Un esercizio per maturandi
Segnalo un interessante esercizio, peraltro sicuramente alla portata di uno studente del V anno.
Prima una definizione (che credo comunque si nota a tutti):
Dato un insieme $S$, una funzione $d : S \times S \rightarrow [0, + \infty[$ si dice una metrica su $S$ se sono soddisfatte le proprieta' seguenti:
1) $d (x, y) = 0 \iff x = y$, $\forall x, y$
2) $d (x, y) = d (y, x)$, $\forall x, y$
3) $d (x, z) <= d (x, y) + d (y, z)$, $\forall x, y, z$.
Bene!
Dimostrare che posto $d (u, v) = \int_{-1}^{1} | u (x) - v (x) | dx$, $d$ e' una metrica sull'insieme delle funzioni reali continue su $[-1, 1]$.
Prima una definizione (che credo comunque si nota a tutti):
Dato un insieme $S$, una funzione $d : S \times S \rightarrow [0, + \infty[$ si dice una metrica su $S$ se sono soddisfatte le proprieta' seguenti:
1) $d (x, y) = 0 \iff x = y$, $\forall x, y$
2) $d (x, y) = d (y, x)$, $\forall x, y$
3) $d (x, z) <= d (x, y) + d (y, z)$, $\forall x, y, z$.
Bene!
Dimostrare che posto $d (u, v) = \int_{-1}^{1} | u (x) - v (x) | dx$, $d$ e' una metrica sull'insieme delle funzioni reali continue su $[-1, 1]$.
Risposte
Dimostriamo ora il punto 1). Dobbiamo far vedere che:
se $f \in C^0([-1,1])$ e $\int_{-1}^{1} | f (x) | dx = 0$ allora $f = 0$
a) Per assurdo, esista $x_0 \in [-1,1]$ con $f(x_0) \ne 0$.
b) Per fissare le idee, supponiamo $f(x_0) > 0$ (chiaramente e' lo stesso se $f(x_0) < 0$).
c) Siccome $f$ e' continua, esistono $p, q \in [-1,1]$ con $p < q$ e tali che: $x_0 \in [p,q] \subseteq [-1,1]$, $f(x) > 0 \forall x \in [p,q]$.
d) Esiste $\xi \in [p,q]$ tale che $\int_p^q f (x) dx = f(\xi) (q - p) > 0$.
e) Pertanto, $\int_{-1}^{1} | f (x) | dx >= \int_p^q | f (x) | dx = \int_p^q f (x) dx > 0$.
f) Assurdo!
se $f \in C^0([-1,1])$ e $\int_{-1}^{1} | f (x) | dx = 0$ allora $f = 0$
a) Per assurdo, esista $x_0 \in [-1,1]$ con $f(x_0) \ne 0$.
b) Per fissare le idee, supponiamo $f(x_0) > 0$ (chiaramente e' lo stesso se $f(x_0) < 0$).
c) Siccome $f$ e' continua, esistono $p, q \in [-1,1]$ con $p < q$ e tali che: $x_0 \in [p,q] \subseteq [-1,1]$, $f(x) > 0 \forall x \in [p,q]$.
d) Esiste $\xi \in [p,q]$ tale che $\int_p^q f (x) dx = f(\xi) (q - p) > 0$.
e) Pertanto, $\int_{-1}^{1} | f (x) | dx >= \int_p^q | f (x) | dx = \int_p^q f (x) dx > 0$.
f) Assurdo!
ok...sta bene...quello che mi lasciava interdetto era l'assenza del modulo (infatti, credo che, come tra l'altro ha detto uber, senza modulo non si va da nessuna parte) assieme alla notazione...comunque se dopodomani uscisse na cosa del genere spremmo come comportarci...grazie
"WiZaRd":
ok...sta bene...quello che mi lasciava interdetto era l'assenza del modulo (infatti, credo che, come tra l'altro ha detto uber, senza modulo non si va da nessuna parte) assieme alla notazione...comunque se dopodomani uscisse na cosa del genere spremmo come comportarci...grazie
Grazie a te dell'interesse che hai dimostrato. Comunque sono stato io ad aver omesso il modulo passim.
A questo punto andiamo un pò avanti con l'esercizio ...
Ricordiamo che abbiamo denotato con $C^0[-1,1]$ lo spazio delle funzioni continue nell'intervallo $[-1,1]$.
Introduco la notazione $(C^0[-1,1],d_1)$ per indicare il nostro spazio dotato della distanza introdotta da Sandokan
(si chiama distanza $L^1$ per la cronaca). Si noti che una distanza permette di parlare di limiti; infatti, sia
${f_n}\subsetC^0[-1,1]$, diciamo che $f_n->f$ se $d_1(f_n,f)->0$ (ovviamente il tutto è per $n->\infty$).
Bene...
mostrare che $(C^0[-1,1],d_1)$ non è completo. Ossia esistono successioni di funzioni in $C^0[-1,1]$ che convergono,
però la funzione limite non sta in $C^0[-1,1]$, cioè non è continua.
Ricordiamo che abbiamo denotato con $C^0[-1,1]$ lo spazio delle funzioni continue nell'intervallo $[-1,1]$.
Introduco la notazione $(C^0[-1,1],d_1)$ per indicare il nostro spazio dotato della distanza introdotta da Sandokan
(si chiama distanza $L^1$ per la cronaca). Si noti che una distanza permette di parlare di limiti; infatti, sia
${f_n}\subsetC^0[-1,1]$, diciamo che $f_n->f$ se $d_1(f_n,f)->0$ (ovviamente il tutto è per $n->\infty$).
Bene...
mostrare che $(C^0[-1,1],d_1)$ non è completo. Ossia esistono successioni di funzioni in $C^0[-1,1]$ che convergono,
però la funzione limite non sta in $C^0[-1,1]$, cioè non è continua.
ci proverei anche se non ho mai sentito sta roba del genere...però mi dovreste spiegare cosa sono ${f_n}$, cos'è una successione di funzioni, che significa che $f_n rightarrow f$ e cos'è la funzione limite
ciao
ciao
ma stiamo facendo topologia?
una successione di funzioni associa ad ogni natuale $n$ una funzione $f_n$; la $f_n$ che viene associata a $n$ contiene oltre alla $x$ anche la $n$ nel suo argomento: giusto? le $f_n$ che si hanno al variare di $n$ sono diverse tra loro solo per $n$ o possono variare anche per la legge? cioè posso avere na cosa del tipo per $n_0leqnleqn_1$ la $f_n$ è $n^x$ mentre per $n>n_1$ la $f_n$ è $log(x+n)$?
in realtà stiamo facendo analisi 2 (anche se un pò informale! ora sandokan mi mena!)
... però un pò di topologia volendo ci sta sotto sotto.. infatti
L'idea fondamentale è data dall'osservazione che non si capisce perchè si dovrebbe parlare
di successioni di numeri e non di funzioni, o di mele o di pere... l'importante, per studiare i
limiti è che ci sia una nozione di distanza. Infatti, dire che una successione tende a qualcosa
equivale a dire che si avvicina sempre più a questa cosa (ed il concetto di avvicinamento si
può formalizzare con la distanza, dicendo che la distanza fra gli elementi della successione e
il limite deve tendere a 0). Premesso questo un semplice esempio di successione di
funzioni e di relativo studio del limite
$f_n(x)=1/(1+nx)$ per $x\in[0,1]
Ricordo che la nostra metrica è $d_1(f,g)=\int_0^1|f-g|$ (in questo caso, rispetto a prima, siamo in $[0,1]$,
invece che in $[-1,1]$). Ora bisogna andare un pò a naso... e capire che al crescere di $n$ si ottiene un'iperbole
sempre più schiacciata ed è abbastanza intuitivo che l'area sottesa tenda a $0$ (ti faccio notare che questa
metrica va a guardare la convergenza delle aree sottese (è un integrale!)). Per cui, intuito questo, proviamo a mostrare
che il limite è $0$, cioè proviamo a mostrare che
$\int_0^1|1/(1+nx)-0|dx->0$
effettivamente
$\int_0^1|1/(1+nx)|dx = $ dal momento che tutte queste funzioni sono positive in $[0,1]$ possiamo togliere il modulo
$\int_0^1 1/(1+nx)dx=1/nln|1+nx|$
che effettivamente tende a $0$. Come appunto si era intuito. Se ne conclude che $f_n->0$ nella metrica $L^1$.
... però un pò di topologia volendo ci sta sotto sotto.. infatti
L'idea fondamentale è data dall'osservazione che non si capisce perchè si dovrebbe parlare
di successioni di numeri e non di funzioni, o di mele o di pere... l'importante, per studiare i
limiti è che ci sia una nozione di distanza. Infatti, dire che una successione tende a qualcosa
equivale a dire che si avvicina sempre più a questa cosa (ed il concetto di avvicinamento si
può formalizzare con la distanza, dicendo che la distanza fra gli elementi della successione e
il limite deve tendere a 0). Premesso questo un semplice esempio di successione di
funzioni e di relativo studio del limite
$f_n(x)=1/(1+nx)$ per $x\in[0,1]
Ricordo che la nostra metrica è $d_1(f,g)=\int_0^1|f-g|$ (in questo caso, rispetto a prima, siamo in $[0,1]$,
invece che in $[-1,1]$). Ora bisogna andare un pò a naso... e capire che al crescere di $n$ si ottiene un'iperbole
sempre più schiacciata ed è abbastanza intuitivo che l'area sottesa tenda a $0$ (ti faccio notare che questa
metrica va a guardare la convergenza delle aree sottese (è un integrale!)). Per cui, intuito questo, proviamo a mostrare
che il limite è $0$, cioè proviamo a mostrare che
$\int_0^1|1/(1+nx)-0|dx->0$
effettivamente
$\int_0^1|1/(1+nx)|dx = $ dal momento che tutte queste funzioni sono positive in $[0,1]$ possiamo togliere il modulo
$\int_0^1 1/(1+nx)dx=1/nln|1+nx|$
che effettivamente tende a $0$. Come appunto si era intuito. Se ne conclude che $f_n->0$ nella metrica $L^1$.
possono variare per tutto... la fantasia dei matematici non ha limiti... hanno tutti la mente completamente deviata.
Comunque ti ripeto di cercare di ragionare intuitivamente... poi la formalizzazione la facciamo insieme semmai
Comunque ti ripeto di cercare di ragionare intuitivamente... poi la formalizzazione la facciamo insieme semmai
dimenticavo di dire che fra una mezzora parto e torno domenica sera o lunedi.. per cui non ti preoccupare e
prenditela con comodo.
prenditela con comodo.
"WiZaRd":
una successione di funzioni associa ad ogni natuale $n$ una funzione $f_n$; la $f_n$ che viene associata a $n$ contiene oltre alla $x$ anche la $n$ nel suo argomento: giusto? le $f_n$ che si hanno al variare di $n$ sono diverse tra loro solo per $n$ o possono variare anche per la legge? cioè posso avere na cosa del tipo per $n_0leqnleqn_1$ la $f_n$ è $n^x$ mentre per $n>n_1$ la $f_n$ è $log(x+n)$?
Nel nostro caso, basta che ciascuna $f_n$ sia una funzione continua di $[-1,1]$ in $RR$.
innanzitutto buon viaggio
poi...azz...e noi facciamo analisi 2 in medie e superiori....sborone!!!(ovviamente scherzo, se ti senti offeso me ne scuso anticipatamente)...quanto a risolvere il giochino m ovediamo perchè ho le idee un poco confuse......poi il forum ti farà sapere
poi...azz...e noi facciamo analisi 2 in medie e superiori....sborone!!!(ovviamente scherzo, se ti senti offeso me ne scuso anticipatamente)...quanto a risolvere il giochino m ovediamo perchè ho le idee un poco confuse......poi il forum ti farà sapere
"WiZaRd":
innanzitutto buon viaggio
poi...azz...e noi facciamo analisi 2 in medie e superiori....sborone!!!(ovviamente scherzo, se ti senti offeso me ne scuso anticipatamente)...quanto a risolvere il giochino m ovediamo perchè ho le idee un poco confuse......poi il forum ti farà sapere
non mi offendo, tranquillo!
quindi al variare di $n$ potrebbe sia semplicemente variare i coefficienti con cui si opera sulla $x$ così come potremmo anche avere diverse leggi a seconda degli intervalli in cui varia $n$?
cioè potrebbe la successione sia essere del tipo $f_n=n^(x-1)$ ma anche essere del tipo $f_n=n+x^2 mbox{ se } 0leqnleq10$ e $f_n=n^2+sqrtx mbox{ se } n>10$ o anche potrebbe non avere la $n$ nel suo argomento, cioè del tipo $f_n=x^2 mbox{ se } 0leqnleq5$ e $f_n=sqrtx mbox { se } n>5$: giusto?
cioè potrebbe la successione sia essere del tipo $f_n=n^(x-1)$ ma anche essere del tipo $f_n=n+x^2 mbox{ se } 0leqnleq10$ e $f_n=n^2+sqrtx mbox{ se } n>10$ o anche potrebbe non avere la $n$ nel suo argomento, cioè del tipo $f_n=x^2 mbox{ se } 0leqnleq5$ e $f_n=sqrtx mbox { se } n>5$: giusto?
Ripeto: basta che ciascuna $f_n$ sia una funzione continua di $[-1,1]$ in $RR$.
per sandokan: fermo restando tutto quello che abbiamo detto fin quì, bisogna dimostrare che se $d(f_n,f) rightarrow 0$ allora $f_n rightarrow f$ e in questo caso $f$ non può essere continua in $[-1,1]$?
Andando un po' OT non credo proprio che questa interessantissima discussione sia adatta ad un maturando. State parlando di spazi di funzioni: nonostante la cosa sia stata messa a puro scopo di esercizio, avete preso in considerazione concetti molto delicati, quali la convergenza in uno spazio metrico, per altro funzionale. Ogni cosa secondo me a suo tempo va fatta, e non credo che una persona pronta per prendere la maturita' sia abbastanza matura per capire questi concetti.
"WiZaRd":
per sandokan: fermo restando tutto quello che abbiamo detto fin quì, bisogna dimostrare che se $d(f_n,f) rightarrow 0$ allora $f_n rightarrow f$ e in questo caso $f$ non può essere continua in $[-1,1]$?
Non esattamente. Diciamo che, come ha scritto ubermensch, possiamo prendere come definizione di convergenza nel nostro spazio la seguente:
$f_n rightarrow f$ se e solo se $d(f_n,f) rightarrow 0$
Ora, dice ubermensch, bisogna far vedere che esiste almeno una successione che converge ad una $f$ che non e' continua.
Questo chiaramente e' vero pero' presuppone la conoscenza di uno spazio piu' grande a cui la $f$ deve appartenere.
Si tratta di un fenomeno analogo a quanto succede in $QQ$. Prendi ad esempio la successione:
1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, 1.414213, 1.4142135, ecc...
Questa e' una successione di numeri razionali, pero' il suo limite e' $\sqrt 2$ che non e' razionale. Si dice che $QQ$ non e' completo.
Per Luca:
Capisco le tue perplessita', peraltro piu' che ragionevoli, ma siccome Wizard si e' mostrato all'altezza della situazione perche' non parlare un po' di questi argomenti, che comunque non mi sembrano particolarmente trascendentali?
Non ho detto che avete fatto male a parlare di questi argomenti, solo che per uno che si accinge a preparare la maturita' non mi sembra una buona idea arrivare cosi' in alto; le cose che avete tirato in gioco sono state messe in forma di esercizio, ma sottintendono concetti molto delicati, sotto queste cose ci sta nascosta l'analisi funzionale, cosa che non e' alla portata di uno che conosce solo i fondamenti della teoria delle funzioni di una variabile reale.
Secondo me sarebbe piu' opportuno rafforzare la conoscenza delle fondamenta dell'analisi invece che sparare cosi' in alto.
Secondo me sarebbe piu' opportuno rafforzare la conoscenza delle fondamenta dell'analisi invece che sparare cosi' in alto.
Veramente, che io sappia, nemmeno la teoria delle funzioni di una variabile reale si studia al liceo. Cioe', non credo che al liceo facciano argomenti come: funzioni assolutamente continue, funzioni a variazione limitata, decomposizione di Lebesgue, ecc.
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