Un esercizio per maturandi
Segnalo un interessante esercizio, peraltro sicuramente alla portata di uno studente del V anno.
Prima una definizione (che credo comunque si nota a tutti):
Dato un insieme $S$, una funzione $d : S \times S \rightarrow [0, + \infty[$ si dice una metrica su $S$ se sono soddisfatte le proprieta' seguenti:
1) $d (x, y) = 0 \iff x = y$, $\forall x, y$
2) $d (x, y) = d (y, x)$, $\forall x, y$
3) $d (x, z) <= d (x, y) + d (y, z)$, $\forall x, y, z$.
Bene!
Dimostrare che posto $d (u, v) = \int_{-1}^{1} | u (x) - v (x) | dx$, $d$ e' una metrica sull'insieme delle funzioni reali continue su $[-1, 1]$.
Prima una definizione (che credo comunque si nota a tutti):
Dato un insieme $S$, una funzione $d : S \times S \rightarrow [0, + \infty[$ si dice una metrica su $S$ se sono soddisfatte le proprieta' seguenti:
1) $d (x, y) = 0 \iff x = y$, $\forall x, y$
2) $d (x, y) = d (y, x)$, $\forall x, y$
3) $d (x, z) <= d (x, y) + d (y, z)$, $\forall x, y, z$.
Bene!
Dimostrare che posto $d (u, v) = \int_{-1}^{1} | u (x) - v (x) | dx$, $d$ e' una metrica sull'insieme delle funzioni reali continue su $[-1, 1]$.
Risposte
quindi la scrittura $S \subseteq \bigcup_{i \in l} X_i$ ce la teniamo perchè è una inclusione in senso largo, fermo restando che, nel nostro particolare caso, essendo gli $X_i$ dei sottoinsiemi di $S$, in realtà può succedere o che $\bigcup_{i \in l}X_i \subset S$ (e questo succede quando, detto in parole molto volgari, non prendiamo abbastanza sottoinsiemi di $S$), o che $S=\bigcup_{i \in l}X_i$, mentre $S \subset bigcup_{i \in l}X_i$ non accade in alcun caso (proprio perchè gli $X_i$ sono tutti dei sottoinsiemi di $S$)...ho capito bene o sono fuori strada?
L'unica cosa che puo' succedere e' che $S = \cup X_i$.
non vi incazzate troppo ma mi sono venute delle altre curiosità:
1) in generale, preso un insieme $S$ e una famiglia $(X_i)_{i in l}$ di suoi sottoninsiemi, può succedere che $bigcup_{i in l}X_i$ non sia un ricoprimento di $S$?
2) $l$ può essere sia un insieme finito sia un insieme infinito: se è possibile che succeda quello che ho chiesto nella 1), questo succede solo con $l$ finito, solo con $l$ infinito o può succedere sia con $l$ finito che infinito?
3) quando sandokan ha postato l'esercizio al punto 4) ha definito il ricoprimento come una famiglia $(X_i)_{i in l}$ di parti di $S$ e al punto 5) hai detto :" uno spazio metrico si dice compatto se da ogni ricoprimento di $S$ costituito da aperti (ricoprimento aperto)...": questo "ogni ricoprimento aperto" significa che $l$ può essere sia finito che infinito?
4) in riferimento a quanto detto quì
questo significa che per ciascuna $i in I$ uguale a una $i in F$ l'insieme $A$ che ha come indice la $i in I$ è uguale all'insieme $A$ che ha come indice la $i in F$ uguale alla $i in I$ considerata?
chiarisco il senso della domanda: se $I={1,2,3,4}$ e $F$ sottoinsieme di $I$ è $F={1,2,3}$ allora gli $A_1,A_2,A_3$ con $1,2,3$ sono presi in $I$, sono rispettivamente uguali agli $A_1,A_2,A_3$ con $1,2,3$ presi in $F$?
5) se $S$ ha un numero finito di elementi si può fare lo stesso la successione $(x_n)_{n in NN}$ ove $x$ è un elemento di $S$? se no, mi dite perchè? se sì, mi dite perchè e come?
6) si è detto che nella famiglia $(X_i)_{i in I}$ di parti di $S$ l'insieme degli indici $I$ può essere sia finito che infinito, se è infinito si hanno infiniti sottoinsiemi di $S$: affinchè $I$ possa essere infinito, $S$ deve avere infiniti elementi o può anche avere un numero finito di elementi?
(lo chiedo perchè ho pensato che se $S$ ha un numero finito $m$ di elementi allora dovrebbero essere possibile formare al massimo $sum_{k=0}^{m}frac{m!}{k!(m-k)!}$ sottoinsiemi (tenendo conto anche dell'insieme vuoto, dell'insieme $S$ stesso e del fatto che sottoinsiemi con gli stessi elementi sono uguali), per cui i sottoinsiemi possibili sono in numero finito mentre se $I$ è infinito si è detto che si considerano infiniti sottoinsiemi di $S$...appunto per questa strana e molto probabilmente poco corretta pensata che ho posto la domanda)
7) i sottoinsiemi di $S$ che formano una famiglia $(X_i)_{i in I}$ devono essere tra loro mutuamente disgiunti o possono anche avere elementi in comune?
8) data una certa famiglia $(X_i)_{i in I}$ di parti di $S$, l'insieme unione che risulta dall'unione dei sottoinsiemi di $S$ che compongono la famiglia considerata deve essere per forza uguale a $S$ o può anche ancora essere un suo sottoinsieme?
9) una famiglia $(X_i)_{i in I}$ di parti di $S$ deve per forza comprendere tutti i possibili sottoinsiemi di $S$?
P.S.: perdonatemi se continuo a fare domande invece di fare l'esercizio ma è che mentre cerco di farlo mi vengono sti dubbi-curiosità e sapendo che ci sta qualcuno di buona volontà che sa quello che dice quando risponde mi viene naturale fare le domande
1) in generale, preso un insieme $S$ e una famiglia $(X_i)_{i in l}$ di suoi sottoninsiemi, può succedere che $bigcup_{i in l}X_i$ non sia un ricoprimento di $S$?
2) $l$ può essere sia un insieme finito sia un insieme infinito: se è possibile che succeda quello che ho chiesto nella 1), questo succede solo con $l$ finito, solo con $l$ infinito o può succedere sia con $l$ finito che infinito?
3) quando sandokan ha postato l'esercizio al punto 4) ha definito il ricoprimento come una famiglia $(X_i)_{i in l}$ di parti di $S$ e al punto 5) hai detto :" uno spazio metrico si dice compatto se da ogni ricoprimento di $S$ costituito da aperti (ricoprimento aperto)...": questo "ogni ricoprimento aperto" significa che $l$ può essere sia finito che infinito?
4) in riferimento a quanto detto quì
"Sandokan.":
Per la 5), s'intende che dato un ricoprimento aperto $(A_i)_{i \in I}$ di $S$ deve esistere un sottoinsieme finito $F$ di $I$ tale che $(A_i)_{i \in F}$ sia ancora un ricoprimento di $S$.
questo significa che per ciascuna $i in I$ uguale a una $i in F$ l'insieme $A$ che ha come indice la $i in I$ è uguale all'insieme $A$ che ha come indice la $i in F$ uguale alla $i in I$ considerata?
chiarisco il senso della domanda: se $I={1,2,3,4}$ e $F$ sottoinsieme di $I$ è $F={1,2,3}$ allora gli $A_1,A_2,A_3$ con $1,2,3$ sono presi in $I$, sono rispettivamente uguali agli $A_1,A_2,A_3$ con $1,2,3$ presi in $F$?
5) se $S$ ha un numero finito di elementi si può fare lo stesso la successione $(x_n)_{n in NN}$ ove $x$ è un elemento di $S$? se no, mi dite perchè? se sì, mi dite perchè e come?
6) si è detto che nella famiglia $(X_i)_{i in I}$ di parti di $S$ l'insieme degli indici $I$ può essere sia finito che infinito, se è infinito si hanno infiniti sottoinsiemi di $S$: affinchè $I$ possa essere infinito, $S$ deve avere infiniti elementi o può anche avere un numero finito di elementi?
(lo chiedo perchè ho pensato che se $S$ ha un numero finito $m$ di elementi allora dovrebbero essere possibile formare al massimo $sum_{k=0}^{m}frac{m!}{k!(m-k)!}$ sottoinsiemi (tenendo conto anche dell'insieme vuoto, dell'insieme $S$ stesso e del fatto che sottoinsiemi con gli stessi elementi sono uguali), per cui i sottoinsiemi possibili sono in numero finito mentre se $I$ è infinito si è detto che si considerano infiniti sottoinsiemi di $S$...appunto per questa strana e molto probabilmente poco corretta pensata che ho posto la domanda)
7) i sottoinsiemi di $S$ che formano una famiglia $(X_i)_{i in I}$ devono essere tra loro mutuamente disgiunti o possono anche avere elementi in comune?
8) data una certa famiglia $(X_i)_{i in I}$ di parti di $S$, l'insieme unione che risulta dall'unione dei sottoinsiemi di $S$ che compongono la famiglia considerata deve essere per forza uguale a $S$ o può anche ancora essere un suo sottoinsieme?
9) una famiglia $(X_i)_{i in I}$ di parti di $S$ deve per forza comprendere tutti i possibili sottoinsiemi di $S$?
P.S.: perdonatemi se continuo a fare domande invece di fare l'esercizio ma è che mentre cerco di farlo mi vengono sti dubbi-curiosità e sapendo che ci sta qualcuno di buona volontà che sa quello che dice quando risponde mi viene naturale fare le domande
Vediamo...
1) e 2) Se $S$ e' non vuoto, puo' succedere benissimo che $(X_i)$ non sia un ricoprimento di $S$: prendi banalmente $X_i = \emptyset$ per ogni $i$, allora anche l'unione $\cup_i X_i$ e' vuota e quindi non include $S$.
3) Certo, puo' essere finito o infinito.
4) $F$ e' un sottoinsieme di $I$, quindi la risposta e' si' (anche se la domanda e' formulata in maniera un po' imprecisa).
5) $0, 0, 0, \ldots, 0, \ldots$ non e' una successione?
6) e 7) $S$ puo' essere pure vuoto! Nessuno ha detto che gli $X_i$ devono essere distinti!
8) Vedi la 1).
9) Assolutamente no!
1) e 2) Se $S$ e' non vuoto, puo' succedere benissimo che $(X_i)$ non sia un ricoprimento di $S$: prendi banalmente $X_i = \emptyset$ per ogni $i$, allora anche l'unione $\cup_i X_i$ e' vuota e quindi non include $S$.
3) Certo, puo' essere finito o infinito.
4) $F$ e' un sottoinsieme di $I$, quindi la risposta e' si' (anche se la domanda e' formulata in maniera un po' imprecisa).
5) $0, 0, 0, \ldots, 0, \ldots$ non e' una successione?
6) e 7) $S$ puo' essere pure vuoto! Nessuno ha detto che gli $X_i$ devono essere distinti!
8) Vedi la 1).
9) Assolutamente no!
perdonatemi se sono così lento ma credo di non avere capito molto bene...
allora, vediamo un poco quanto ho capito e quanto non ho capito....
a) (quello che ho capito dalla domanda 9 e dalla relativa risposta) dato un insieme $A$ e una famiglia $(X_i)_{i in I}$ di parti di $A$, la famiglia $(X_i)_{i in I}$ in questione può includere tutti i possibili sottoinsiemi di $A$ così come può anche non includerli tutti ma solo una parte (quanti e quali sottoinsiemi di $A$ la famiglia $(X_i)_{i in I}$ debba includere lo decidiamo noi quando costruiamo la famiglia)...giusto?
b) (in merito alla domanda 5 e alla relativa risposta) se un insieme $A$ ha un numero finito di elementi (che indiamo, ad esempio, con $x$) la successione $(x_n)_{n in NN}$ si può fare lo stesso, basta associare uno stesso elemento $x$ a più di un naturale $n$...corretto?
c) (per quanto riguarda le domande 6 e 7 e relative risposte) dato un insieme $A$ è una famiglia di parti $(X_i)_{i in I}$ non si richiede (in generale) che i sottoinsiemi di $A$ che formano la succitata famiglia non abbiamo alcun elemento in comune, quindi presi a caso due sottoinsiemi di $A$ che formano la famiglia $(X_i)_{i in I}$ la loro intersezione può essere vuota o meno (non ha importanza); poichè i sottoinsiemi di $A$ che formano la famiglia $(X_i)_{i in I}$ non devono essere necessariamente distinti, anche se $A$ ha un numero finito di elementi e, quindi, a meno di uguaglianze, un numero finito di sottoinsiemi, è comunque possibile costruire una famiglia con un insieme degli indici $I$ infinito: basta associare lo stesso sottoinsieme di $A$ a più indici diversi...ho sbagliato?
d) (per le domande 1,2 e 8 e relative risposte) dato un insieme $A$ e una famiglia $(X_i)_{i in I}$ di parti di $A$ l'unione dei sottoinsiemi di $A$ che formano la famiglia $(X_i)_{i in I}$ (cioè $bigcup_{i in I}X_i$) può essere sia un sottoinsieme di $A$ così come può anche essere uguale all'insieme $A$ stesso, il che implica che una famiglia $(X_i)_{i in I}$ di parti di $A$ non è necessariamente un ricoprimento di $A$; poichè si è detto (punto c), domande 6 e 7) che per avere un insieme degli indici $I$ infinito non occorre che $A$ sia necessariamente infinito, il fatto che la famiglia $(X_i)_{i in I}$ sia o meno un ricoprimento di $A$ non dipende dal fatto che l'insieme degli indici $I$ sia finito o infinito...giusto?
quanto cose non ho capito?
P.S.: domanda 1 se nella famiglia $(X_i)_{i in I}$ i sottoinsiemi di $A$ che la compongono sono distinti e la loro unione da proprio $A$, allora la famiglia considerata è quella che al liceo insegnano a chiamare "partizione" di $A$?
domanda 2 in buona sostanza, tra l'insieme degli indici $I$ e un insieme di sottoisiemi scelti di $A$ si crea una corrispondenza biunivoca, quindi potremmo anche parlare di una successione di sottoinsiemi $A$ che forma la famiglia $(X_i)_{i in I}$?
P.P.S.: chiedo scusa se le domande vi sembrano sempre le stesse, ma non ero abituato a tutti questi giochini con insiemi e sottoinsiemi
allora, vediamo un poco quanto ho capito e quanto non ho capito....
a) (quello che ho capito dalla domanda 9 e dalla relativa risposta) dato un insieme $A$ e una famiglia $(X_i)_{i in I}$ di parti di $A$, la famiglia $(X_i)_{i in I}$ in questione può includere tutti i possibili sottoinsiemi di $A$ così come può anche non includerli tutti ma solo una parte (quanti e quali sottoinsiemi di $A$ la famiglia $(X_i)_{i in I}$ debba includere lo decidiamo noi quando costruiamo la famiglia)...giusto?
b) (in merito alla domanda 5 e alla relativa risposta) se un insieme $A$ ha un numero finito di elementi (che indiamo, ad esempio, con $x$) la successione $(x_n)_{n in NN}$ si può fare lo stesso, basta associare uno stesso elemento $x$ a più di un naturale $n$...corretto?
c) (per quanto riguarda le domande 6 e 7 e relative risposte) dato un insieme $A$ è una famiglia di parti $(X_i)_{i in I}$ non si richiede (in generale) che i sottoinsiemi di $A$ che formano la succitata famiglia non abbiamo alcun elemento in comune, quindi presi a caso due sottoinsiemi di $A$ che formano la famiglia $(X_i)_{i in I}$ la loro intersezione può essere vuota o meno (non ha importanza); poichè i sottoinsiemi di $A$ che formano la famiglia $(X_i)_{i in I}$ non devono essere necessariamente distinti, anche se $A$ ha un numero finito di elementi e, quindi, a meno di uguaglianze, un numero finito di sottoinsiemi, è comunque possibile costruire una famiglia con un insieme degli indici $I$ infinito: basta associare lo stesso sottoinsieme di $A$ a più indici diversi...ho sbagliato?
d) (per le domande 1,2 e 8 e relative risposte) dato un insieme $A$ e una famiglia $(X_i)_{i in I}$ di parti di $A$ l'unione dei sottoinsiemi di $A$ che formano la famiglia $(X_i)_{i in I}$ (cioè $bigcup_{i in I}X_i$) può essere sia un sottoinsieme di $A$ così come può anche essere uguale all'insieme $A$ stesso, il che implica che una famiglia $(X_i)_{i in I}$ di parti di $A$ non è necessariamente un ricoprimento di $A$; poichè si è detto (punto c), domande 6 e 7) che per avere un insieme degli indici $I$ infinito non occorre che $A$ sia necessariamente infinito, il fatto che la famiglia $(X_i)_{i in I}$ sia o meno un ricoprimento di $A$ non dipende dal fatto che l'insieme degli indici $I$ sia finito o infinito...giusto?
quanto cose non ho capito?
P.S.: domanda 1 se nella famiglia $(X_i)_{i in I}$ i sottoinsiemi di $A$ che la compongono sono distinti e la loro unione da proprio $A$, allora la famiglia considerata è quella che al liceo insegnano a chiamare "partizione" di $A$?
domanda 2 in buona sostanza, tra l'insieme degli indici $I$ e un insieme di sottoisiemi scelti di $A$ si crea una corrispondenza biunivoca, quindi potremmo anche parlare di una successione di sottoinsiemi $A$ che forma la famiglia $(X_i)_{i in I}$?
P.P.S.: chiedo scusa se le domande vi sembrano sempre le stesse, ma non ero abituato a tutti questi giochini con insiemi e sottoinsiemi
Quello che dici ai punti a, b, c e d e' corretto. Quanto alla domanda 1, la risposta e' si', a patto che gli $X_i$ siano non vuoti. La domanda 2 non l'ho capita bene, mi dispiace.
allora...innanzitutto mi scuso per essere scomparso ma non è dipeso da me...sono stato da martedì a venerdì senza linea e da giovedì a sabato sono stato impegnato a ritinteggiare le pareti della mia stanza....
ringrazio sandokan per le ultime risposte...
quanto alla domanda 2 della quale non sono riuscito a rendere il senso, intendevo questo: abbiamo l'insieme degli indici $I={1,2,3...,n}$ con $n in NN$ e associamo a ogni $n$ uno e un solo sottoinsieme di un insieme $A$; poichè da quello che c'è sul mio libro di liceo, una successione è una funzione da $M subseteq NN$ a un insieme $A$ che può contenere quel che si vuole, allora avevo pensato che in tal senso anche la famiglia di parti di un insieme $A$ è una successione: da $NN$ alle parti di $A$......
quanto all'esercizio che hai proposto, ti confesso che brancolo nel buio totale
innanzitutto avevo pensato di cominciare a dividere la dimostrazione in due parti: 1) dimostrare che il compatto implica il sequenzialemente compatto; 2) il sequenzialmente compatto implica il compatto...cominciando dalla 1) avevo pensato: per definizione, se $S$ è compatto allora preso un ricoprimento aperto di $S$ ne posso prendere uno finito; un ricoprimento aperto è formato da aperti e ogni aperto è formato da palle aperte: se le palle aperte di un aperto sono concentriche allora riduciamo sempre di più il raggio e prendiamo una successione i cui elementi appartengano alle palle aperte che compongono l'aperto e che converga al centro delle palle; se le palle aperte non sono concentriche allora prendiamo quella di raggio minore e facciamo convergere la successione nel centro di questa palla...
ma secondo me sto ragionamento non ha molto senso anche perchè c'è una cosa che mi lascia perplesso: è corretto dire che un aperto è l'unione di palle aperte concentriche e/o palle aperte non concentriche?!
quanto all'esercizio di ubermansch ho trovato almeno una quarantina di successioni con le quali è possbible lo scambio ma manco una con la quale non sia possibile...
ciò detto, aspettando l'inverno perchè quà fa troppo caldo e non si può stare, attendo le vostre correzzioni
ringrazio sandokan per le ultime risposte...
quanto alla domanda 2 della quale non sono riuscito a rendere il senso, intendevo questo: abbiamo l'insieme degli indici $I={1,2,3...,n}$ con $n in NN$ e associamo a ogni $n$ uno e un solo sottoinsieme di un insieme $A$; poichè da quello che c'è sul mio libro di liceo, una successione è una funzione da $M subseteq NN$ a un insieme $A$ che può contenere quel che si vuole, allora avevo pensato che in tal senso anche la famiglia di parti di un insieme $A$ è una successione: da $NN$ alle parti di $A$......
quanto all'esercizio che hai proposto, ti confesso che brancolo nel buio totale
innanzitutto avevo pensato di cominciare a dividere la dimostrazione in due parti: 1) dimostrare che il compatto implica il sequenzialemente compatto; 2) il sequenzialmente compatto implica il compatto...cominciando dalla 1) avevo pensato: per definizione, se $S$ è compatto allora preso un ricoprimento aperto di $S$ ne posso prendere uno finito; un ricoprimento aperto è formato da aperti e ogni aperto è formato da palle aperte: se le palle aperte di un aperto sono concentriche allora riduciamo sempre di più il raggio e prendiamo una successione i cui elementi appartengano alle palle aperte che compongono l'aperto e che converga al centro delle palle; se le palle aperte non sono concentriche allora prendiamo quella di raggio minore e facciamo convergere la successione nel centro di questa palla...
ma secondo me sto ragionamento non ha molto senso anche perchè c'è una cosa che mi lascia perplesso: è corretto dire che un aperto è l'unione di palle aperte concentriche e/o palle aperte non concentriche?!
quanto all'esercizio di ubermansch ho trovato almeno una quarantina di successioni con le quali è possbible lo scambio ma manco una con la quale non sia possibile...
ciò detto, aspettando l'inverno perchè quà fa troppo caldo e non si può stare, attendo le vostre correzzioni
Per l'implicazione ''compatto $\implies$ sequenzialmente compatto" puoi provare a ragionare cosi': sia $(x_n)$ una successione in $S$, e poniamo, per ogni $n \in NN$, $F_n = \bar {{x_k | k >= n}}$ e $U_n = S - F_n$. Ciascun $U_n$ e' un aperto e se $(U_n)$ fosse un ricoprimento di $S$ allora da esso si potrebbe estrarre un sottoricoprimento finito. Ora $(U_n)$ e' crescente e quindi esisterebbe $p$ tale che $U_p = S$; ma allora si avrebbe $F_p = \emptyset$ che e' impossibile in quanto $x_p \in F_p$. Pertanto $\cup U_n \ne S$ da cui $\cap F_n \ne \emptyset$. Da qui segue facilmente che $(x_n)$ ammette un'estratta convergente.
L'altra implicazione e' un po' piu' difficile...
L'altra implicazione e' un po' piu' difficile...
non c'ho capito nienteva beh...questa è matematica troppo difficile la lascio ai più alti in grado
"WiZaRd":
:shock: non c'ho capito niente
va beh...questa è matematica troppo difficile la lascio ai più alti in grado
Caro Wizard, non perderti d'animo! La dimostrazione e' molto semplice (il difficile era arrivarci da soli), e se non ti e' chiara e' perche' forse non hai molta dimestichezza con la teoria degli spazi metrici.
Vedro' di fornirti alcuni dettagli. In primo luogo sono fondamentali in questioni di questo tipo le formule di de Morgan: se $X, A, B$ sono insiemi, con $A \subseteq X$, $B \subseteq X$, si ha
$(X - A) \cup (X - B) = X - (A \cap B)$
e dualmente
$(X - A) \cap (X - B) = X - (A \cup B)$.
Se vuoi, puoi provare a dimostrarle per esercizio.
E quanto ai ''piu' alti in grado'', ricordati che di fronte alla maesta' della scienza siamo tutti uguali. Parafrasando Toto', 'a matematica 'o ssaje che d'e'? E' na' livella!
per sandokan:
non è che mi perdo d'animo...è che la materia mi piace comunque, anche se non ci capisco niente
quanto alle leggi di de morgan ricordo che al biennio le ho fatte ma per i connettivi logici e non per gli insiemi, comunque credo che per gli insiemi si dimostrano prendendo gli insiemi in questione come gli insiemi di verità delle proposizioni che entrano nella composizione degli enunciati logici...
per ubermansch:
sul ponte sventola bandiera bianca
non ci riesco proprio a trovare la successione...mi farebbe piacere averla da te
P.S.: scusate se dico sempre, ma fa troppo CALDO
non è che mi perdo d'animo...è che la materia mi piace comunque, anche se non ci capisco niente
quanto alle leggi di de morgan ricordo che al biennio le ho fatte ma per i connettivi logici e non per gli insiemi, comunque credo che per gli insiemi si dimostrano prendendo gli insiemi in questione come gli insiemi di verità delle proposizioni che entrano nella composizione degli enunciati logici...
per ubermansch:
sul ponte sventola bandiera bianca
non ci riesco proprio a trovare la successione...mi farebbe piacere averla da te
P.S.: scusate se dico sempre, ma fa troppo CALDO
"WiZaRd":
quanto alle leggi di de morgan ricordo che al biennio le ho fatte ma per i connettivi logici e non per gli insiemi, comunque credo che per gli insiemi si dimostrano prendendo gli insiemi in questione come gli insiemi di verità delle proposizioni che entrano nella composizione degli enunciati logici...
Vero. Quindi se vuoi puoi gia' passare a dimostrarle in una forma piu' generale: se $(A_i)_{i_I}$ e' una famiglia di parti di $X$, si ha:
1) $X - \cup_{i \in I} A_i = \cap_{i \in I} (X - A_i)$
2) $X - \cap_{i \in I} A_i = \cup_{i \in I} (X - A_i)$.
mah!!!...per dimostrarle in generale io farei così: se $(A_i)_{i in I}$ è una famiglia di parti di $X$ allora anche $bigcup_{i in I} A_i$ e $bigcap_{i in I} A_i$ sono sottoinsiemi di $X$ e li chiamiamo rispettivamente $C$ e $D$; a questo punto dovrebbe bastare semplicemente applicare de morgan come nel caso semplice......va bane o ho sparato solo min****te ?
?
Sarebbe un utile esercizio dare una dimostrazione diretta...
Comunque, posso intanto passare al punto successivo. Dato un insieme $S$, una famiglia $\mathcal A$ di parti di $S$ si dice una topologia su $S$ se valgono le condizioni seguenti:
1) $\emptyset \in \mathcal A$, $S \in \mathcal A$;
2) data una famiglia $\mathcal F \subseteq \mathcal A$, $\cup_{X \in \mathcal F} X \in \mathcal A$;
3) dati $X, Y \in \mathcal F$, $X \cap Y \in \mathcal \mathcal A$.
Se $\mathcal A$ e' una topologia su $S$, la coppia $(S, \mathcal A)$ si chiama spazio topologico; gli elementi di $S$ punti, gli elementi di $\mathcal F$ aperti.
Piccolo esercizio (se vuoi...): dimostrare che sono dato un qualunque $S$ sono topologie su $S$ le seguenti:
1) $\mathcal P(S)$ (topologia discreta);
2) ${\emptyset, S}$ (topologia banale);
3) ${U \subseteq S | S - U$ e' finito o $U = \emptyset}$ (topologia cofinita).
Comunque, posso intanto passare al punto successivo. Dato un insieme $S$, una famiglia $\mathcal A$ di parti di $S$ si dice una topologia su $S$ se valgono le condizioni seguenti:
1) $\emptyset \in \mathcal A$, $S \in \mathcal A$;
2) data una famiglia $\mathcal F \subseteq \mathcal A$, $\cup_{X \in \mathcal F} X \in \mathcal A$;
3) dati $X, Y \in \mathcal F$, $X \cap Y \in \mathcal \mathcal A$.
Se $\mathcal A$ e' una topologia su $S$, la coppia $(S, \mathcal A)$ si chiama spazio topologico; gli elementi di $S$ punti, gli elementi di $\mathcal F$ aperti.
Piccolo esercizio (se vuoi...): dimostrare che sono dato un qualunque $S$ sono topologie su $S$ le seguenti:
1) $\mathcal P(S)$ (topologia discreta);
2) ${\emptyset, S}$ (topologia banale);
3) ${U \subseteq S | S - U$ e' finito o $U = \emptyset}$ (topologia cofinita).
chiedo scusa se ho tardato tanto nel dare risposta induncendo forse l'idea che me ne sono fregato dell'argomento...il punto è che il pc mi ha lasciato a piedi proprio nel periodo che il mio "tecnico" si è preso di ferie (oltre, ovviamente, alla festa del 15 agosto)
ciò detto e tornando a bomba all'ultimo esercizio proposto da sandokan provo a dare la soluzione
1) $\mathcal {P} (S)$ indica la partizione di $S$ quindi per definizione di partizione la proprietà 1) è rispettata; data poi una famiglia $mathcal {F} subseteq \mathcal{P}$ l'unione dei sottoinsiemi di $S$ che formano questa famiglia è ancora un sottoinsieme di $S$ e poiche la partizione $mathcal {P}$ li include tutti anche il punto 2) è rispettato; analogo ragionamento vale per dimostrare la validità del punto 3).
2) data la famiglia $mathcal {A}$ di $S$ definita come ${emptyset, S}$ i punti 1), 2) e 3) sono rispettati per il modo in cui la famiglia stessa è costruita: essendo la famiglia costituita da due sottoinsiemi impropri di $S$ qulunuqe ulteriore famiglia sarebbe composta da sottoinsiemi impropropri di $S$ verificando quindi i punti 2) e 3) mentre il punto 1) è verificato per costruzione
3) per come è definita la famiglia, gli insiemi $S$ e $emptyset$ vi appartengono (verificato quindi il punto 1)); basta poi prendere questi due insiemi (sottoinsiemi impropri di $S$) per verificare che esiste almeno una coppia di sottoinsiemi che godono della proprità 3) mentre la proprità 2) è verificata, ad esempio, dalla famiglia ${emptyset, S}$
sperando di non aver commesso errori ti auguro buon ferragosto
ciao
ciò detto e tornando a bomba all'ultimo esercizio proposto da sandokan provo a dare la soluzione
1) $\mathcal {P} (S)$ indica la partizione di $S$ quindi per definizione di partizione la proprietà 1) è rispettata; data poi una famiglia $mathcal {F} subseteq \mathcal{P}$ l'unione dei sottoinsiemi di $S$ che formano questa famiglia è ancora un sottoinsieme di $S$ e poiche la partizione $mathcal {P}$ li include tutti anche il punto 2) è rispettato; analogo ragionamento vale per dimostrare la validità del punto 3).
2) data la famiglia $mathcal {A}$ di $S$ definita come ${emptyset, S}$ i punti 1), 2) e 3) sono rispettati per il modo in cui la famiglia stessa è costruita: essendo la famiglia costituita da due sottoinsiemi impropri di $S$ qulunuqe ulteriore famiglia sarebbe composta da sottoinsiemi impropropri di $S$ verificando quindi i punti 2) e 3) mentre il punto 1) è verificato per costruzione
3) per come è definita la famiglia, gli insiemi $S$ e $emptyset$ vi appartengono (verificato quindi il punto 1)); basta poi prendere questi due insiemi (sottoinsiemi impropri di $S$) per verificare che esiste almeno una coppia di sottoinsiemi che godono della proprità 3) mentre la proprità 2) è verificata, ad esempio, dalla famiglia ${emptyset, S}$
sperando di non aver commesso errori ti auguro buon ferragosto
ciao
"WiZaRd":
3) per come è definita la famiglia, gli insiemi $S$ e $emptyset$ vi appartengono (verificato quindi il punto 1)); basta poi prendere questi due insiemi (sottoinsiemi impropri di $S$) per verificare che esiste almeno una coppia di sottoinsiemi che godono della proprità 3) mentre la proprità 2) è verificata, ad esempio, dalla famiglia ${emptyset, S}$
Questo non e' corretto! Infatti la proprieta' 2) deve essere verificata da una qualsiasi famiglia di elementi di $\mathcal A$, e analogamente la 3) deve essere verificata comunque si prendano $X$ e $Y$ in $\mathcal A$.
ah ok...pensavo bastasse trovare una famiglia $mathcal{A}$ per la proprietà 2) e una coppia $X,Y$ per la proprietà 3)...adesso ci penso.....
riprovo...
sia assegnata la famiglia $mathcal{A}={U \subseteq S | S - U \mbox { è finito o } U = \emptyset}$; sia $mathcal {F}$ una ulteriore famiglia tale che $mathcal{F} \subseteq mathcal{A}$; applicando la legge di de morgan sull'inclusione si ha la tesi (cioè la proprietà 2): infatti, la famiglia $mathcal{F}$ è un sottoinsieme della famiglia $mathcal{A}$ quindi $mathcal{F}$ è sicuramente formata da sottoinsiemi di $S$ tali che $S - U$ è finito o $U= \emptyset$; secondo la legge di de morgan si ha che $S - bigcup X=\bigcap(S-X)$ ove con $X$ intendiamo i sottoinsiemi di $S$ che formano $mathcal{F}$ e siccome ciascun $S - X$ è finito (per $X ne emptyset$) allora lo è anche $S - bigcup X$ e $bigcup X$ sta, pertanto, in $mathcal {A}$. (se ci fosse anche $X=emptyset$ non sarebbe un problema perchè se sta da solo allora la tesi segue immediatamente mentre se sta con altri insiemi l'intersezione dei loro complementari è comunque finita essendo questi altri insiemi tutti col complementare finito)
quanto alla proprietà 3, si usa la legge di de morgan sull'intersezione semplice tra due insiemi $(S - X) cap (S - Y)= S - (X cup Y)$: anche quì, essendo i complentari in $S$ di $X$ e $Y$ entrambi finiti per ipotesi, lo è anche il complentare sempre in $S$ dell'unione degli insiemi, da cui la tesi.
ho fato bene?
P.S. Dati due insiemi se uno di essi è finito lo è anche la loro intersezione: è vero? come si dimostra?
Dati due insiemi se e sole se essi sono entrambi finiti allora lo è anche la loro unione: è vero? come si dimostra?
sia assegnata la famiglia $mathcal{A}={U \subseteq S | S - U \mbox { è finito o } U = \emptyset}$; sia $mathcal {F}$ una ulteriore famiglia tale che $mathcal{F} \subseteq mathcal{A}$; applicando la legge di de morgan sull'inclusione si ha la tesi (cioè la proprietà 2): infatti, la famiglia $mathcal{F}$ è un sottoinsieme della famiglia $mathcal{A}$ quindi $mathcal{F}$ è sicuramente formata da sottoinsiemi di $S$ tali che $S - U$ è finito o $U= \emptyset$; secondo la legge di de morgan si ha che $S - bigcup X=\bigcap(S-X)$ ove con $X$ intendiamo i sottoinsiemi di $S$ che formano $mathcal{F}$ e siccome ciascun $S - X$ è finito (per $X ne emptyset$) allora lo è anche $S - bigcup X$ e $bigcup X$ sta, pertanto, in $mathcal {A}$. (se ci fosse anche $X=emptyset$ non sarebbe un problema perchè se sta da solo allora la tesi segue immediatamente mentre se sta con altri insiemi l'intersezione dei loro complementari è comunque finita essendo questi altri insiemi tutti col complementare finito)
quanto alla proprietà 3, si usa la legge di de morgan sull'intersezione semplice tra due insiemi $(S - X) cap (S - Y)= S - (X cup Y)$: anche quì, essendo i complentari in $S$ di $X$ e $Y$ entrambi finiti per ipotesi, lo è anche il complentare sempre in $S$ dell'unione degli insiemi, da cui la tesi.
ho fato bene?
P.S. Dati due insiemi se uno di essi è finito lo è anche la loro intersezione: è vero? come si dimostra?
Dati due insiemi se e sole se essi sono entrambi finiti allora lo è anche la loro unione: è vero? come si dimostra?
E' corretto... Per il PS, la risposta puoi trovarla subito da solo, basta pensarci un attimo...
per il P.S. penso che la risposta sia che entrambe le cose sono vere ma non so come dimostrarlo
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