Un esercizio per maturandi
Segnalo un interessante esercizio, peraltro sicuramente alla portata di uno studente del V anno.
Prima una definizione (che credo comunque si nota a tutti):
Dato un insieme $S$, una funzione $d : S \times S \rightarrow [0, + \infty[$ si dice una metrica su $S$ se sono soddisfatte le proprieta' seguenti:
1) $d (x, y) = 0 \iff x = y$, $\forall x, y$
2) $d (x, y) = d (y, x)$, $\forall x, y$
3) $d (x, z) <= d (x, y) + d (y, z)$, $\forall x, y, z$.
Bene!
Dimostrare che posto $d (u, v) = \int_{-1}^{1} | u (x) - v (x) | dx$, $d$ e' una metrica sull'insieme delle funzioni reali continue su $[-1, 1]$.
Prima una definizione (che credo comunque si nota a tutti):
Dato un insieme $S$, una funzione $d : S \times S \rightarrow [0, + \infty[$ si dice una metrica su $S$ se sono soddisfatte le proprieta' seguenti:
1) $d (x, y) = 0 \iff x = y$, $\forall x, y$
2) $d (x, y) = d (y, x)$, $\forall x, y$
3) $d (x, z) <= d (x, y) + d (y, z)$, $\forall x, y, z$.
Bene!
Dimostrare che posto $d (u, v) = \int_{-1}^{1} | u (x) - v (x) | dx$, $d$ e' una metrica sull'insieme delle funzioni reali continue su $[-1, 1]$.
Risposte
avevo pensato a questa successione:
$f_n(x)=frac{1}{nx}$
questa sull'intervallo $[0;1]$ ha un solo punto di discontinuità: $x_0=0$ e quindi ogni funzione della successione è r-integrabile.
per $n to +oo$ tende a $f(x)=0$
l'integrale su $[0;1]$ di $f(x)=0$ è $0$
ma ho dei problemi con il limite dell'integrale della successione:
$lim_{n to +oo}int_{0}^{1}\frac{1}{nx}dx=lim_{n to +oo}lim_{\varepsilon to 0^{+}}int_{\varepsilon}^{1}\frac{1}{nx}dx=lim_{n to +oo}lim_{varepsilon to 0^{+}}[frac{1}{n}(log1-logvarepsilon)]=lim_{n to +oo}lim_{varepsilon to 0^{+}}[frac{1}{n}(0-logvarepsilon)]=lim_{n to +oo}lim_{varepsilon to 0^{+}}[frac{1}{n}(-logvarepsilon)]=lim_{n to +oo}[frac{1}{n}(+oo)]
e a questo punto me ne vengono addirittura due:
$lim_{n to +oo}[frac{1}{n}(+oo)]=0 cdot +oo$
oppure
$lim_{n to +oo}[frac{1}{n}(+oo)]=frac{+oo}{+oo}$
che non mi sembra abbia molto senso
che ho combinato???
$f_n(x)=frac{1}{nx}$
questa sull'intervallo $[0;1]$ ha un solo punto di discontinuità: $x_0=0$ e quindi ogni funzione della successione è r-integrabile.
per $n to +oo$ tende a $f(x)=0$
l'integrale su $[0;1]$ di $f(x)=0$ è $0$
ma ho dei problemi con il limite dell'integrale della successione:
$lim_{n to +oo}int_{0}^{1}\frac{1}{nx}dx=lim_{n to +oo}lim_{\varepsilon to 0^{+}}int_{\varepsilon}^{1}\frac{1}{nx}dx=lim_{n to +oo}lim_{varepsilon to 0^{+}}[frac{1}{n}(log1-logvarepsilon)]=lim_{n to +oo}lim_{varepsilon to 0^{+}}[frac{1}{n}(0-logvarepsilon)]=lim_{n to +oo}lim_{varepsilon to 0^{+}}[frac{1}{n}(-logvarepsilon)]=lim_{n to +oo}[frac{1}{n}(+oo)]
e a questo punto me ne vengono addirittura due:
$lim_{n to +oo}[frac{1}{n}(+oo)]=0 cdot +oo$
oppure
$lim_{n to +oo}[frac{1}{n}(+oo)]=frac{+oo}{+oo}$
che non mi sembra abbia molto senso
che ho combinato???
Il teorema che ti ho detto dice
Una funzione definita su un limitato e che sia limitata e continua a meno di un numero finito di punti è integrabile.
Le $f_n$ che stai prendendo te, è vero che hanno un solo punto di discontinuità, ma non sono limitate... per cui il teorema non lo puoi applicare.. ed infatti i tuoi conti mostrano che non sono integrabili in senso improprio perchè hai appena mostrato che ciascun integrale vale infinito.
Il fatto che la successione sia uniformemente limitata non significa che le singole funzioni non siano limitate: ogni funzione deve essere limitata, ma la successione dei massimi non deve esserlo. Ad esempio prendi la successione $f_n(x)=n$: ciascuna di esse è limitata (da $n$), ma la successione non è uniformemente limitata.
Una funzione definita su un limitato e che sia limitata e continua a meno di un numero finito di punti è integrabile.
Le $f_n$ che stai prendendo te, è vero che hanno un solo punto di discontinuità, ma non sono limitate... per cui il teorema non lo puoi applicare.. ed infatti i tuoi conti mostrano che non sono integrabili in senso improprio perchè hai appena mostrato che ciascun integrale vale infinito.
Il fatto che la successione sia uniformemente limitata non significa che le singole funzioni non siano limitate: ogni funzione deve essere limitata, ma la successione dei massimi non deve esserlo. Ad esempio prendi la successione $f_n(x)=n$: ciascuna di esse è limitata (da $n$), ma la successione non è uniformemente limitata.
caro amico mio non mi dire niente ma non ti riesco più a seguire....
1) innanzitutto, $lim_{n to +oo}[frac{1}{n}(+oo)]$ è $0 cdot +oo$ o è $frac{+oo}{+oo}$?
2) in generale, è possibile che un limite rimanga in una forma di indecisione senza che questa possa essere in alcun modo eliminata?
3) se ho $lim_{n to n_0}lim_{m to m_0}$ è lo stesso che scrivere $lim_{n to n_0, m to m_0}$?
4) ha senso calcolare il limite di infinito: $lim_{x to x_0}+-oo$? se sì, quanto fa?
5) se ha senso calcolare il limite della 4) allora significa che esiste la funzione costante che associa a ogni $x$ un infinito: esiste questa funzione?
6) in generale, se facendo un limite ($lim_{n to n_0}$)di un limite ($lim_{m to m_0}$) poi ho $lim_{n to n_0}+-oo$ (dove $+-oo$ è il limite di $lim_{m to m_0}$) come lo risolvo?
7) mi credi se ti dico che non ti seguo proprio con il discorso della successione non limitata ma con le singole funzioni limitate?
perdonami se ti ripeto sempre le stesse domande
1) innanzitutto, $lim_{n to +oo}[frac{1}{n}(+oo)]$ è $0 cdot +oo$ o è $frac{+oo}{+oo}$?
2) in generale, è possibile che un limite rimanga in una forma di indecisione senza che questa possa essere in alcun modo eliminata?
3) se ho $lim_{n to n_0}lim_{m to m_0}$ è lo stesso che scrivere $lim_{n to n_0, m to m_0}$?
4) ha senso calcolare il limite di infinito: $lim_{x to x_0}+-oo$? se sì, quanto fa?
5) se ha senso calcolare il limite della 4) allora significa che esiste la funzione costante che associa a ogni $x$ un infinito: esiste questa funzione?
6) in generale, se facendo un limite ($lim_{n to n_0}$)di un limite ($lim_{m to m_0}$) poi ho $lim_{n to n_0}+-oo$ (dove $+-oo$ è il limite di $lim_{m to m_0}$) come lo risolvo?
7) mi credi se ti dico che non ti seguo proprio con il discorso della successione non limitata ma con le singole funzioni limitate?
perdonami se ti ripeto sempre le stesse domande
1) come ho già detto, quel limite è infinito perchè limite di una successione costantemente infinita. Fra l'altro quelle due forme indeterminate sono la stessa, perchè lo zero al denominatore è come un infinito a numeratore (a meno del segno!)
2) direi di sì.. può accadere quando hai una cosa che non ha limite
3) Permettimi prima di farti un piccolo appunto: i limiti di successione li puoi calcolare solo per $n->\infty$ e non per $n->n_0$, perchè $NN$ non ha punti di accumulazione al finito.
in generale no... mi era venuto pure in mente un controesempio prima, ma ora me lo sono dimenticato!
4) come prima.. fa infinito.
5) Direi che esiste in un senso più generale di quello che conosci tu. Ti ricordo che la tua definizione di funzione ti obbliga ad assegnare numeri reali e quindi l'infinito è escluso. Tuttavia, si possono definire anche funzioni che associano infinito ad un qualche $x$ (alcune di esse sono pure integrabili!)... qualcuno disse che in meccanica quantistica tutto ciò che non è esplicitamente vietato è possibile... io sono dell'opinione che in matematica è possibile anche quello che è esplicitamente vietato!
2) direi di sì.. può accadere quando hai una cosa che non ha limite
3) Permettimi prima di farti un piccolo appunto: i limiti di successione li puoi calcolare solo per $n->\infty$ e non per $n->n_0$, perchè $NN$ non ha punti di accumulazione al finito.
in generale no... mi era venuto pure in mente un controesempio prima, ma ora me lo sono dimenticato!
4) come prima.. fa infinito.
5) Direi che esiste in un senso più generale di quello che conosci tu. Ti ricordo che la tua definizione di funzione ti obbliga ad assegnare numeri reali e quindi l'infinito è escluso. Tuttavia, si possono definire anche funzioni che associano infinito ad un qualche $x$ (alcune di esse sono pure integrabili!)... qualcuno disse che in meccanica quantistica tutto ciò che non è esplicitamente vietato è possibile... io sono dell'opinione che in matematica è possibile anche quello che è esplicitamente vietato!
"WiZaRd":
3) se ho $lim_{n to n_0}lim_{m to m_0}$ è lo stesso che scrivere $lim_{n to n_0, m to m_0}$?
era riferito in generale non a delle successioni...ma vedo che comunque in genrale non è possibile...mi potresti spiegare perchè?
"ubermensch":
5) Direi che esiste in un senso più generale di quello che conosci tu. Ti ricordo che la tua definizione di funzione ti obbliga ad assegnare numeri reali e quindi l'infinito è escluso. Tuttavia, si possono definire anche funzioni che associano infinito ad un qualche $x$ (alcune di esse sono pure integrabili!)... qualcuno disse che in meccanica quantistica tutto ciò che non è esplicitamente vietato è possibile... io sono dell'opinione che in matematica è possibile anche quello che è esplicitamente vietato!
... come direbbe abatantuno: "ecceziunale veramente"....io so che per deefinire una funzione servono un dominio e un codominio (quest'ultimo inteso non come insieme immagine)...come si fa a definire una funzione che associa infinito alla variabile $x$? quali dominio e codominio si prendono?
"WiZaRd":
io so che per deefinire una funzione servono un dominio e un codominio (quest'ultimo inteso non come insieme immagine)...come si fa a definire una funzione che associa infinito alla variabile $x$? quali dominio e codominio si prendono?
Chi dice che dominio e codominio devono essere inclusi in $RR$?
"Sandokan.":
Chi dice che dominio e codominio devono essere inclusi in $RR$?
e appunto...per definire una funzione che associa a $x$ l'infinito il dominio e il codominio dove vanno presi?
Puoi prendere per esempio sottoinsiemi di $\hat RR \equiv RR \cup {-oo, oo}$ (la retta reale ampliata).
quindi prendendo dominio e codominio in questo ampliamento di $RR$ posso anche creare la funzione costante che associa a ogni $x$ reale un infinito?
"WiZaRd":
quindi prendendo dominio e codominio in questo ampliamento di $RR$ posso anche creare la funzione costante che associa a ogni $x$ reale un infinito?
Certo!
3) il motivo per cui i limiti non si possono mettere insieme si può spiegare intuitivamente così: i limiti separati significa che prima passi al limite su una variabile e poi sull'altra; i limiti insieme significa che devi passare al limite contemporaneamente su entrambe le variabili. Ne segue (almeno intuitivamente) che la seconda condizione è più forte della prima. C'è un esempio classico che non è del tutto uguale a quello che richiedi, però chiarisce quello che voglio dire. Prendi la funzione
$f(x,y)=(xy)/(x^2+y^2)$
consideriamo i limiti per $x->0,y->0$. Facciamoli prima separatamente. Cioè faccio prima il limite su $y$ e si ottiene $f(x,0)\equiv0$ e quindi se ora facciamo il limite su $x$ otteniamo $0$ sempre perchè limite di una funzione costante.
Se invece i limiti li facciamo insieme succede un casino. Infatti, possiamo ad esempio passare al limite lungo le rette passanti per l'origine e quindi si ha
$f(x,mx)=(mx^2)/(x^2+m^2x^2)=m/(1+m^2)->m/(1+m^2)$
quando $x->0$. Ne segue che il limite dipende dalla maniera in cui tendiamo all'origine. Ne segue che il limite non esiste.
Spero sia abbastanza chiaro... come al solito cerca di capire l'idea delle cose.. i dettagli li vedrai a partire da st'altr'anno all'università.
5) Come ha notato sandokan il problema è che te usi (perchè te l'hanno insegnata!) una definizione piuttosto ristretta di funzione, data appunto solo per sottoinsiemi di $RR$
$f(x,y)=(xy)/(x^2+y^2)$
consideriamo i limiti per $x->0,y->0$. Facciamoli prima separatamente. Cioè faccio prima il limite su $y$ e si ottiene $f(x,0)\equiv0$ e quindi se ora facciamo il limite su $x$ otteniamo $0$ sempre perchè limite di una funzione costante.
Se invece i limiti li facciamo insieme succede un casino. Infatti, possiamo ad esempio passare al limite lungo le rette passanti per l'origine e quindi si ha
$f(x,mx)=(mx^2)/(x^2+m^2x^2)=m/(1+m^2)->m/(1+m^2)$
quando $x->0$. Ne segue che il limite dipende dalla maniera in cui tendiamo all'origine. Ne segue che il limite non esiste.
Spero sia abbastanza chiaro... come al solito cerca di capire l'idea delle cose.. i dettagli li vedrai a partire da st'altr'anno all'università.
5) Come ha notato sandokan il problema è che te usi (perchè te l'hanno insegnata!) una definizione piuttosto ristretta di funzione, data appunto solo per sottoinsiemi di $RR$
che bello!!! 
"ubermensch":
$f(x,mx)=(mx^2)/(x^2+m^2x^2)=m/(1+m^2)->m/(1+m^2)$
si intende che $y=mx$?
"WiZaRd":
che bello!!!
Caro Wizard, questo e' niente! Come diceva d'Alembert? Allez, Monsieur, allez, et la foi vous viendra!
il francese non lo conosco....
"WiZaRd":
il francese non lo conosco....
Non ti preoccupare, lo dovrai imparare! Volevo dire che andando avanti vedrai ben altro!
"WiZaRd":
si intende che $y=mx$?
si... sono andato un pò veloce.. passare al limite lungo le rette passanti per l'origine significa appunto sostituire $y=mx$ e passare al limite per $x->0$.
"ubermensch":
Se invece i limiti li facciamo insieme succede un casino. Infatti, possiamo ad esempio passare al limite lungo le rette passanti per l'origine e quindi si ha
$f(x,mx)=(mx^2)/(x^2+m^2x^2)=m/(1+m^2)->m/(1+m^2)$
quando $x->0$.
solo una curiosità....
questo significa che per passare al limite simultaneamente con due variabili bisogna legare una variabile all'altra (in questo caso le leghiamo con $y=mx$) e in definitiva il limite dipende dal modo in cui vengono legate?
no... passare al limite contemporaneamente significa passare al limite in tutte le maniera possibili, in particolare quelle in cui le due variabili sono legate...
a volte capita che il limite non dipende dalla maniera in cui si tende... per inciso questa è la definizione di limite di una funzione di due variabile: deve esistere il limite e non deve dipendere dalla maniera in cui si tende.
a volte capita che il limite non dipende dalla maniera in cui si tende... per inciso questa è la definizione di limite di una funzione di due variabile: deve esistere il limite e non deve dipendere dalla maniera in cui si tende.
ok
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