Un esercizio per maturandi
Segnalo un interessante esercizio, peraltro sicuramente alla portata di uno studente del V anno.
Prima una definizione (che credo comunque si nota a tutti):
Dato un insieme $S$, una funzione $d : S \times S \rightarrow [0, + \infty[$ si dice una metrica su $S$ se sono soddisfatte le proprieta' seguenti:
1) $d (x, y) = 0 \iff x = y$, $\forall x, y$
2) $d (x, y) = d (y, x)$, $\forall x, y$
3) $d (x, z) <= d (x, y) + d (y, z)$, $\forall x, y, z$.
Bene!
Dimostrare che posto $d (u, v) = \int_{-1}^{1} | u (x) - v (x) | dx$, $d$ e' una metrica sull'insieme delle funzioni reali continue su $[-1, 1]$.
Prima una definizione (che credo comunque si nota a tutti):
Dato un insieme $S$, una funzione $d : S \times S \rightarrow [0, + \infty[$ si dice una metrica su $S$ se sono soddisfatte le proprieta' seguenti:
1) $d (x, y) = 0 \iff x = y$, $\forall x, y$
2) $d (x, y) = d (y, x)$, $\forall x, y$
3) $d (x, z) <= d (x, y) + d (y, z)$, $\forall x, y, z$.
Bene!
Dimostrare che posto $d (u, v) = \int_{-1}^{1} | u (x) - v (x) | dx$, $d$ e' una metrica sull'insieme delle funzioni reali continue su $[-1, 1]$.
Risposte
quindi si potrebbe anche fare $lim_{x to 0, y to 0}frac{xy}{x^2+y^2}$ senza legare le variabili e in questo caso ottenere (almeno inizialmente) la forma di indecisione $0/0$ come limite?
esatto... abbiamo quindi trovato un esempio di forma di indecisione non eliminabile... infatti il limite non esiste.
P.s. la simbologia corretta è
$lim_{(x,y)->(0,0)}f(x,y)$
P.s. la simbologia corretta è
$lim_{(x,y)->(0,0)}f(x,y)$
quando $x$ e $y$ tendono a $0$ senza essere legate tra loro significa che ciascuna variabile tende all'origine secondo una porpia diversa direzione?
"WiZaRd":
quando $x$ e $y$ tendono a $0$ senza essere legate tra loro significa che ciascuna variabile tende all'origine secondo una porpia diversa direzione?
parlando di direzione tu implicitamente pensi ad una retta... il fatto è più generale... può tendere saltellando, seguondo una spirale, una parabola.. quello che vuoi..
per inciso ti dico che c'è un esempio di funzione due variabili che verifica la seguente proprietà:
il limite lungo le rette esiste sempre è vale 0; invece il limite lungo le parabole dipende dalla concavità!
no, apsetta che questa non l'ho capita....
allora vediamo quello che la mia mente tarata ha compreso (perdonami se ti importuno continuamente
) ...
una funzione reale di due variabili reali è una funzione $f$ che associa ad ogni coppia di valori $(x;y)$ di un insieme $A$ sottoinsieme di $RRxRR$ (cioè $RR^{2}$ - mi verrebbe da dire) uno ed un solo valore $z$ di $RR$: cioè $f : (x;y) in A subseteq RR^{2} to z in RR$. la rappresentazione grafica di una funzione reale di due variabili reali si serve di una terna di assi cartesiani (per comodità ortogonali e monometrici) e quello che ne viene fuori è una superficie nello spazio (se si legano tra loro la $x$ e la $y$ l'equazione della funzione si può riscrive interamente in $x$ e quello che ne viene fuori è una curva che giace interamente sul piano $zx$).
detto ciò, diciamo che $l in RR$ è il limite della $f$ per $(x;y) to (x_0;y_0)$ se passanado al limite in tutti le maniere possibili il limite trovato è sempre $l$.
a questo punto ho un pò di dubbi:
1) il punto $(x_0;y_0)$ deve essere di accumulazione per il dominio di $f$?
2) se leghiamo tra loro $x$ e $y$ allora (volendo) potremmo reppresentare tramite una curva in un piano $xy$ questa relazione e questo significa che il punto $(x;y)$ tende a $(x_0;y_0)$ seguendo questa curva (che può essere una retta, una parabola o un'altra curva)?
3) questa curva è la nostra direzione?
4) se è giusto quanto alla domanda 2) allora significa che, detta $g$ la relazione che stabiliamo tra $x$ e $y$, allora $x_0$ deve essere di accumulazione per il dominio di questa relazione e similmente $y_0$ deve essere di accumulazione per l'insieme immagine di questa relazione?
5) il dominio e l'insieme immagine della relazione $g$ devono essere regolati sulla base del dominio della $f$?
6) si può fare il limite della $f$ fissando una delle due variabili come costante al corrispondente punto di passaggio al limite e facendo tendere l'altra: ad esempio si può fare il limite di $f$ fissando $y$ costante a $y_0$ e facendo tendere $x$ a $x_0$? e se $y_0$ non appartiene al dominio della $f$ questo passaggio è ugualmente valido?
7) ho chiesto se era possibile passare al limite facendo tendere $x$ a $x_0$ e $y$ a $y_0$ senza legare tra loro $x$ e $y$: questo implica che $x$ tende a $x_0$ in modo indipendente da come $y$ tende a $y_0$?
8) se $x$ tende a $x_0$ e $y$ tende a $y_0$ senza che $x$ e $y$ siano tra loro legate, allora $x$ può andare verso $x_0$ seguendo unicamente la direzione dell'asse $x$ (cioè unicamente muovendosi su questo asse) e $y$ può andare verso $y_0$ seguendo unicamente la direzione dell'asse $y$ (cioè muovendosi unicamente su questo asse)?
chiedo ancora scusa e un poco di pazienza per le mie domande continue
allora vediamo quello che la mia mente tarata ha compreso (perdonami se ti importuno continuamente
) ...una funzione reale di due variabili reali è una funzione $f$ che associa ad ogni coppia di valori $(x;y)$ di un insieme $A$ sottoinsieme di $RRxRR$ (cioè $RR^{2}$ - mi verrebbe da dire) uno ed un solo valore $z$ di $RR$: cioè $f : (x;y) in A subseteq RR^{2} to z in RR$. la rappresentazione grafica di una funzione reale di due variabili reali si serve di una terna di assi cartesiani (per comodità ortogonali e monometrici) e quello che ne viene fuori è una superficie nello spazio (se si legano tra loro la $x$ e la $y$ l'equazione della funzione si può riscrive interamente in $x$ e quello che ne viene fuori è una curva che giace interamente sul piano $zx$).
detto ciò, diciamo che $l in RR$ è il limite della $f$ per $(x;y) to (x_0;y_0)$ se passanado al limite in tutti le maniere possibili il limite trovato è sempre $l$.
a questo punto ho un pò di dubbi:
1) il punto $(x_0;y_0)$ deve essere di accumulazione per il dominio di $f$?
2) se leghiamo tra loro $x$ e $y$ allora (volendo) potremmo reppresentare tramite una curva in un piano $xy$ questa relazione e questo significa che il punto $(x;y)$ tende a $(x_0;y_0)$ seguendo questa curva (che può essere una retta, una parabola o un'altra curva)?
3) questa curva è la nostra direzione?
4) se è giusto quanto alla domanda 2) allora significa che, detta $g$ la relazione che stabiliamo tra $x$ e $y$, allora $x_0$ deve essere di accumulazione per il dominio di questa relazione e similmente $y_0$ deve essere di accumulazione per l'insieme immagine di questa relazione?
5) il dominio e l'insieme immagine della relazione $g$ devono essere regolati sulla base del dominio della $f$?
6) si può fare il limite della $f$ fissando una delle due variabili come costante al corrispondente punto di passaggio al limite e facendo tendere l'altra: ad esempio si può fare il limite di $f$ fissando $y$ costante a $y_0$ e facendo tendere $x$ a $x_0$? e se $y_0$ non appartiene al dominio della $f$ questo passaggio è ugualmente valido?
7) ho chiesto se era possibile passare al limite facendo tendere $x$ a $x_0$ e $y$ a $y_0$ senza legare tra loro $x$ e $y$: questo implica che $x$ tende a $x_0$ in modo indipendente da come $y$ tende a $y_0$?
8) se $x$ tende a $x_0$ e $y$ tende a $y_0$ senza che $x$ e $y$ siano tra loro legate, allora $x$ può andare verso $x_0$ seguendo unicamente la direzione dell'asse $x$ (cioè unicamente muovendosi su questo asse) e $y$ può andare verso $y_0$ seguendo unicamente la direzione dell'asse $y$ (cioè muovendosi unicamente su questo asse)?
chiedo ancora scusa e un poco di pazienza per le mie domande continue
1) certamente: per fare i limiti servono i punti di accumulazione, in quanto bisogna andare a valutare la funzione vicino a dove si vuole il limite e serve quindi che la funzione sia definita vicino al punto limite. Cioè serve che il punto limite sia di accumulazione per il dominio. Questa è una regola fissa dei limiti.
2) esatto
3) no: tecnicamente la parola "direzione" indica una retta. In genere si può parlare anche di "direzione di una curva" ma ci si riferisce punto per punto alla direzione della retta tangente (serve però l'esistenza della retta tangente... per cui serve la derivabilità della curva)
4) direi di sì... ma non vedo l'utilità di questa idea. Una volta che si è deciso a priori che $(x_0,y_0)$ debba essere di accumulazione per il dominio $A$, allora quello che dici è sicuramente verificato, a patto ovviamente di prendere $(x,y)\inA$ e che tendano (secondo una qualche relazione o indipendentemente) a $(x_0,y_0)$
5) direi che il dominio di $f$ definisce tutte le possibili scelte delle coppie $(x,g(x))$: $x$ deve essere scelta in maniera che tale coppia appartenga ad $A$.
6) fissare una variabile significa fare il limite lungo rette orizzontali (se si fissa $y$) o verticali (se si fissa $x$). Da notare che non ha senso chiedersi se $y_0$ appartiene al dominio, in quanto esso è un numero, mentre il dominio è un sottoinsieme di $RR^2$.
Il limite in questa maniera che dici, fissando una variabile, si può fare ma deve essere interpretato nella maniera corretta: è il limite lungo una particolare direzione... bisogna allora poi vedere cosa succede lungo tutte le altre curve.
7,8) li faccio insieme. C'è un piccolo problema in quello che dici: se $x->x_0$ e $y->y_0$, l'unica possibilità, come hai notato giustamente, è farlo lungo le rette (sempre se lo puoi fare: ricordati che dobbiamo comunque rimanere dentro al dominio). Il legame fra $x$ e $y$ può comunque esserci... oppure può non esserci. Se invece scrivi $(x,y)->(x_0,y_0)$ allora puoi tendere ad $(x_0,y_0)$ facendo tutto quello che vuoi, a patto di rimanere nel dominio.
Quello che voglio dire è che c'è una differenza di lettura sottile fra le due simbologie e ti prego di scrivere più precisamente, le prossime volte... sono stato una decina di minuti a cercare di capire cosa avessi in testa quando scrivevi..
2) esatto
3) no: tecnicamente la parola "direzione" indica una retta. In genere si può parlare anche di "direzione di una curva" ma ci si riferisce punto per punto alla direzione della retta tangente (serve però l'esistenza della retta tangente... per cui serve la derivabilità della curva)
4) direi di sì... ma non vedo l'utilità di questa idea. Una volta che si è deciso a priori che $(x_0,y_0)$ debba essere di accumulazione per il dominio $A$, allora quello che dici è sicuramente verificato, a patto ovviamente di prendere $(x,y)\inA$ e che tendano (secondo una qualche relazione o indipendentemente) a $(x_0,y_0)$
5) direi che il dominio di $f$ definisce tutte le possibili scelte delle coppie $(x,g(x))$: $x$ deve essere scelta in maniera che tale coppia appartenga ad $A$.
6) fissare una variabile significa fare il limite lungo rette orizzontali (se si fissa $y$) o verticali (se si fissa $x$). Da notare che non ha senso chiedersi se $y_0$ appartiene al dominio, in quanto esso è un numero, mentre il dominio è un sottoinsieme di $RR^2$.
Il limite in questa maniera che dici, fissando una variabile, si può fare ma deve essere interpretato nella maniera corretta: è il limite lungo una particolare direzione... bisogna allora poi vedere cosa succede lungo tutte le altre curve.
7,8) li faccio insieme. C'è un piccolo problema in quello che dici: se $x->x_0$ e $y->y_0$, l'unica possibilità, come hai notato giustamente, è farlo lungo le rette (sempre se lo puoi fare: ricordati che dobbiamo comunque rimanere dentro al dominio). Il legame fra $x$ e $y$ può comunque esserci... oppure può non esserci. Se invece scrivi $(x,y)->(x_0,y_0)$ allora puoi tendere ad $(x_0,y_0)$ facendo tutto quello che vuoi, a patto di rimanere nel dominio.
Quello che voglio dire è che c'è una differenza di lettura sottile fra le due simbologie e ti prego di scrivere più precisamente, le prossime volte... sono stato una decina di minuti a cercare di capire cosa avessi in testa quando scrivevi..
mi scuso per la mia imprecisione
procediamo con ordine
parte 1
quando stavo scrivendo le domande 7) e 8) avevo per la testa questa idea:
la discussione è iniziata con la funzione $f(x;y)=frac{xy}{x^2+y^2}$ della quale hai mostrato come calcolare il limite per $(x;y) to (0;0)$: tale limite lo hai calcolato ponendo $y=mx$ e hai mostrato che il limite dipende strettamente da $m$. Ora, l'uguaglianza $y=mx$ stabilisce una relazione tra $y$ e $x$, relazione per la quale il punto $(x;y)$ si avvicina all'origine $(0;0)$ muovendosi lungo la retta passante per l'origine di equazione $y=mx$. Io poi ho chiesto se per fare il limite si doveva per forza legare la $y$ con la $x$ e tu hai risposto di no.
A questo punto comincia il problema
: mo cerco di spiegarti cosa ho pensato.
quando hai detto che non è necessario legare tra loro la $x$ e la $y$ io ho pensato che se non si legano tra loro le due variabili succede che il punto $(x;y)$ si avvicina al punto $(0;0)$ con la $x$ e la $y$ che si avvicinano ciascuna al proprio $0$ in modo indipendente l'una dall'altra: cioè la $x$ tende al suo $0$ per i fatti suoi e la $y$ tende al suo $0$ altrettanto per i fatti suoi senza curarsi di come $x$ tenda al suo $0$, poichè $x$ non è legata a $y$, mentre nel caso in cui $x$ e $y$ sono legate tra loro il modo con cui $y$ tende al suo $0$ dipende dal modo con cui $x$ tende la suo $0$. Inoltre se $x$ e $y$ sono legate tra loro allora si può tracciare una curva (retta, parabola o qualunque altra essa sia dipende dalla relazione stabilita tra $x$ e $y$) nel piano $xy$ e il punto $(x;y)$ si avvicina a $(0;0)$ muovendosi su questa curva; invece, nel caso in cui $x$ e $y$ non sono legate tra loro non è possibile tracciare questa curva nel piano $xy$ e per vedere graficamente il punto $(x;y)$ avvicinarsi a $(0;0)$ allora bisogna vedere la sua ascissa e la sua ordinata che separatamente e indipendentemente l'una dall'altra si avvicinano ciascuna al proprio $0$ lungo il proprio asse coordinante: cioè bisogna vedere l'ascissa $x$ del punto in questione muoversi unicamente lungo l'asse delle ascisse e avvicinarsi allo $0$ di quest'asse, e similmente bisogna poi vedere l'ordinata $y$ del punto in questione muoversi unicamente lungo l'asse delle ordinate e avvicinarsi allo $0$ di quest'asse. è questo quello che intendo quando dico che $(x;y)$ tende a $(0;0)$ con $x$ e $y$ non legate tra loro e volevo sapere se questo ragionamento è giusto (sia nel caso particolare dell'esempio, con $(x;y)$ che tende a $(0;0)$, sia in generale per $(x;y)$ che tende a un generico $(x_0;y_0)$): è questo il chiarimento che chiedevo nelle domande 7) e 8) e lo chiedo nuovamente, sperando di essere riuscito a spiegarmi in modo civile.
parte 2
quanto alla risposta che hai dato alle domande 7) e 8) non ho capito quale sia la differenza tra lo scrivere "$x to x_0$ e $y to y_0$" e lo scrivere "$(x;y) to (x_0;y_0)$"...non indicano entrambi che il punto $(x;y)$ deve tendere al punto $(x_0;y_0)$? forse la scrittura "$x to x_0$ e $y to y_0$" indica che il punto $(x;y)$ tende al punto $(x_0;y_0)$ con la possibilità di muoversi solo lungo le rette e quindi se c'è un legame tra $x$ e $y$ questo legame può essere solo lineare (oppure il legame può non esserci proprio) mentre la scrittura $(x;y) to (x_0;y_0)$ pur'essa indica che il punto $(x;y)$ tende al punto $(x_0;y_0)$ ma tra $x$ e $y$ può esistere un qulunque legame anche non lineare (oppure il legame può non esserci proprio)?
spero di essere riuscito a rendere quello che la mia mente contorta ha pensato...ancora scusa se prima mi sono espresso male
procediamo con ordine
parte 1
quando stavo scrivendo le domande 7) e 8) avevo per la testa questa idea:
la discussione è iniziata con la funzione $f(x;y)=frac{xy}{x^2+y^2}$ della quale hai mostrato come calcolare il limite per $(x;y) to (0;0)$: tale limite lo hai calcolato ponendo $y=mx$ e hai mostrato che il limite dipende strettamente da $m$. Ora, l'uguaglianza $y=mx$ stabilisce una relazione tra $y$ e $x$, relazione per la quale il punto $(x;y)$ si avvicina all'origine $(0;0)$ muovendosi lungo la retta passante per l'origine di equazione $y=mx$. Io poi ho chiesto se per fare il limite si doveva per forza legare la $y$ con la $x$ e tu hai risposto di no.
A questo punto comincia il problema
: mo cerco di spiegarti cosa ho pensato.quando hai detto che non è necessario legare tra loro la $x$ e la $y$ io ho pensato che se non si legano tra loro le due variabili succede che il punto $(x;y)$ si avvicina al punto $(0;0)$ con la $x$ e la $y$ che si avvicinano ciascuna al proprio $0$ in modo indipendente l'una dall'altra: cioè la $x$ tende al suo $0$ per i fatti suoi e la $y$ tende al suo $0$ altrettanto per i fatti suoi senza curarsi di come $x$ tenda al suo $0$, poichè $x$ non è legata a $y$, mentre nel caso in cui $x$ e $y$ sono legate tra loro il modo con cui $y$ tende al suo $0$ dipende dal modo con cui $x$ tende la suo $0$. Inoltre se $x$ e $y$ sono legate tra loro allora si può tracciare una curva (retta, parabola o qualunque altra essa sia dipende dalla relazione stabilita tra $x$ e $y$) nel piano $xy$ e il punto $(x;y)$ si avvicina a $(0;0)$ muovendosi su questa curva; invece, nel caso in cui $x$ e $y$ non sono legate tra loro non è possibile tracciare questa curva nel piano $xy$ e per vedere graficamente il punto $(x;y)$ avvicinarsi a $(0;0)$ allora bisogna vedere la sua ascissa e la sua ordinata che separatamente e indipendentemente l'una dall'altra si avvicinano ciascuna al proprio $0$ lungo il proprio asse coordinante: cioè bisogna vedere l'ascissa $x$ del punto in questione muoversi unicamente lungo l'asse delle ascisse e avvicinarsi allo $0$ di quest'asse, e similmente bisogna poi vedere l'ordinata $y$ del punto in questione muoversi unicamente lungo l'asse delle ordinate e avvicinarsi allo $0$ di quest'asse. è questo quello che intendo quando dico che $(x;y)$ tende a $(0;0)$ con $x$ e $y$ non legate tra loro e volevo sapere se questo ragionamento è giusto (sia nel caso particolare dell'esempio, con $(x;y)$ che tende a $(0;0)$, sia in generale per $(x;y)$ che tende a un generico $(x_0;y_0)$): è questo il chiarimento che chiedevo nelle domande 7) e 8) e lo chiedo nuovamente, sperando di essere riuscito a spiegarmi in modo civile.
parte 2
quanto alla risposta che hai dato alle domande 7) e 8) non ho capito quale sia la differenza tra lo scrivere "$x to x_0$ e $y to y_0$" e lo scrivere "$(x;y) to (x_0;y_0)$"...non indicano entrambi che il punto $(x;y)$ deve tendere al punto $(x_0;y_0)$? forse la scrittura "$x to x_0$ e $y to y_0$" indica che il punto $(x;y)$ tende al punto $(x_0;y_0)$ con la possibilità di muoversi solo lungo le rette e quindi se c'è un legame tra $x$ e $y$ questo legame può essere solo lineare (oppure il legame può non esserci proprio) mentre la scrittura $(x;y) to (x_0;y_0)$ pur'essa indica che il punto $(x;y)$ tende al punto $(x_0;y_0)$ ma tra $x$ e $y$ può esistere un qulunque legame anche non lineare (oppure il legame può non esserci proprio)?
spero di essere riuscito a rendere quello che la mia mente contorta ha pensato...ancora scusa se prima mi sono espresso male
2) più o meno esatto: con quella simbologia si indica il passaggio al limite lungo le rette.. Il piccolo errore è che il legame può non essere lineare..
1) tu dici "quando hai detto che non è necessario legare tra loro la $x$ e la $y$ io ho pensato che se non si legano tra loro le due variabili succede che il punto $(x;y)$ si avvicina al punto $(0;0)$ con la $x$ e la $y$ che si avvicinano ciascuna al proprio $0$ in modo indipendente l'una dall'altra..."
sì, ma non per forza lungo le rette $x=0$ e $y=0$... è quello che ho cercato di dire, ma forse mi sono espresso male.
P.s. come al solito, oggi è venerdi e io parto. Riprendiamo domenica o lunedi.
P.p.s. se sei più o meno convinto di questa digressione sui limiti di funzioni di due variabili, ti invito a ricominciare a pensare al nostro problema... se non ti viene in mente niente puoi sempre provare a consultare il buon vecchio wiki.
1) tu dici "quando hai detto che non è necessario legare tra loro la $x$ e la $y$ io ho pensato che se non si legano tra loro le due variabili succede che il punto $(x;y)$ si avvicina al punto $(0;0)$ con la $x$ e la $y$ che si avvicinano ciascuna al proprio $0$ in modo indipendente l'una dall'altra..."
sì, ma non per forza lungo le rette $x=0$ e $y=0$... è quello che ho cercato di dire, ma forse mi sono espresso male.
P.s. come al solito, oggi è venerdi e io parto. Riprendiamo domenica o lunedi.
P.p.s. se sei più o meno convinto di questa digressione sui limiti di funzioni di due variabili, ti invito a ricominciare a pensare al nostro problema... se non ti viene in mente niente puoi sempre provare a consultare il buon vecchio wiki.
"ubermensch":
2) più o meno esatto: con quella simbologia si indica il passaggio al limite lungo le rette.. Il piccolo errore è che il legame può non essere lineare..
come si fa a fare il passaggio al limite lungo una retta se il legame tra $x$ e $y$ non è lineare?
"ubermensch":
1) tu dici "quando hai detto che non è necessario legare tra loro la $x$ e la $y$ io ho pensato che se non si legano tra loro le due variabili succede che il punto $(x;y)$ si avvicina al punto $(0;0)$ con la $x$ e la $y$ che si avvicinano ciascuna al proprio $0$ in modo indipendente l'una dall'altra..."
sì, ma non per forza lungo le rette $x=0$ e $y=0$... è quello che ho cercato di dire, ma forse mi sono espresso male.
quindi $x$ si avvicina al suo $0$ lungo una retta o una curva e $y$ lungo un'altra retta o un'altra curva e queste due rette non sono necessariamente gli assi coordinanti...giusto? ma in tal caso significa che leghiamo $x$ a una terza variabile $t$ e $y$ a una quarta variabile $h$ (altrimenti $x$ e $y$ non potrebbero muoversi se non ciascuna lungo il proprio asse coordinante): giusto?
P.S.: il problema non è che tu ti esprimi male è che io ho difficoltà a seguire questi concetti
Caro Wizard, per variare un po' ti propongo uno stimolante esercizio sempre sugli spazi metrici. Intanto alcune definizioni (puo' darsi ti siano gia' note). Nel seguito, con $S$ indichero' uno spazio metrico.
1) date una successione $(x_n)_{n \in NN}$ in $S$ e una successione strettamente crescente $(n_k)_{k \in NN}$ di numeri naturali, la successione $(x_{n_k})_{k \in NN}$ si dice sottosuccessione di $(x_n)_{n \in NN}$
2) se $d$ e' la distanza su $S$, $c \in S$ e $r > 0$ e' un numero reale, l'insieme $B(c, r) \equiv { x \in S | d(c, x) < r }$ si chiama palla aperta di centro $c$ e raggio $r$
3) un sottoinsieme $A$ di $S$ si dice aperto se e' unione di palle aperte, se cioe' per ogni $x \in A$ esiste $r > 0$ tale che $B(x, r) \subseteq A$ (in particolare l'insieme vuoto e $S$ sono aperti)
4) una famiglia $(X_i)_{i \in I}$ di parti di $S$ si dice un ricoprimento di $S$ se $S \subseteq \cup_{i \in I} X_i$
5) uno spazio metrico $S$ si dice compatto se da ogni ricoprimento di $S$ costituito da aperti (brevemente, ricoprimento aperto di $S$) se ne puo' estrarre uno finito
6) uno spazio metrico $S$ si dice sequenzialmente compatto se da ogni successione in $S$ si puo' estrarre una sottosuccessione convergente.
Ed ecco l'esercizio che ti propongo: dimostrare il
Teorema di Bolzano-Weierstrass Uno spazio metrico e' compatto se e solo se e' sequenzialmente compatto.
1) date una successione $(x_n)_{n \in NN}$ in $S$ e una successione strettamente crescente $(n_k)_{k \in NN}$ di numeri naturali, la successione $(x_{n_k})_{k \in NN}$ si dice sottosuccessione di $(x_n)_{n \in NN}$
2) se $d$ e' la distanza su $S$, $c \in S$ e $r > 0$ e' un numero reale, l'insieme $B(c, r) \equiv { x \in S | d(c, x) < r }$ si chiama palla aperta di centro $c$ e raggio $r$
3) un sottoinsieme $A$ di $S$ si dice aperto se e' unione di palle aperte, se cioe' per ogni $x \in A$ esiste $r > 0$ tale che $B(x, r) \subseteq A$ (in particolare l'insieme vuoto e $S$ sono aperti)
4) una famiglia $(X_i)_{i \in I}$ di parti di $S$ si dice un ricoprimento di $S$ se $S \subseteq \cup_{i \in I} X_i$
5) uno spazio metrico $S$ si dice compatto se da ogni ricoprimento di $S$ costituito da aperti (brevemente, ricoprimento aperto di $S$) se ne puo' estrarre uno finito
6) uno spazio metrico $S$ si dice sequenzialmente compatto se da ogni successione in $S$ si puo' estrarre una sottosuccessione convergente.
Ed ecco l'esercizio che ti propongo: dimostrare il
Teorema di Bolzano-Weierstrass Uno spazio metrico e' compatto se e solo se e' sequenzialmente compatto.
"Sandokan.":
4) una famiglia $(X_i)_{i \in I}$ di parti di $S$ si dice un ricoprimento di $S$ se $S \subseteq \cup_{i \in I} X_i$
questa non l'ho capita: cos'è una "famiglia"? cosa sono le parti si $S$? cos'è $l$? che significa $U_{i in l}X_i$?
famiglia di parti = insieme di sottoinsiemi
$I$ si chiama insieme di indici. Ad esempio se $I={1...n}$ significa che stai considerando $n$ sottoinsiemi si $S$. Da notare che $I$ può anche essere infinito e quindi la "famiglia di parti indicizzata da $I$" è un insieme costituito da infiniti sottoinsiemi di $S$.
$\bigcup_{i\inI}X_i$ significa: unione al variare di $i\inI$ di tutti gli insiemi $X_i$.
$I$ si chiama insieme di indici. Ad esempio se $I={1...n}$ significa che stai considerando $n$ sottoinsiemi si $S$. Da notare che $I$ può anche essere infinito e quindi la "famiglia di parti indicizzata da $I$" è un insieme costituito da infiniti sottoinsiemi di $S$.
$\bigcup_{i\inI}X_i$ significa: unione al variare di $i\inI$ di tutti gli insiemi $X_i$.
"WiZaRd":
[quote="ubermensch"]2) più o meno esatto: con quella simbologia si indica il passaggio al limite lungo le rette.. Il piccolo errore è che il legame può non essere lineare..
come si fa a fare il passaggio al limite lungo una retta se il legame tra $x$ e $y$ non è lineare?
"ubermensch":
1) tu dici "quando hai detto che non è necessario legare tra loro la $x$ e la $y$ io ho pensato che se non si legano tra loro le due variabili succede che il punto $(x;y)$ si avvicina al punto $(0;0)$ con la $x$ e la $y$ che si avvicinano ciascuna al proprio $0$ in modo indipendente l'una dall'altra..."
sì, ma non per forza lungo le rette $x=0$ e $y=0$... è quello che ho cercato di dire, ma forse mi sono espresso male.
quindi $x$ si avvicina al suo $0$ lungo una retta o una curva e $y$ lungo un'altra retta o un'altra curva e queste due rette non sono necessariamente gli assi coordinanti...giusto? ma in tal caso significa che leghiamo $x$ a una terza variabile $t$ e $y$ a una quarta variabile $h$ (altrimenti $x$ e $y$ non potrebbero muoversi se non ciascuna lungo il proprio asse coordinante): giusto?
P.S.: il problema non è che tu ti esprimi male è che io ho difficoltà a seguire questi concetti
[/quote]lo so che sono un rompiscatole paranoico e logorroico, ma potete per favore rispondere quà?
pensa alla velocità: puoi muoviti sulla retta $x=0$ con una certa velocità. Poi spostati sulla retta $y=0$ e recupera il tempo perduto muovendoti ad una velocità $e^v$ (dove $v$ è la velocità in cui ti sei mosso su $x$).. dopo ripassa su $x$ eccetera..
Al di là dei vari salti che ti dicono che il legame è discontinuo (e quindi non lineare: le rette sono continue), si ha anche che ogni "pezzo continuo" non è lineare, perchè il legame è dato da un esponenziale.
Formalmente succede come dici tu... ti conviene però ragionare un pò più intuitivamente: l'idea è che ci si avvicina a $(0,0)$ scegliendo i punti a casaccio!
Al di là dei vari salti che ti dicono che il legame è discontinuo (e quindi non lineare: le rette sono continue), si ha anche che ogni "pezzo continuo" non è lineare, perchè il legame è dato da un esponenziale.
Formalmente succede come dici tu... ti conviene però ragionare un pò più intuitivamente: l'idea è che ci si avvicina a $(0,0)$ scegliendo i punti a casaccio!
ringrazio uber per l'ultimo chiarimento e gli auguro un buon fine settimana
mentre penso anche alla successione dell'esercizio di uber....penso anche a quello di sandokan....però....
alla 5) quando si dice "se ne può estrarre uno finito" che cos'è questo uno che si deve potere estrarre e come fa a essere finito?
alla 6) la sottosuccessione deve convergere a qualche cosa di preciso o basta che converge a qualche cosa?
mentre penso anche alla successione dell'esercizio di uber....penso anche a quello di sandokan....però....
"Sandokan.":
5) uno spazio metrico $S$ si dice compatto se da ogni ricoprimento di $S$ costituito da aperti (brevemente, ricoprimento aperto di $S$) se ne puo' estrarre uno finito
6) uno spazio metrico $S$ si dice sequenzialmente compatto se da ogni successione in $S$ si puo' estrarre una sottosuccessione convergente.
alla 5) quando si dice "se ne può estrarre uno finito" che cos'è questo uno che si deve potere estrarre e come fa a essere finito?
alla 6) la sottosuccessione deve convergere a qualche cosa di preciso o basta che converge a qualche cosa?
"WiZaRd":
ringrazio uber per l'ultimo chiarimento e gli auguro un buon fine settimana
mentre penso anche alla successione dell'esercizio di uber....penso anche a quello di sandokan....però....
[quote="Sandokan."]
5) uno spazio metrico $S$ si dice compatto se da ogni ricoprimento di $S$ costituito da aperti (brevemente, ricoprimento aperto di $S$) se ne puo' estrarre uno finito
6) uno spazio metrico $S$ si dice sequenzialmente compatto se da ogni successione in $S$ si puo' estrarre una sottosuccessione convergente.
alla 5) quando si dice "se ne può estrarre uno finito" che cos'è questo uno che si deve potere estrarre e come fa a essere finito?
alla 6) la sottosuccessione deve convergere a qualche cosa di preciso o basta che converge a qualche cosa?[/quote]
Per la 5), s'intende che dato un ricoprimento aperto $(A_i)_{i \in I}$ di $S$ deve esistere un sottoinsieme finito $F$ di $I$ tale che $(A_i)_{i \in F}$ sia ancora un ricoprimento di $S$.
Per la 6), non ho capito la tua domanda.
per la 6) volevo sapere se la sottosuccessione deve convergere a un numero preciso o basta che converge?
"WiZaRd":
per la 6) volevo sapere se la sottosuccessione deve convergere a un numero preciso o basta che converge?
Purtroppo continuo a non capire! Che vuol dire ''un numero preciso''? Ad ogni modo gli elementi di $S$ non sono numeri, in generale.
Forse per chiarezza sara' meglio scrivere che cosa s'intende per successione convergente.
Intanto, dato un $x \in S$, un sottoinsieme $V$ di $S$ si dice un intorno di $x$ se esiste un aperto $A$ tale che $x \in A$ e $A \subseteq V$.
Dati poi una successione $(x_n)_{n \in N}$ in $S$ e un $x \in S$, si dice che $(x_n)_{n \in N}$ converge a $x$ se per ogni intorno $V$ di $x$ esiste $n_0 \in N$ tale che $x_n \in V$ per ogni $n >= n_0$.
Infine, una successione $(x_n)_{n \in N}$ in $S$ si dice convergente se esiste un $x \in S$ tale che $(x_n)_{n \in N}$ converga a $x$.
Spero di aver chiarito i tuoi dubbi!
PS Se riesci a svolgere l'esercizio che ti ho proposto, ho qualche altra cosetta in serbo per te!
perdona la mia ignoranza....nella traccia del tuo esercizio hai detto che $S$ è uno spazio metrico e che una famiglia $(X_i)_{i in l}$ di parti di $S$ è un ricoprimento di $S$ se $S$ è un sottoinsieme in senso largo dell'uninione al variare di $i in l$ di tutti gli insiemi $X_i$ (non l'ho scrito in simboli perché non so fare i simboli di inclusione e uninione dei sottoinsiemi)....uber ha poi detto che una famiglia di un insieme è un insieme di sottoinsiemi di questo insieme....quindi (molto porbabilmente non ho capito na mazza) ma come fa $S$ ad essere un sottoinsieme dell'uninione di tutti i suoi sottoinsiemi? o è uguale all'unione di tutti i suoi sottoinsiemi o l'uninione dei sui sottoinsiemi è ancora un suo sottoinsieme ma $S$ non può essere sottoinsieme della unioine dei suoi stessi sottoinsiemi: giusto?
P.S.: perdonami se sono impreciso nello scrivere e non uso il simbolismo ma il mouse è partito (oggi devo vedere un poco dove lo trovo) e la tastiera sta per fare la stessa fine....
P.S.: perdonami se sono impreciso nello scrivere e non uso il simbolismo ma il mouse è partito (oggi devo vedere un poco dove lo trovo) e la tastiera sta per fare la stessa fine....
Osservazione acuta, come sempre...
E' molto semplice, quell'inclusione e' da intendersi in senso largo, e quindi non esclude l'eguaglianza (anzi avrei potuto benissimo scrivere $=$ invece di $\subseteq$).
E' molto semplice, quell'inclusione e' da intendersi in senso largo, e quindi non esclude l'eguaglianza (anzi avrei potuto benissimo scrivere $=$ invece di $\subseteq$).
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