Un esercizio per maturandi

[Chevtchenko]

Segnalo un interessante esercizio, peraltro sicuramente alla portata di uno studente del V anno.

Prima una definizione (che credo comunque si nota a tutti):

Dato un insieme $S$, una funzione $d : S \times S \rightarrow [0, + \infty[$ si dice una metrica su $S$ se sono soddisfatte le proprieta' seguenti:

1) $d (x, y) = 0 \iff x = y$, $\forall x, y$

2) $d (x, y) = d (y, x)$, $\forall x, y$

3) $d (x, z) <= d (x, y) + d (y, z)$, $\forall x, y, z$.

Bene!

Dimostrare che posto $d (u, v) = \int_{-1}^{1} | u (x) - v (x) | dx$, $d$ e' una metrica sull'insieme delle funzioni reali continue su $[-1, 1]$.

[Principe2]

"WiZaRd": è possibile che non converga proprio? penso di sì, basta che non sia di cauchy)

infatti! prendi ad esempio la successione $x_n=(-1)^n$ non converge in $RR$, che è già completo, in quanto oscilla sempre tra $1$ e $-1$.

"WiZaRd":
applicando questo al nostro esercizio dobbiamo inventarci una successione che ci permetta di lavorarci sopra con la metrica $d$ che sandokan ha creato (quindi la dobbiamo creare continua in $[-1,1]$), che sia di cauchy con quella metrica (e questo lo dobbiamo dimostrare) e che converga fuori da $S$ (e pure questo è da dimostrare)......

la successione già ce l'abbiamo... la prima che hai detto va bene... devi fare ora tutte le verifiche che hai detto. Cioè che è di Cauchy, ma il limite non è continuo (cioè converge fuori da $C^0$)

[G.D.5]

ok...adesso comincio a provarci e poi vi faccio sapere a che cosa arrivo...

[G.D.5]

e allora...per quanto riguarda il dimostrare che la successione considerata e di cauchy io provo a procedere così:

allora, data la successione di funzioni $f_n$ così definita

$f_n=-1 \mbox { se } x \in [-1;-\frac{1}{n})$
$f_n=nx \mbox { se } x \in [-\frac{1}{n};\frac{1}{n}]$
$f_n= 1 \mbox { se } x \in (\frac{1}{n};1]$

si vuole dimostrare che, fissato $\epsilon \in RR^{+}$ esiste $\mu(\epsilon) \in NN$ tale che $\forall n,m \in NN$ tali che $n,m \geq \mu(\epsilon)$ si abbia $d(f_n,f_m)<\epsilon$ ove $d$ è la metrica $d(u,v)=\int_{-1}^{1}|u(x)-v(x)|dx$ sullo spazio delle funzioni reali di variabile reale continue sull'intervallo $[-1;1]$...per fare ciò si può anche mostrare che la disequazione $d(f_n,f_m)<\epsilon$ è risolta da per coppie $n,m \in NN$ oppurtunamente scelete e maggiori di un valore naturale funzione di $\epsilon$ (cioè il nostro $\mu(\epsilon)$)... quindi

$d(f_n,f_m)<\epsilon \rightarrow int_{-1}^{1}|f_n - f_m|dx<\epsilon$

per il teorema sul valore assoluto dell'integrale segue

$|\int_{-1}^{1}(f_n-f_m)dx|\leq\int_{-1}^{1}|f_n-f_m|dx<\epsilon \rightarrow |\int_{-1}^{1}(f_n-f_m)dx|<\epsilon$

a questo punto, separando l'integrale e spezzando opoortunamente gli intervalli d'integrazione si ha

$|\int_{-1}^{1}(f_n-f_m)dx|=|\int_{-1}^{1}f_ndx-\int_{-1}^{1}f_mdx|<\epsilon$
$|\int_{-1}^{-\frac{1}{n}}f_ndx+\int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}}f_ndx+\int_{\frac{1}{n}}^{1}f_ndx-\int_{-1}^{-\frac{1}{m}}f_mdx-\int_{-\frac{1}{m}}^{\frac{1}{m}}f_mdx-\int_{\frac{1}{m}}^{1}f_mdx|<\epsilon$

tenuto conto di come si è definita la successione si ha

$|\int_{-1}^{-\frac{1}{n}}(-1)dx+\int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}}nxdx+\int_{\frac{1}{n}}^{1}(+1)dx-\int_{-1}^{-\frac{1}{m}}(-1)dx-\int_{-\frac{1}{m}}^{\frac{1}{m}}mxdx-\int_{\frac{1}{m}}^{1}(+1)dx|<\epsilon$
$|-1[x]_{-1}^{-\frac{1}{n}}+n[\frac{x^2}{2}]_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}}+1[x]_{\frac{1}{n}}^{1}-(-1)[x]_{-1}^{-frac{1}{m}}-m[\frac{x^2}{2}]_{-\frac{1}{m}}^{\frac{1}{m}}-(1)[x]_{\frac{1}{m}}^{1}|<\epsilon$
$|-1(-\frac{1}{n}+1)+n[\frac{(\frac{1}{n})^2}{2}-\frac{(\frac{1}{n})^2}{2}]+1(1-\frac{1}{n})-(-1)(-\frac{1}{m}+1)-m[\frac{(\frac{1}{m})^2}{2}-\frac{(\frac{1}{m})^2}{2}]-(-1)(1-\frac{1}{m})|<\epsilon$
$|\frac{1}{n}-1+1-\frac{1}{n}-\frac{1}{m}+1-1+\frac{1}{m}|<\epsilon$
$|0|=0<\epsilon$

ovviamente $0<\epsilon$ è verificata $\forall n,m \in NN$ e, quindi, a maggior ragione, dagli $n,m$ maggiori uguali di un eventuale $\mu(\epsilon)$



va bene?

quanto a dimostrare che $f_n$ non converge in $C^0[-1;1]$ (così abbiamo chiamato l'insieme delle funzioni reali di variabile reale continue sull'intervallo $[-1;1]$) non sò proprio come procedere, perchè alla domanda 9) di oggi pomeriggio uber ha detto che non è sufficiente fare il limite per $n \to +\infty$ di $f_n$ e trovare così una $f$ per dire che la $f$ trovata è la funzione limite...quindi....

andrebbe bene se, formalizzando, procedessi così:
facendo tendere $n \to +\infty$ la successione $f_n$ in principio definita tende alla funzione segno che denoteremo con $f$; questa non appartiene all'insieme $C^0[-1;1]$ perchè non è continua, quindi, estendendo la metrica $d$, che all'inizio è stata definita sull'insieme $S=C^0[-1;1]$, a un insieme più grande che comprenda $C^0[-1;1]$ e la funzione segno $f$, di modo che $d$ sia una metrica anche per questo insieme, proviamo che $lim_{n \to +\infty}d(f_n,f)=0$...

[Principe2]

Non va bene. Infatti c'è il seguente errore (non ti preoccupare, è normalissimo!). Tu hai scritto

"WiZaRd":
$|\int_{-1}^{1}(f_n-f_m)dx|\leq\int_{-1}^{1}|f_n-f_m|dx<\epsilon

ed hai dimostrato che l'oggetto a primo membro è nullo, che è sicuramente vero (senza fare i conti puoi osservare che stai integrando una funzione dispari su un intervallo simmetrico rispetto all'origine), il problema è che a te serve una stima dell'oggetto nel membro centrale, che non è affatto nullo e nessuno ci dice a priori che la nullità del primo membro implica che l'oggetto di mezzo sia $<\varepsilon$. Quello che ti consiglio di fare è ragionare direttamente sul membro centrale, senza passare per il th del valore assoluto e di farti un disegnino per capire quale è l'interpretazione geometrica di quell'integrale.

Per quanto riguarda la seconda parte, lo vediamo dopo.

[G.D.5]

l'oggetto di mezzo è $\int_{-1}^{1}|f_n-f_m|dx$?

[Principe2]

si

[G.D.5]

facendo di nuovo la disequazione, ma osservando che, essendo $f_n$ dispari lo è anche $f_m$ e quindi anche $f_n-f_m$ e, per tanto $\int_{-1}^{1}|f_n-f_m|dx=2\int_{0}^{1}(f_n-f_m)dx$ e procedendo come prima mi viene che $m$ ed $n$ devo essere due naturali legati dalla relazione $\frac{1}{m}-\frac{1}{n}<2\epsilon$, quindi fissato $\mu(\epsilon)=2\epsilon$ basta prendere $m$ ed $n$ in modo che sia $\frac{1}{m}-\frac{1}{n}<2\epsilon$....

mmm.........sono fuori strada vero?

[Principe2]

no.. è giusta! molto bene!

se sei d'accordo proseguiamo domani che ora ho da fare.

[G.D.5]

ok...basta che mi spieghi perchè è giusta perchè non l'ho capito

ciao

[Principe2]

ovviamente io non ho fatto i conti, ma sono andato ad occhio... immagino che l'integrale che hai scritto, ovvero

$\int_{-1}^1|f_n(x)-f_m(x)|dx$

ti sia venuto $1/2(1/m-1/n)$. Cosa plausibilissima, a meno di qualche errore di conto che ti prego di controllare.
Ora devi vedere se questa espressione è $<\varepsilon$ per $n,m$ sufficientemente grandi e questo è senz'altro vero, in quanto tende a $0$. Mi pare che tu abbia fatto così... cos'è di preciso che non ti torna?

[G.D.5]

caspita...tu vai a occhio e trovi i risultati...sei un fenomeno! (non sto sfottendo, è ammirevole, sono sempre impressionato da coloro che fanno questi calcoli a mente)

comunque...mo ti spisego perchè ero perplesso

allora: dopo che mi hai detto che $f_n$ è una successione di funzioni dispari, ho capito che $\int_{-1}^{1}|f_n-f_m|dx=2\int_{0}^{1}(f_n-f_m)dx$, quindi la disequazione $\int_{-1}^{1}|f_n-f_m|dx<\epsilon$ diventava $2\int_{0}^{1}(f_n-f_m)dx<\epsilon$ che risolta mi da $\frac{1}{m}-\frac{1}{n}<\epsilon$; a questo punto nascevano le mie perplessità, perchè dicevo: "secondo la definizione di succ. di Cauchy mi servono un naturale $\mu$ funzione di $\epsilon$ e due naturali $m$ ed $n$ tali che per ognuno di essi maggiore di $\mu$ viene rispettata la disequazione iniziale: e io con l'ultima relazione da dove li prendo???" quando pensavo a $\mu$ funzione di $\epsilon$ immaginavo che $mu$ doveva essere legato da una formula a $epsilon$, poi ho capito che $mu$ funzione di $epsilon$ significa semplicemente prendere $mu$ in maniera opportuna a seconda di come battezziamo $epsilon$(sbaglio?)...poi mi sono accorto che da $\frac{1}{m}-\frac{1}{n}<\epsilon$ segue $\frac{1}{m}<\frac{1}{n}+\epsilon$ e quindi $m
prima di andare avanti solo una cosa: perdonami se sono ripetitivo, ma ieri hai detto che una succ. può essere di Cauchy con una metrica e non esserelo con un altra e che uno spazio può essere completo con una metrica e non esserlo con un altra, poi hai parlato di convergenza indotta da una metrica: questo significa che il concetto di convergenza è relativo e dipende strettamente dalla metrica usata: una succ. può essere convergente con una metrica e non esserlo con un altra?

[Principe2]

"WiZaRd": $\frac{1}{m}<\frac{1}{n}+\epsilon$ e quindi $m

questo passaggio è sbagliato: non puoi invertire addendo per addendo, semmai puoi riscriverlo nella forma $1/m<(1+n\varepsilon)/n$ e poi invertire membro a membro (devi invertire anche il verso della disuguaglianza)...
comunque, senza perdersi in questi dettagli puoi anche osservare che la successione a due indici $1/m-1/n$ sicuramente tende a $0$ quando $n,m->\infty$, per cui sarà sicuramente minore di $\varepsilon$ definitivamente (cioè a partire da un certo $\mu(\varepsilon)$), per la definizione di limite.

"WiZaRd": una succ. può essere convergente con una metrica e non esserlo con un altra?

certamente... in mezzo a quel post unghissimo ti ho messo anche un esempio.

Se sei convinto di tutto questo possiamo cominciare a pensare alla seconda parte dell'esercizio, ossia alla dimostrazione che $f_n$ tende ad una funzione che non è continua... fammi sapere se ci vuoi pensare da solo vuoi avere un indizio di come procedere.

[G.D.5]

ok...sono convinto...possiamo passare al secondo tempo...

io avevo pensato di fare così....intuitivamente la funzione segno $f$ è la funzione limite, ma non essendo continua essa non appartiene a $C^0[-1;1]$ quindi non posso fare direttamente $d(f_n,f)$, quindi usiamo il teorema del completamento ed estendiamo la metrica $d$ a un insieme più grande di $C^0[-1;1]$ e in questo verifichiamo che $lim_{n \rightarrow +\infty}d(f_n,f)=0$.........ma forse non va bene perchè per usare il teorema del completamento bisogna già sapere che $C^0[-1;1]$ non è completo mentre è proprio questo quello che dobbiamo dimostrare.....

[Principe2]

il problema è che non è detto che la metrica nel completamento sia ancora quella metrica che abbiamo definito: è sicuramente la stessa sulle funzioni continue, ma sulle altre a priori non lo sappiamo. Potresti però osservare che la funzione segno ha una sola discontinuità nell'origine, per cui potresti pensare di spezzare i due integrali in $[-1,0)$ e $(0,1]$ in cui la funzione segno è continua...

[G.D.5]

non l'ho capita...

[Principe2]

prova a mostrare che $f_n->sign$ separatamente negli intervalli $(0,1]$ e $[-1,0)$... a questo punto la funzione limite dovrà necessariamente essere uguale a $1$ per $x>0$ e a $-1$ per $x<0$, ne segue che non può essere continua nell'origine.

[G.D.5]

mmm...io faccio così ma non mi trovo

$lim_{n \to +\infty} \int_{0}^{1}|f_n-f|dx=lim_{n \to +\infty} [\int_{0}^{\frac{1}{n}}|nx-f|dx+\int_{\frac{1}{n}}^{1}|1-f|dx]=lim_{n \to +\infty}[\int_{0}^{\frac{1}{n}}|nx-1|dx+\int_{\frac{1}{n}}^{1}|1-1|dx=\lim_{n \to +\infty}n[\frac{1}{2n^2}-\frac{1}{n}]=lim_{n \to +\infty}(\frac{1}{2n}-1)=0-1 \ne 0$

e quindi non mi trovo

poi un altra cosa...riflettendo sulla successione da me proposta e sulla funzione segno, mi sono messo a cercare qualche cosa sulle proprietà di queste due funzioni per vedere se riuscivo a risolvere la cosa che ho scritto magari manipolando ancora gli integrali e su un documento in formato .pdf intitolato "particolarità di alcune successioni" che credo venga da qualche università, a proposito della successione, è uscita sta cosa:

data la successione $f_n(x)$ definita come segue:
$f_n(x)=-1 \mbox { se } x \in [-1;-\frac{1}{n}]$
$f_n(x)=nx \mbox { se } x \in (-\frac{1}{n};\frac{1}{n})$
$f_n(x)=1 \mbox { se } x \in [\frac{1}{n};1]$
essa ha una importante caratteristica: fissato $m>n$ allora $f_m$ e $f_n$ differiscono al più sull'insieme $(-\frac{1}{n};\frac{1}{n})$ e su tale insieme vale $|f_n(x)-f_m(x)|\leq2$ da dove gli è uscita sta disuguaglianza? per fare la differenza |$f_n(x)-f_m(x)$| io sapevo che si doveva fissare la $x$ e poi fare la differenza e in questo modo quella disuguaglianza non è vera: cioè, non succede mai che è uguale a 2...o sbaglio anche su questo? (ormai secondo me sbaglio su tutto ) il documento poi conclude facendo tutta una serie di giochini con questa altre successioni, giochini del tipo integrali e derivate....boh....a questo punto io mi arrendo, è troppo difficile per me...quando avete un poco di tempo date anche una occhiata a questa cosa sulla successione?...grazie

ciao

[Principe2]

Perchè arrenderti? c'è solo un errore di calcolo!

"WiZaRd":mmm...io faccio così ma non mi trovo

\lim_{n \to +\infty}n[\frac{1}{2n^2}-\frac{1}{n}]=lim_{n \to +\infty}(\frac{1}{2n}-1)=0-1 \ne 0$

ciao

perchè quella $n$ sta fuori dall'integrale? sta dentro! infatti si ha:

$\int_0^{1/n}nx-1dx=n/(2n^2)-1/n->0$

che è proprio quello che si voleva. Il conto analogo nell'intervallo $[-1,0)$ mostra la convergenza alla funzione segno anche in tale intervallo. Ripeto allora ciò che se ne conclude: i conti appena fatti mostrano che la funzione limite deve valere $1$ in $(0,1]$ e $-1$ in $[-1,0)$, per cui non può essere continua nell'origine.

convinto?

se sei interessato possiamo proseguire su una delle tante strade che si sono spalancate lungo la nostra discussione.

P.s. hai detto: "queste sono cose troppo difficili per me".. scusami ma mi pare che le maneggi piuttosto bene per uno che ha cominciato a vederle una settimana fa... sostanzialmente hai fatto solo errori di calcolo. Ti sei posto dubbi molto giusti, le cui risposte spesso non erano affatto banali ... se fosse stato un esame avresti senz'altro preso trenta e lode!

Fammi sapere se hai intenzione di proseguire... ho giusto in testa una bella linea di sviluppo!

[Principe2]

ho dimenticato di dirti di quella disuguaglianza: hai senz'altro ragione a dire che non vale mai con l'uguale, ma ciò non significa che sia sbagliata: se scrivessi $4\le7$ avresti ragione a storcere la bocca e dire che ho esagerato a mettere il minore largo, ma ciò non significa che abbia scritto una cosa sbagliata. Nella fattispecie mi pare che quella disugaglianza si possa scrivere con $1$ al posto di $2$ ed in questo caso sarebbe anche la migliore stima che possiamo ottenere, essendoci degli $x$ in cui quella differenza ha effettivamente modulo $1$.

[G.D.5]

allora...

1) ti ringrazio per la pazienza (quando a scuola cominciavo a incaparmi in questo modo il prof mi diceva che ero troppo problematico - uso l'imperfetto perchè gli esami sono quasi finiti e meno di ribaltoni ce la dovrei avere fatta)

2) piccola incertezza: così abbiamo dimostrato che la funzione segno è la funzione limite nei due intervalli $(-1;0]$ e $[0;1)$: cosa ci assicura che lo sia in tutto l'intervallo $[-1;1]$?...provo a rispondermi da solo: se ci fosse un altra funzione limite in tutto l'intervallo $[-1;1]$ allora questa sarebbe la funzione limite anche nei sottointervalli di questo intervallo, tra cui $(-1;0]$ e $(0;1]$, ma a questo punto in questi due intervalli avremmo due funzioni limite il che non è possibile (dico questo perchè credo che come il limite di una funzione è unico lo sia anche il limite di una successione di funzioni): giusto?

3) per quanto riguarda la disuguaglianza mi ero dimenticato del significato del minore largo e mi intestardivo sul $2$...però solo una cosa: credo che una stima ancora migliore sia $|f_n-f_m|<1$, perchè per come abbiamo costruito la successione il massimo della funzione è $1$ e non ci sono $x$ per le quali su $f_n$ si abbia $0$ e su $f_m$ si abbia $1$ (almeno credo)

4) la successione $f_n$ definita così
$f_n=-1 \mbox { se } x \in [-1;-\frac{1}{n}]$
$f_n=nx \mbox { se } x \in (-\frac{1}{n};\frac{1}{n})$
$f_n=+1 \mbox { se } x \in [\frac{1}{n};1]$
e la successione $f_n$ definita come l'ho definita io:
$f_n=-1 \mbox { se } x \in [-1;-\frac{1}{n})$
$f_n=nx \mbox { se } x \in [-\frac{1}{n};\frac{1}{n}]$
$f_n=+1 \mbox { se } x \in (\frac{1}{n};1]$
sono la stessa successione?
Se passo al limite per $n \to +\infty$ in entrambe, con la prima ottengo una funzione che non è una funzione, nel senso che $f_n=-1 \mbox { se } x \in [-1;-\frac{1}{n}]$ diventa $f_n=-1 \mbox { se } x \in [-1;0]$, poi $f_n=nx \mbox { se } x \in (-\frac{1}{n};\frac{1}{n})$ diventa na cosa che la $x$ non ce l'ha perchè l'intervallo $(-\frac{1}{n};\frac{1}{n})$ diventa $(0;0)$ e io non lo so se esiste una $x$ che sia minore e contemporaneamente maggiore di $0$, e infine $f_n=+1 \mbox { se } x \in [\frac{1}{n};1]$ diventa $f_n=+1 \mbox { se } x \in [0;1]$ per cui a $x=0$ ho due $f_n(x)$: una vale $-1$ e l'altra $1$...quindi credo che una delle due non vada bene ...tu che dici?

5) con la disuguaglianza$|f_n-f_m|<1$ riferita all'intervallo $[-\frac{1}{n};\frac{1}{n}]$ avremmo anche potuto dimostarre che la successione che ho scritto, cioè
$f_n=-1 \mbox { se } x \in [-1;-\frac{1}{n})$
$f_n=nx \mbox { se } x \in [-\frac{1}{n};\frac{1}{n}]$
$f_n=+1 \mbox { se } x \in (\frac{1}{n};1]$
è di Cauchy: infatti, l'integrale di tutta la successione si sarebbe ridotto a $\int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}}|f_n-f_m|dx$ che è minore di $\frac{2}{n}$ e a questo punto $\frac{2}{n}$ può essere reso minore di $\epsilon$ per $n$ opportunamente e definitivamente grande....sei d'accordo?

6) domanda: il casino degli integrali per dimostrare la convergenza poteva anche essere risolto così come segue
$\int_{0}^{1}|f_n-f|dx=\int_{0}^{\frac{1}{n}}|nx-f|dx+\int_{\frac{1}{n}}^{1}|1-f|dx$
passando al limite per $n \to +\infty$ e dovendo trovarci che il limite è $0$
$\int_{0}^{0}|0-f|dx+\int_{0}^{1}|1-f|dx=0 \rightarrow f=1 \mbox { per } x>0$

7) quanto a come ho fatto i conti io hai ragione ho messo fuori un $n$ che stava invece dentro

8) quando al liceo facciamo i passaggi al limite o quando intuitivamente uno dice "se passo a qesto limite ottengo questo", inconsapevolmente, lo si fa usando implicitamente la metrica euclidea $d(u,v)=|u-v|$? io penso di sì a te la sentenza

9) se comunemente un liceale fa il passaggio al limite usando intuitivamente la metrica euclidea, con la metrica euclidea sarebbe bastato fare il passaggio al limite per $n \to +\infty$ per ottenere la funzione limite...giusto?

chiarito ciò, se ti fa piacere di proseguire e di rispondere alle mie probabili altre mille domande (non è che lo faccio a posta per dare fastidio ma se non capisco qualche cosa sento il bisogno di chiedere), per me va sempre bene...male non fa