Un esercizio per maturandi
Segnalo un interessante esercizio, peraltro sicuramente alla portata di uno studente del V anno.
Prima una definizione (che credo comunque si nota a tutti):
Dato un insieme $S$, una funzione $d : S \times S \rightarrow [0, + \infty[$ si dice una metrica su $S$ se sono soddisfatte le proprieta' seguenti:
1) $d (x, y) = 0 \iff x = y$, $\forall x, y$
2) $d (x, y) = d (y, x)$, $\forall x, y$
3) $d (x, z) <= d (x, y) + d (y, z)$, $\forall x, y, z$.
Bene!
Dimostrare che posto $d (u, v) = \int_{-1}^{1} | u (x) - v (x) | dx$, $d$ e' una metrica sull'insieme delle funzioni reali continue su $[-1, 1]$.
Prima una definizione (che credo comunque si nota a tutti):
Dato un insieme $S$, una funzione $d : S \times S \rightarrow [0, + \infty[$ si dice una metrica su $S$ se sono soddisfatte le proprieta' seguenti:
1) $d (x, y) = 0 \iff x = y$, $\forall x, y$
2) $d (x, y) = d (y, x)$, $\forall x, y$
3) $d (x, z) <= d (x, y) + d (y, z)$, $\forall x, y, z$.
Bene!
Dimostrare che posto $d (u, v) = \int_{-1}^{1} | u (x) - v (x) | dx$, $d$ e' una metrica sull'insieme delle funzioni reali continue su $[-1, 1]$.
Risposte
2) ti diverti a creare problemi seri... non è detto che il limite sia unico... o meglio: in questo caso si può dimostrare che è unico ma solo per un motivo più sottile che neanche ti accenno e non perchè stiamo considerando serie di funzioni. Nel nostro caso ce la possiamo cavare con meno: come hai detto qualunque sia il limite della successione esso deve valere $-1$ in $[-1,0)$ e $1$ in $(0,1]$. Ora, per $x=0$ ci puoi mettere quello che vuoi! quella successione può convergere anche a 100 diverse funzioni, ma il fatto che verificano quella semplice proprietà implica che nessuna di esse può essere continua.
4) sono la stessa successione. Infatti puoi facilmente vedere che ogni $f_n$ della prima definizione è identica alla rispettiva della seconda. Effettivamente c'è quella sottigliezza del passaggio al limite, in quanto "l'insieme centrale " diventa vuoto ... infatti ritengo più corretta la tua definizione, anche se quell'altra comunque non crea dei grandi problemi; infatti per calcolare il limite in $x=0$ basta osservare che $f_n(0)=0$ e quindi deve per forza tendere a $0$. (detto in maniera rozza: non ce ne frega una minchia che quell'insieme diventa vuoto)
5) certamente
6) certamente
8) certamente
9) certamente
Nel prossimo post ti pongo il quesito su cui cominciamo a lavorare
4) sono la stessa successione. Infatti puoi facilmente vedere che ogni $f_n$ della prima definizione è identica alla rispettiva della seconda. Effettivamente c'è quella sottigliezza del passaggio al limite, in quanto "l'insieme centrale " diventa vuoto ... infatti ritengo più corretta la tua definizione, anche se quell'altra comunque non crea dei grandi problemi; infatti per calcolare il limite in $x=0$ basta osservare che $f_n(0)=0$ e quindi deve per forza tendere a $0$. (detto in maniera rozza: non ce ne frega una minchia che quell'insieme diventa vuoto)
5) certamente
6) certamente
8) certamente
9) certamente
Nel prossimo post ti pongo il quesito su cui cominciamo a lavorare
Nel corso di questa discussione ci siamo scontrati col seguente problema
Mettiamoci per semplicità nel dominio $[0,1]$
sapendo che $f_n$ tende ad $f$ puntualmente (ripeto il significato: per ogni $x$, $f_n(x)->f(x)$), possiamo dire che
$\int_0^1|f_n(x)-f(x)|dx->0$?
Facciamo una prima osservazione. Supponiamo di poter fare il seguente passaggio
$lim_{n->\infty}\int_0^1|f_n(x)-f(x)|dx=\int_0^1\lim_{n->\infty}|f_n(x)-f(x)|dx$
allora la risposta alla precedente domanda è sicuramente affermativa. Allora si giunge alla seguente domanda:
sotto ipotesi di convergenza puntuale è possibile fare il precedente scambio fra limite ed integrale?
Chiaramente questo problema si formula in maniera più generale ed anche più semplice:
sia $f_n$ una successione di funzioni integrabili puntualmente convergente alla funzione $f$, vale l'uguaglianza:
$lim\intf_n=\int\limf_n$?
ti dico subito la risposta: NO.
ed è NO per due motivi; prima di tutto nessuno ci dice che il limite $f$ sia integrabile e quindi il secondo membro potrebbe non avere neanche senso. Secondo poi perchè anche se il limite $f$ è integrabile non è detto che valga quell'uguaglianza. Nascono allora per lo meno tre domande
1) trovare un esempio di una successione di funzioni integrabili in $[0,1]$ che convergono puntualmente ad una funzione che non è integrabile in $[0,1]$.
2) trovare un esempio di una successione di funzioni integrabili in $[0,1]$ che convergono puntualmente ad una funzione che è integrabile in $[0,1]$, ma tale che non valga lo scambio limite-integrale.
3) cercare delle ipotesi aggiuntive sotto le quali sia possibile effettuare lo scambio limite-integrale.
Direi che possiamo cominciare dalla prima domanda. Per ora non ti do suggerimenti, ma ti dico solo che per rispondere devi conoscere almeno una funzione che non è integrabile e poi andarci a convergere. Per cui devi prima curarti di trovare una funzione non integrabile in $[0,1]$.
Mettiamoci per semplicità nel dominio $[0,1]$
sapendo che $f_n$ tende ad $f$ puntualmente (ripeto il significato: per ogni $x$, $f_n(x)->f(x)$), possiamo dire che
$\int_0^1|f_n(x)-f(x)|dx->0$?
Facciamo una prima osservazione. Supponiamo di poter fare il seguente passaggio
$lim_{n->\infty}\int_0^1|f_n(x)-f(x)|dx=\int_0^1\lim_{n->\infty}|f_n(x)-f(x)|dx$
allora la risposta alla precedente domanda è sicuramente affermativa. Allora si giunge alla seguente domanda:
sotto ipotesi di convergenza puntuale è possibile fare il precedente scambio fra limite ed integrale?
Chiaramente questo problema si formula in maniera più generale ed anche più semplice:
sia $f_n$ una successione di funzioni integrabili puntualmente convergente alla funzione $f$, vale l'uguaglianza:
$lim\intf_n=\int\limf_n$?
ti dico subito la risposta: NO.
ed è NO per due motivi; prima di tutto nessuno ci dice che il limite $f$ sia integrabile e quindi il secondo membro potrebbe non avere neanche senso. Secondo poi perchè anche se il limite $f$ è integrabile non è detto che valga quell'uguaglianza. Nascono allora per lo meno tre domande
1) trovare un esempio di una successione di funzioni integrabili in $[0,1]$ che convergono puntualmente ad una funzione che non è integrabile in $[0,1]$.
2) trovare un esempio di una successione di funzioni integrabili in $[0,1]$ che convergono puntualmente ad una funzione che è integrabile in $[0,1]$, ma tale che non valga lo scambio limite-integrale.
3) cercare delle ipotesi aggiuntive sotto le quali sia possibile effettuare lo scambio limite-integrale.
Direi che possiamo cominciare dalla prima domanda. Per ora non ti do suggerimenti, ma ti dico solo che per rispondere devi conoscere almeno una funzione che non è integrabile e poi andarci a convergere. Per cui devi prima curarti di trovare una funzione non integrabile in $[0,1]$.
e allora....
1) la convergenza puntuale usa la metrica euclidea? (penso di sì perchè come hai detto nel post di pag 4 la convergenza uniforme significa che $\forall x$ segue $f_n \rightarrow f$ e quindi $|f_n-f|<\epsilon$ e la metrica euclidea, se ho fatto bene i compiti, è $d_1(x,y)=|x-y|$)
2) sul dominio $[0;1]$ consideriamo sempre le funzioni continue o le prendiamo come vengono?
3) su questo insieme dobbiamo modificare la metrica iniziale in $d(u,v)=\int_{0}^{1}|u(x)-v(x)|dx$?
4) $f_n(x) \rightarrow f$ e $\int_{0}^{1}|f_n(x)-f(x)|dx \rightarrow 0$ si intendono per $n \rightarrow +\infty$?
5) perdona la mia ignoranza, ma qund'è che una funzione non è integrabile? intuitivamente mi verrebbe da dire che per essere integrabile non deve avere asintoti verticali nell'intervallo d'integrazione...va bene?
6) ma te che sei così bravo, non ti annoi a fare questi esercizi e a rispondere alle mille domande di uno come me che sta sempre a chiedere?
1) la convergenza puntuale usa la metrica euclidea? (penso di sì perchè come hai detto nel post di pag 4 la convergenza uniforme significa che $\forall x$ segue $f_n \rightarrow f$ e quindi $|f_n-f|<\epsilon$ e la metrica euclidea, se ho fatto bene i compiti, è $d_1(x,y)=|x-y|$)
2) sul dominio $[0;1]$ consideriamo sempre le funzioni continue o le prendiamo come vengono?
3) su questo insieme dobbiamo modificare la metrica iniziale in $d(u,v)=\int_{0}^{1}|u(x)-v(x)|dx$?
4) $f_n(x) \rightarrow f$ e $\int_{0}^{1}|f_n(x)-f(x)|dx \rightarrow 0$ si intendono per $n \rightarrow +\infty$?
5) perdona la mia ignoranza, ma qund'è che una funzione non è integrabile? intuitivamente mi verrebbe da dire che per essere integrabile non deve avere asintoti verticali nell'intervallo d'integrazione...va bene?
6) ma te che sei così bravo, non ti annoi a fare questi esercizi e a rispondere alle mille domande di uno come me che sta sempre a chiedere?
Mi permetto di osservare a questo punto che occorrerebbe prima dare una definizione rigorosa di funzione integrabile.
Voglio comunque ringraziare Ubermensch per la cura delle sue risposte: devo dire che leggendole ho imparato molto (anche come spiegare le cose in maniera semplice e rigorosa nello stesso tempo).
Voglio comunque ringraziare Ubermensch per la cura delle sue risposte: devo dire che leggendole ho imparato molto (anche come spiegare le cose in maniera semplice e rigorosa nello stesso tempo).
@Sandokan
intanto grazie per il complimento
per quanto riguarda la definizione di funzione integrabile (secondo Riemann) hai perfettamente ragione ed ora la metto
1) si
2) questa volta occorre lavorare con funzioni che non sono continue. Il motivo ti sarà chiaro quando troveremo il più semplice esempio di funzione non integrabile secondo Riemann
3) no... la metrica $L^1$ non c'è più! I limiti in $n$ (che sono tutti all'infinito, che risponde alla domanda 4) sono puntuali, e quindi si appoggiano solo sulla metrica euclidea.
5) non va bene per due motivi: prima di tutto una funzione con un asintoto potrebbe essere integrabile in senso improprio, ma c'è di più, ovvero un motivo intrinseco: una funzione con un asintoto verticale non è definita dove c'è l'asintoto! Invece io ti ho chiesto una funzione definita in tutto $[0,1]$.
Nel seguito ti do la definizione di funzione integrabile secondo Riemann. Dovresti ricordare la costruzione dell'integrale definito che si fa mediante i "rettangolini inscritti" e quelli "circoscritti" al grafico di una funzione $f$ nell'intervallo $[a,b]$. Ti ricordo la seguente terminologia: si chiamano "somme integrali inferiori" gli elementi dell'insieme $s(P,f)$ costituito dalla somma delle aree dei rettangolini inscritti definiti dalla partizione $P$ di $[a,b]$. Analogamente si chiamano "somme integrale superiori" gli elementi di $S(P,f)$, ossia le somme delle aree dei rettangolini "circoscritti" definiti dalla partizione $P$. Bene...
Def: $f$ è detta integrabile in $[a,b]$ se per ogni $\varepsilon>0$ esiste una partizione $P$ tale che $|s(P,f)-S(P,f)|<\varepsilon$.
Cioè, detto in parole povere, una funzione è detta integrabile se le approssimazioni per difetto e per eccesso dell'area sottesa dalla funzione si appiccicano ed hanno un solo elemento separatore, che rappresenta l'area della parte di piano sottesa, ovvero l'integrale.
Per contro possiamo dare allora la definizione di una funzione non integrabile:
Def: $f$ non è integrabile in $[a,b]$ se esiste $\varepsilon>0$ tale che per ogni partizione $P$ risulti $|s(P,f)-S(P,f)|\geq\varepsilon$.
Per ora non ti dico altro.
6) Dedicarti un paio d'ore al giorno divise in mezz'orette qua e là è praticamente il mio svago durante la settimana! Nel week-end parto...
P.s. sono andato un pò veloce sulla definizione di funzione integrabile perchè la dovresti aver fatta al liceo. Dimmi se non ti è chiara...
intanto grazie per il complimento
per quanto riguarda la definizione di funzione integrabile (secondo Riemann) hai perfettamente ragione ed ora la metto
1) si
2) questa volta occorre lavorare con funzioni che non sono continue. Il motivo ti sarà chiaro quando troveremo il più semplice esempio di funzione non integrabile secondo Riemann
3) no... la metrica $L^1$ non c'è più! I limiti in $n$ (che sono tutti all'infinito, che risponde alla domanda 4) sono puntuali, e quindi si appoggiano solo sulla metrica euclidea.
5) non va bene per due motivi: prima di tutto una funzione con un asintoto potrebbe essere integrabile in senso improprio, ma c'è di più, ovvero un motivo intrinseco: una funzione con un asintoto verticale non è definita dove c'è l'asintoto! Invece io ti ho chiesto una funzione definita in tutto $[0,1]$.
Nel seguito ti do la definizione di funzione integrabile secondo Riemann. Dovresti ricordare la costruzione dell'integrale definito che si fa mediante i "rettangolini inscritti" e quelli "circoscritti" al grafico di una funzione $f$ nell'intervallo $[a,b]$. Ti ricordo la seguente terminologia: si chiamano "somme integrali inferiori" gli elementi dell'insieme $s(P,f)$ costituito dalla somma delle aree dei rettangolini inscritti definiti dalla partizione $P$ di $[a,b]$. Analogamente si chiamano "somme integrale superiori" gli elementi di $S(P,f)$, ossia le somme delle aree dei rettangolini "circoscritti" definiti dalla partizione $P$. Bene...
Def: $f$ è detta integrabile in $[a,b]$ se per ogni $\varepsilon>0$ esiste una partizione $P$ tale che $|s(P,f)-S(P,f)|<\varepsilon$.
Cioè, detto in parole povere, una funzione è detta integrabile se le approssimazioni per difetto e per eccesso dell'area sottesa dalla funzione si appiccicano ed hanno un solo elemento separatore, che rappresenta l'area della parte di piano sottesa, ovvero l'integrale.
Per contro possiamo dare allora la definizione di una funzione non integrabile:
Def: $f$ non è integrabile in $[a,b]$ se esiste $\varepsilon>0$ tale che per ogni partizione $P$ risulti $|s(P,f)-S(P,f)|\geq\varepsilon$.
Per ora non ti dico altro.
6) Dedicarti un paio d'ore al giorno divise in mezz'orette qua e là è praticamente il mio svago durante la settimana! Nel week-end parto...
P.s. sono andato un pò veloce sulla definizione di funzione integrabile perchè la dovresti aver fatta al liceo. Dimmi se non ti è chiara...
premesso che al liceo non l'ho fatta la definizione di funzione integrabile (secondo me ho fatto un poco poco na chiavica di liceo, ma d'altronde con 9 ore di italiano e 3 di matematica 
), sei stato chiaro, limpipdo e cristallino....adesso ci penso un poco e poi vi faccio sapere dove riesco ad arrivare....
), sei stato chiaro, limpipdo e cristallino....adesso ci penso un poco e poi vi faccio sapere dove riesco ad arrivare....
non è che la funzione di Dirichlet vada bene? no è? 
dimostralo se va bene!
io ci provo ma non mi assumo responsabilità...
allora....
la funzione di Dirichlet è così definita:
$f(x)=1 \mbox { se } x \in QQ$
$f(x)=0 \mbox { se } x \in RR-QQ$
dimostriamo che la funzione di Dirichlet non è integrabile:
l'integrale di Riemann si costruisce dividendo l'intervallo di integrazione $[a,b]$ in $n$ intervalli (uguali o meno tra loro non ha importanza); sia $\Delta x_i$ con $i=1, 2, 3, ..., n$ l'ampiezza dell'$i$-esimo di questi $n$ intervalli;in ciascuno di questi intervalli si prende il valore massimo e il valore minimo della funzione e lo si moltiplica per $\Delta x_i$ costruendo la somma integrale superiore e la somma integrale inferiore rispettivamente; ora, a meno che non riduciamo questi intervalli a dei punti, per quanto piccoli questi siano, $\mbox { data la non completezza dei razionali e degli irrazionali e data la completezza dei reali }$ (*), in ogni intervallo avremo almeno un numero razionale e almeno un numero irrazionale e quindi la funzione avrà almeno una volta valore $0$ e almeno una volta valore $1$: ma, del resto, questi sono gli unici valori che la funzione può assumere in ciascuno degli $n$ intervalli e da ciò segue che la somma integrale inferiore è sempre $0$ e quella superiore è sempre $1$; per tanto $|S(p,f)-s(P,f)|=|1-0|=|1|=1$ e a questo punto basta prendere $0<\epsilon\leq1$ per ottenere la tesi
(*) secondo me quà ho detto na gran m******ta ma l'ho messa per provare a giustificare quello che viene dopo
quanti errori ho fatto?
allora....
la funzione di Dirichlet è così definita:
$f(x)=1 \mbox { se } x \in QQ$
$f(x)=0 \mbox { se } x \in RR-QQ$
dimostriamo che la funzione di Dirichlet non è integrabile:
l'integrale di Riemann si costruisce dividendo l'intervallo di integrazione $[a,b]$ in $n$ intervalli (uguali o meno tra loro non ha importanza); sia $\Delta x_i$ con $i=1, 2, 3, ..., n$ l'ampiezza dell'$i$-esimo di questi $n$ intervalli;in ciascuno di questi intervalli si prende il valore massimo e il valore minimo della funzione e lo si moltiplica per $\Delta x_i$ costruendo la somma integrale superiore e la somma integrale inferiore rispettivamente; ora, a meno che non riduciamo questi intervalli a dei punti, per quanto piccoli questi siano, $\mbox { data la non completezza dei razionali e degli irrazionali e data la completezza dei reali }$ (*), in ogni intervallo avremo almeno un numero razionale e almeno un numero irrazionale e quindi la funzione avrà almeno una volta valore $0$ e almeno una volta valore $1$: ma, del resto, questi sono gli unici valori che la funzione può assumere in ciascuno degli $n$ intervalli e da ciò segue che la somma integrale inferiore è sempre $0$ e quella superiore è sempre $1$; per tanto $|S(p,f)-s(P,f)|=|1-0|=|1|=1$ e a questo punto basta prendere $0<\epsilon\leq1$ per ottenere la tesi
(*) secondo me quà ho detto na gran m******ta ma l'ho messa per provare a giustificare quello che viene dopo
quanti errori ho fatto?
uhm... credo che dovresti cominciare a prenderti un pò di responsabilità... la dimostrazione che hai fatto è sostanzialmente corretta ... ha giusto quella pecca che anche te hai notato. Il problema è il seguente: è vero che i razionali e gli irrazionali non sono completi, ma chi te lo dice che neanche una loro parte è completa, cioè chi ti dice che non esiste un intervallino $[a,b]$ formato da tutti razionali o tutti irrazionali? Bene, andiamolo a mostrare... questa te la dimostro io perchè non è del tutto banale... voglio mostrare cioè che in ogni intervallo $[a,b]$ esistono sia razionali che irrazionali. Divido la dim in due passi, nel primo mostro che esiste almeno un irrazionale, nel secondo che esiste almeno un razionale.
I Passo
Per assurdo ci siano solo razionali, sia $p$ un numero primo tale che $\sqrt{p}>b-a$ e consideriamo la successione $x_n=(\sqrt{p})/n+a$ convergente ad $a$ da destra, dunque essa è definitivamente contenuta in $[a,b]$; cioè esiste $m$ tale che $x_m\in[a,b]$ e quindi $x_m\inQQ$ per ipotesi di assurdo. Esplicitando ora dalla relazione $x_m=(\sqrt{p})/m+a$ si trova che $\sqrt{p}=m(x_m-a)$. Ora i numeri a secondo membro sono tutti razionali, per cui dovrebbe essere razionale anche $\sqrt{p}$: assurdo.
II passo
Per assurdo ci siano solo irrazionali. Sia $q\inQQ$ osserviamo allora che anche l'insieme $q[a,b]$ (che sarebbe l'insieme dei prodotti fra $q$ ed elementi dentro $[a,b]$) è formato da numeri irrazionali, in quanto il prodotto fra un razionale e un irrazionale è sempre irrazionale (verificarlo!). Osserviamo che se prendiamo $q$ vicino a $0$, allora $q[a,b]$ è un intervallino a destra dello $0$ appiccicato a $0$ quanto si vuole (basta prendere $q$ sempre più piccolo). Ne segue allora che alla fine $q[a,b]$ dovrà contenere un qualche elemento della forma $1/n$, che dà l'assurdo che vogliamo, in quanto $q[a,b]$ contiene per hp solo numeri irrazionali.
P.s. Forse queste cose si possono dim anche in maniera più veloce (e qualcuno me lo potrebbe far notare), ma non ho un libro di analisi I appresso e questa è la prima che mi è venuta in mente!
I Passo
Per assurdo ci siano solo razionali, sia $p$ un numero primo tale che $\sqrt{p}>b-a$ e consideriamo la successione $x_n=(\sqrt{p})/n+a$ convergente ad $a$ da destra, dunque essa è definitivamente contenuta in $[a,b]$; cioè esiste $m$ tale che $x_m\in[a,b]$ e quindi $x_m\inQQ$ per ipotesi di assurdo. Esplicitando ora dalla relazione $x_m=(\sqrt{p})/m+a$ si trova che $\sqrt{p}=m(x_m-a)$. Ora i numeri a secondo membro sono tutti razionali, per cui dovrebbe essere razionale anche $\sqrt{p}$: assurdo.
II passo
Per assurdo ci siano solo irrazionali. Sia $q\inQQ$ osserviamo allora che anche l'insieme $q[a,b]$ (che sarebbe l'insieme dei prodotti fra $q$ ed elementi dentro $[a,b]$) è formato da numeri irrazionali, in quanto il prodotto fra un razionale e un irrazionale è sempre irrazionale (verificarlo!). Osserviamo che se prendiamo $q$ vicino a $0$, allora $q[a,b]$ è un intervallino a destra dello $0$ appiccicato a $0$ quanto si vuole (basta prendere $q$ sempre più piccolo). Ne segue allora che alla fine $q[a,b]$ dovrà contenere un qualche elemento della forma $1/n$, che dà l'assurdo che vogliamo, in quanto $q[a,b]$ contiene per hp solo numeri irrazionali.
P.s. Forse queste cose si possono dim anche in maniera più veloce (e qualcuno me lo potrebbe far notare), ma non ho un libro di analisi I appresso e questa è la prima che mi è venuta in mente!
al posto di fare quella sparata avrei potuto più semplicemente dire che per il modo in cui è definita la funzione di Dirichlet allora il massimo è sempre $1$ e il minimo è sempre $0$, da cui, la tesi....però così ho un dubbio: il teorema di Weierstrass mi assicura la presenza del massimo e del minimo ma per quel teorema serve che la funzione si acontinua nell'intervallo in cui dividiamo $[a;b]$...quindi, a questo punto, chi mi dice che sia continua in quegli intervalli?
ma non è sbagliato quello che ho detto, perchè lo hai appena dimostrato...diciamo che non ero autorizzato a farlo...però se non lo facevo non avrei saputo come uscirmene....proprio per quello che hai dimostarto, in nessun intervallo $[a;b]$ la funzione di Dirichlet è continua quindi in nessun intervallo è applicabile il teorema di Bolzano-Weierstrass e se avessi detto che in ogni intervallo la funzione assumeva sicuramente un massimo e un minimo avrei sbagliato (almeno credo, perchè se per esempio fossero stati tutti razionali allora $f(x)$ era sempre $0$)...boh
Aspetta!
è vero che quella funzione non è mai continua.
è vero che non si può applicare Weierstrass.
ma non è vero che quella non ha massimi o minimi. Hai detto giustamente prima: ha minimo uguale a $0$ e massimo uguale ad $1$.
Per cui il tuo procedimento è corretto... restava solo da mostrare che effettivamente in ogni intervallino c'erano sia razionali che irrazionali.
Se sei convinto possiamo passare al passo successivo, cioè di trovare una successione di funzioni integrabili che convergono alla funzione di Dirichlet. Idee? o vuoi un aiutino?
è vero che quella funzione non è mai continua.
è vero che non si può applicare Weierstrass.
ma non è vero che quella non ha massimi o minimi. Hai detto giustamente prima: ha minimo uguale a $0$ e massimo uguale ad $1$.
Per cui il tuo procedimento è corretto... restava solo da mostrare che effettivamente in ogni intervallino c'erano sia razionali che irrazionali.
Se sei convinto possiamo passare al passo successivo, cioè di trovare una successione di funzioni integrabili che convergono alla funzione di Dirichlet. Idee? o vuoi un aiutino?
scusami mi sono spiegato male: non intendevo dire che non ha massimi o minimi; intendevo dire che non si può dire che ha massimi o minimi perchè ce lo dice weierstrass dal momento che weierstrass non vale
quanto al passo numero 2...io un'idea ce l'ho...se ho ben capito stiamo usando la metrica euclidea e con questa metrica per mostrare che una successione $f_n$ tende a una funzione $f$ basta mostrare che per $n \to +\infty$ la successione va a finire sulla funzione $f$ perchè la definizione comune di limite usa proprio la metrica euclidea...se non ho commesso errori in questa considerazione allora avevo pensato a questa successione:
$f_n(x)=\frac{n}{x}\sin\frac{x}{n} \mbox { se } x \in QQ$
$f_n(x)=\frac{x}{n} \mbox { se } x \in RR - QQ$
per $n \to +\infty$ con i miei conti viene la funzione di dirichlet, poi può anche darsi che i conti cono sbagliati
forse i conti vanno bene ma la $f_n$ non è integrabile......
quanto al passo numero 2...io un'idea ce l'ho...se ho ben capito stiamo usando la metrica euclidea e con questa metrica per mostrare che una successione $f_n$ tende a una funzione $f$ basta mostrare che per $n \to +\infty$ la successione va a finire sulla funzione $f$ perchè la definizione comune di limite usa proprio la metrica euclidea...se non ho commesso errori in questa considerazione allora avevo pensato a questa successione:
$f_n(x)=\frac{n}{x}\sin\frac{x}{n} \mbox { se } x \in QQ$
$f_n(x)=\frac{x}{n} \mbox { se } x \in RR - QQ$
per $n \to +\infty$ con i miei conti viene la funzione di dirichlet, poi può anche darsi che i conti cono sbagliati
forse i conti vanno bene ma la $f_n$ non è integrabile......
quella funzione tende certamente alla Dirichlet, ma come hai capito, la vedo difficilmente integrabile...
domanda: i razionali sono numerabili?
ti ricordo che un insieme è detto numerabile se esiste una corrispondenza biunivoca fra tale insieme e i numeri naturali.
domanda: i razionali sono numerabili?
ti ricordo che un insieme è detto numerabile se esiste una corrispondenza biunivoca fra tale insieme e i numeri naturali.
eh...adesso non solo vai oltre le mie facoltà intellettive ma anche oltre le mie conoscenze!!!
la bellezza di questo esercizio è che per saperlo fare occorre spaziare un pochettino
bene... allora facciamo una cosa... assumiamo per un attimo che i razionali siano numerabili. Diamolo per scontato e ci pensiamo dopo. Ti viene qualche idea?
bene... allora facciamo una cosa... assumiamo per un attimo che i razionali siano numerabili. Diamolo per scontato e ci pensiamo dopo. Ti viene qualche idea?
Dimenticavo che come ogni weekend (e tenendo conto che a Roma domani è festa (San Pietro e Paolo)) sono in partenza. Dunque ci risentiamo domenica. Ti lascio un suggerimento:
dire che $QQ$ è numerabile significa che i suoi elementi possono essere messi in successione $q_n$ ($q_n$ sarebbe l'immagine di $n$ nella bijezione fra $NN$ e $QQ$ della quale stiamo dando per scontata l'esistenza). Dunque la successione $q_n$ spazza tutti i numeri razionali... prova allora a convergere a Dirichlet partendo dalla funzione nulla e .... usando la successione $q_n$
ciao
dire che $QQ$ è numerabile significa che i suoi elementi possono essere messi in successione $q_n$ ($q_n$ sarebbe l'immagine di $n$ nella bijezione fra $NN$ e $QQ$ della quale stiamo dando per scontata l'esistenza). Dunque la successione $q_n$ spazza tutti i numeri razionali... prova allora a convergere a Dirichlet partendo dalla funzione nulla e .... usando la successione $q_n$
ciao
allora
1) a titolo do cronaca...il mio pc dai numeri...adesso si spegne da solo....bah
2) domani non ci sto neanche io
3) grazie per il suggerimento...ci lavorerò sopra
1) a titolo do cronaca...il mio pc dai numeri...adesso si spegne da solo....bah
2) domani non ci sto neanche io
3) grazie per il suggerimento...ci lavorerò sopra
sono riuscito a trovare un poco di tempo per scrivere ma ho fortissimi dubbi che mi congestionano il cervello (quello già è poco se poi lo congestioniamo pure, beh, allora campa cavallo che l'erba cresce!!!:-D )....
1) hai scritto che stiamo affrontando il seguente problema $\lim\intf_n=\int\limf_n$...ma levami delle curiosità curiosità:
curiosità 1......come si fa a costruire l'integrale di una successione? voglio dire: per costruire l'integrale di una funzione spezziamo l'intervallo d'integrazione in tanti intervallini e prendiamo i massimi e i minimi della funzione, poi facciamo i prodotti, poi li sommiamo e passiamo al limite $+\infty$ il numero degli intervalli in cui dividiamo l'intervallo d'integrazione; e per l'integrale di una successione?: a parte il fatto che tu hai detto che si può fare anche una seccessione di funzioni che hanno domini diversi, ma anche accontentandomi di funzioni definite tutte sulle stesso dominio o di integrare la successione su un intervallo che fa parte di tutti i domini, una volta fatta la partizione dell'intervallo d'integrazione, per costruire l'integrale, prendo massimi e minimi di quale delle funzioni della successione; e per calcolarlo con la regola che segue dal teorema fondamentale del calcolo uso la primitiva di quale delle funzioni che rientrano nella successione?
curiosità 2........non è che forse (e sottolineo forse date le stranissime sensazioni che c'ho nell'affrontare questo dubbio) l'integrale della successione alla fine è una funzione di $n$, cioè, nel fare l'integrale, si tratta $n$ come un parametro?
curiosità 3.........e se la successione associa ai naturali $n$ funzioni che hanno domini diversi, come si fa a integrare la successione su un intervallo $[a;b]$ che magari sta nel dominio di alcune delle funzioni della successione mentre nel dominio delle altre non c'è o c'è colo in parte?
curiosità 4.........se ad esempio ho la successione $f_n$ definita così:
$f_n(x)=x$ se $n$ è un numero pari
$f_n(x)=x^2$ se $n$ è un numero dispari
per fare l'integrale esteso all'intervallo $[1;6]$ (per esempio) come faccio? e il limite (o funzione limite) per $n \to +\infty$ qual'è?
sono parecchio confuso
2) per quanto riguarda la nostra successione che deve convergere puntualmente alla dirichlet, io mi blocco sul fatto che devo costruire una successione di funzione nella quale i due intervalli in cui spezziamo l'intervallo $[0;1]$ alla fine, passando al limite $n \to +\infty$, mi devono dare uno l'insieme dei razionali contenuti in $[0;1]$ e l'altro l'insieme degli irrazionali in $[0;1]$....
3) - il minore dei dubbi - quando hai detto:
significa, però, che anche ammeso che ci fossero state 10 funzioni limite, queste avrebbero potuto differire solo per il valore che esse assumono in $x=0$? (io penso di sì - sto dubbio è quello più stupido ma mi viene perchè ormai mi sto incasinando)
)....1) hai scritto che stiamo affrontando il seguente problema $\lim\intf_n=\int\limf_n$...ma levami delle curiosità curiosità:
curiosità 1......come si fa a costruire l'integrale di una successione? voglio dire: per costruire l'integrale di una funzione spezziamo l'intervallo d'integrazione in tanti intervallini e prendiamo i massimi e i minimi della funzione, poi facciamo i prodotti, poi li sommiamo e passiamo al limite $+\infty$ il numero degli intervalli in cui dividiamo l'intervallo d'integrazione; e per l'integrale di una successione?: a parte il fatto che tu hai detto che si può fare anche una seccessione di funzioni che hanno domini diversi, ma anche accontentandomi di funzioni definite tutte sulle stesso dominio o di integrare la successione su un intervallo che fa parte di tutti i domini, una volta fatta la partizione dell'intervallo d'integrazione, per costruire l'integrale, prendo massimi e minimi di quale delle funzioni della successione; e per calcolarlo con la regola che segue dal teorema fondamentale del calcolo uso la primitiva di quale delle funzioni che rientrano nella successione?
curiosità 2........non è che forse (e sottolineo forse date le stranissime sensazioni che c'ho nell'affrontare questo dubbio) l'integrale della successione alla fine è una funzione di $n$, cioè, nel fare l'integrale, si tratta $n$ come un parametro?
curiosità 3.........e se la successione associa ai naturali $n$ funzioni che hanno domini diversi, come si fa a integrare la successione su un intervallo $[a;b]$ che magari sta nel dominio di alcune delle funzioni della successione mentre nel dominio delle altre non c'è o c'è colo in parte?
curiosità 4.........se ad esempio ho la successione $f_n$ definita così:
$f_n(x)=x$ se $n$ è un numero pari
$f_n(x)=x^2$ se $n$ è un numero dispari
per fare l'integrale esteso all'intervallo $[1;6]$ (per esempio) come faccio? e il limite (o funzione limite) per $n \to +\infty$ qual'è?
sono parecchio confuso
2) per quanto riguarda la nostra successione che deve convergere puntualmente alla dirichlet, io mi blocco sul fatto che devo costruire una successione di funzione nella quale i due intervalli in cui spezziamo l'intervallo $[0;1]$ alla fine, passando al limite $n \to +\infty$, mi devono dare uno l'insieme dei razionali contenuti in $[0;1]$ e l'altro l'insieme degli irrazionali in $[0;1]$....
3) - il minore dei dubbi - quando hai detto:
"ubermensch":
2) ti diverti a creare problemi seri... non è detto che il limite sia unico... o meglio: in questo caso si può dimostrare che è unico ma solo per un motivo più sottile che neanche ti accenno e non perchè stiamo considerando serie di funzioni. Nel nostro caso ce la possiamo cavare con meno: come hai detto qualunque sia il limite della successione esso deve valere $-1$ in $[-1,0)$ e $1$ in $(0,1]$. Ora, per $x=0$ ci puoi mettere quello che vuoi! quella successione può convergere anche a 100 diverse funzioni, ma il fatto che verificano quella semplice proprietà implica che nessuna di esse può essere continua.
significa, però, che anche ammeso che ci fossero state 10 funzioni limite, queste avrebbero potuto differire solo per il valore che esse assumono in $x=0$? (io penso di sì - sto dubbio è quello più stupido ma mi viene perchè ormai mi sto incasinando)
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