose che tendono a zero.
3) quale teorema? quello che ho dimostrato io o il secondo passo dell'esercizio?
?) sì, è un integrale in senso improprio. Pensavo li conoscessi.. in genere si fanno al liceo (io almeno li ho fatti!).. comunque sono semplicemente il limite di un integrale normale. Nell'esempio considerato si ha per definizione
$\int_0^1 1/xdx=lim_{a->0}\int_a^1 1/xdx$
Alcune funzioni sono integrabili in senso improprio su un intervallo illimitato, come ad esempio $1/(x^2)$, altre il cui integrale vale infinito, come $1/x$, altre il cui integrale non esiste prorpio, come ad esempio $sinx$... infatti ogni sua primitiva non ha limite all'infinito.
3) non è detto: la funzione di Dirichlet la puoi pensare come restrizione in $[0,1]$ della stessa funzione definita su tutto $RR$. Essa è limitata, ma la restrizione (cioè Dirichlet) non è integrabile
"ubermensch":
3) quale teorema? quello che ho dimostrato io o il secondo passo dell'esercizio?
intendevo il teorema che hai dimostrato riguardo all'integrabilità su un limitato di una funzione ivi limitata
per la dimostrazione completa c'è da aggiungere qualche dettaglio... ad esempio bisogna precisare che se quei contributi tendono a zero allora le somme integrali inferiori e superiori hanno un solo elemento separatore... forse è abbastanza intuitivo che sia così... però spesso non bisogna fidarsi dell'intuito.
per quanto riguarda la seconda parte dellesercizio, mi era venuta in mente la successione $f_n(x)=x+n$...però non capisco a quale funzione converge perchè quando la porto al limite per $n \to +oo$ viene fuori $f(x)=x+(+oo)$ che non capisco cosa sia....dov'è l'errore e (per curiosità, anche la successione è sbagliata) qual'è il suo limite per $n \to +oo$???........
... come ti sei quasi accorto, quella successione diverge, in quanto $x+\infty=\infty,\forallx$, per cui non va bene
proviamo se questa va bene...
sia $f_n(x)$ la successione così definita:
$f_n(x)=nx \mbox { se } \in [0;1/n)$
$f_n(x)=1 \mbox { se } \in [1/n;1]$
questa successione di funzioni è sicuramente integrabile secondo riemann perchè ogni funzione ad essa associata è constinua (in $x_0=1/n$ il limite dalla destra e il limite dalla sinistra coincidono e sono entrambi $1$).
questa successione di funzioni converge a una specie di funzione segno, che indicheremo con $f(x)$:
$f(x)=0 \mbox { se } x=0$
$f(x)=1 \mbox { se } x \in (0;1]$
e questa funzione è sicuramente integrabile secondo riemann avendo un unico punto di discontinuità: $x=0$.
facciamo il limite per $n \to +oo$ della successione di funzioni integrata su $[0;1]$:
$lim_{n to +oo}int_{0}^{1}f_n(x)dx=lim_{n to +oo}(int_{0}^{1/n}nx dx + int_{1/n}^{0}1 dx)=lim_{n to +oo}[(lim_{delta to 0^{+}}int_{0}^{1/n}nx dx)+1]=lim_{n to +oo}{[lim_{delta to 0^{+}}n(1/n+delta)]+1}=lim_{n to +oo}(1+1)=2$
quindi lo scambio limite-integrale non è possibile.
detto ciò...quanti e quali errori ho fatto?
P.S.:
per fare l'integrale della funzione limite ho usato questo ragionamento: se una funzione con un numero finito di discontinuità è comunque riemann-integrabile allora per integrarla devo spezzare l'intervallo d'integrazione e usare gli integrali impropri
per fare quello della successione ho ragionato così: spezzando l'intervallo d'integrazione mi trovo delle funzioni integrande che in uno degli estremi di integrazione non sono definite quindi devo fare gli integrali impropri
questo mio modo di ragionare è giusto?
(lo chiedo perchè come ricorderai ho detto di non avere studiato gli integrali impropri e quindi sarebbe utitle un chiarimento su questo loro uso)
sia $f_n(x)$ la successione così definita:
$f_n(x)=nx \mbox { se } \in [0;1/n)$
$f_n(x)=1 \mbox { se } \in [1/n;1]$
questa successione di funzioni è sicuramente integrabile secondo riemann perchè ogni funzione ad essa associata è constinua (in $x_0=1/n$ il limite dalla destra e il limite dalla sinistra coincidono e sono entrambi $1$).
questa successione di funzioni converge a una specie di funzione segno, che indicheremo con $f(x)$:
$f(x)=0 \mbox { se } x=0$
$f(x)=1 \mbox { se } x \in (0;1]$
e questa funzione è sicuramente integrabile secondo riemann avendo un unico punto di discontinuità: $x=0$.
facciamo il limite per $n \to +oo$ della successione di funzioni integrata su $[0;1]$:
$lim_{n to +oo}int_{0}^{1}f_n(x)dx=lim_{n to +oo}(int_{0}^{1/n}nx dx + int_{1/n}^{0}1 dx)=lim_{n to +oo}[(lim_{delta to 0^{+}}int_{0}^{1/n}nx dx)+1]=lim_{n to +oo}{[lim_{delta to 0^{+}}n(1/n+delta)]+1}=lim_{n to +oo}(1+1)=2$
quindi lo scambio limite-integrale non è possibile.
detto ciò...quanti e quali errori ho fatto?
P.S.:
per fare l'integrale della funzione limite ho usato questo ragionamento: se una funzione con un numero finito di discontinuità è comunque riemann-integrabile allora per integrarla devo spezzare l'intervallo d'integrazione e usare gli integrali impropri
per fare quello della successione ho ragionato così: spezzando l'intervallo d'integrazione mi trovo delle funzioni integrande che in uno degli estremi di integrazione non sono definite quindi devo fare gli integrali impropri
questo mio modo di ragionare è giusto?
(lo chiedo perchè come ricorderai ho detto di non avere studiato gli integrali impropri e quindi sarebbe utitle un chiarimento su questo loro uso)
hai sbagliato a calcolare l'integrale...
quando hai discontinuità di questo tipo (in cui la funzione fa un salto) non c'è bisogno di utilizzare gli integrali impropri, ma puoi usare gli integrali classici, in quanto l'integrale non vede cosa succede in un punto. Gli integrali impropri si usano solo quando la funzione tende all'infinito (tipo $\int_0^1 1/xdx$), oppure quando hai intervall di integrazione illimitati (tipo $\int_1^{\infty}1/(x^2)dx$).
Per cui si ha
$\int_0^1f_n(x)dx=\int_0^{1/n}nxdx+\int_{1/n}^1dx=1/(2n)+1-1/n->1$
e quindi lo scambio limite integrale si può fare ...
Ti do un aiutino... devi prendere funzioni $f_n$ che non sono uniformemente limitate (col termine uniformemente limitate intendo che esiste una costante che maggiora tutte le $f_n$. In questo caso tale costante è 1... )
quando hai discontinuità di questo tipo (in cui la funzione fa un salto) non c'è bisogno di utilizzare gli integrali impropri, ma puoi usare gli integrali classici, in quanto l'integrale non vede cosa succede in un punto. Gli integrali impropri si usano solo quando la funzione tende all'infinito (tipo $\int_0^1 1/xdx$), oppure quando hai intervall di integrazione illimitati (tipo $\int_1^{\infty}1/(x^2)dx$).
Per cui si ha
$\int_0^1f_n(x)dx=\int_0^{1/n}nxdx+\int_{1/n}^1dx=1/(2n)+1-1/n->1$
e quindi lo scambio limite integrale si può fare ...
Ti do un aiutino... devi prendere funzioni $f_n$ che non sono uniformemente limitate (col termine uniformemente limitate intendo che esiste una costante che maggiora tutte le $f_n$. In questo caso tale costante è 1... )
"ubermensch":
Ti do un aiutino... devi prendere funzioni $f_n$ che non sono uniformemente limitate (col termine uniformemente limitate intendo che esiste una costante che maggiora tutte le $f_n$. In questo caso tale costante è 1... )
perdonami ma non l'ho capita
Definizione
Una successione di funzione $f_n$ è detta uniformemente limitata se esiste una costante $C\inRR$ tale che $f_n(x)\leC,\forall x$ e $\forall n$.
Bene... ti consiglio di prendere una successione di funzioni che non è uniformemente limitata.
Una successione di funzione $f_n$ è detta uniformemente limitata se esiste una costante $C\inRR$ tale che $f_n(x)\leC,\forall x$ e $\forall n$.
Bene... ti consiglio di prendere una successione di funzioni che non è uniformemente limitata.
ah...ok...adesso l'ho capita....perdonami ma a scuola non abbimo fatto manco la limitatezza delle funzioni quindi quel maggiora mi suonava come na cosa del tipo: la costante moltiplica la funzione è la rende massima
detto ciò....adesso ci penso e vedo un poco cosa riesco a trovare
detto ciò....adesso ci penso e vedo un poco cosa riesco a trovare
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