Integrali
Esercizio 1
Sto cercando di risolvere il seguente integrale:
$ int (dx)/(sqrtx + root(3)x $
Il testo mi consigli di fare la seguente sostituzione $x=t^6$ e inizialmente riesco a comprendere i passaggi.....
$ 6int (t^5dt)/(sqrt(t^6) + root(3)(t^6)) = 6int (t^3dt)/(t + 1)$
Ma dopo non so più continuare
Help, come posso fare per continuare a risolverlo??
Sto cercando di risolvere il seguente integrale:
$ int (dx)/(sqrtx + root(3)x $
Il testo mi consigli di fare la seguente sostituzione $x=t^6$ e inizialmente riesco a comprendere i passaggi.....
$ 6int (t^5dt)/(sqrt(t^6) + root(3)(t^6)) = 6int (t^3dt)/(t + 1)$
Ma dopo non so più continuare
Help, come posso fare per continuare a risolverlo??
Risposte
MA come posso risolvere il seguente integrale?
$int (3x+2)/(x^2+x+1) dx$
$int (3x+2)/(x^2+x+1) dx$
Ti dò un suggerimento, forse un po' criptico... \[
x^2+x+1 = x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4} = \left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4} = \frac{3}{4}\left[1+\frac{4\left(x+\frac{1}{2}\right)^2}{3}\right]\]
x^2+x+1 = x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4} = \left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4} = \frac{3}{4}\left[1+\frac{4\left(x+\frac{1}{2}\right)^2}{3}\right]\]
Sei formidabile! 
E che artificio mi devo inventare per il numeratore?
E che artificio mi devo inventare per il numeratore?
Al numeratore devi far comparire $2x+1$ che è la derivata del denominatore. Ti resterà un "pezzo" in eccesso: spezzi la frazione e utilizzi l' "artificio" che ti ho postato prima.
Ho provato più volte a fare quanto mi hai detto, mediante una sostituzione con $t= [3/4+(x+1/2)^2]$ , ma non ci sono riuscito!
Come dovrei fare
Come dovrei fare
Lasciamo perdere le sostituzioni... \[
\int{\frac{3x+2}{x^2+x+1}\, dx}\]\[
\frac{3}{2}\int{\frac{2x+\frac{4}{3}}{x^2+x+1}\, dx}\]\[
\frac{3}{2}\left[\int{\frac{2x+1}{x^2+x+1}\, dx} + \frac{1}{3}\int{\frac{1}{x^2+x+1}\, dx}
\right]\] Ora il primo integrale è immediato, mentre per il secondo utilizzi il trucco di prima e ti riconduci a questo integrale notevole \[
\int{\frac{1}{1+x^2}\, dx} = \arctan x + C\]
\int{\frac{3x+2}{x^2+x+1}\, dx}\]\[
\frac{3}{2}\int{\frac{2x+\frac{4}{3}}{x^2+x+1}\, dx}\]\[
\frac{3}{2}\left[\int{\frac{2x+1}{x^2+x+1}\, dx} + \frac{1}{3}\int{\frac{1}{x^2+x+1}\, dx}
\right]\] Ora il primo integrale è immediato, mentre per il secondo utilizzi il trucco di prima e ti riconduci a questo integrale notevole \[
\int{\frac{1}{1+x^2}\, dx} = \arctan x + C\]
Non sto riuscendo a togliere quel $1/2$ che precede l'integrale ! Cosa bisogna fare
Alla fine arrivo a $2/3 arcotg((2x+1)/(sqrt3))$ come faccio ad arrivare a $1/(sqrt3) arcotg((2x+1)/(sqrt3))$
Alla fine arrivo a $2/3 arcotg((2x+1)/(sqrt3))$ come faccio ad arrivare a $1/(sqrt3) arcotg((2x+1)/(sqrt3))$
"Bad90":
Non sto riuscendo a togliere quel $1/2$ che precede l'integrale ! Cosa bisogna fare
A quale $1/2$ ti riferisci?
"Bad90":
Alla fine arrivo a $2/3 arcotg((2x+1)/(sqrt3))$ come faccio ad arrivare a $1/(sqrt3) arcotg((2x+1)/(sqrt3))$
Devi aver sbagliato qualche calcolo perchè da lì è impossibile arrivarci
"minomic":
A quale $1/2$ ti riferisci?
A questo:
E allora ripartendo dal seguente punto, come faccio?
$1/2int1/(x^2+x+1) dx$
EUREKA
Mi si è acceso un lampadario e non una lampadina!
Facendo un cambio di variabile si arriva alla soluzione!
$1/2int1/(x^2+x+1) dx$
EUREKA
Mi si è acceso un lampadario e non una lampadina!
Facendo un cambio di variabile si arriva alla soluzione!
Ti posto i passaggi, poi mi dici se c'è qualcosa che non ti è chiaro. Per semplicità considero solo \[
\int{\frac{1}{x^2+x+1}\, dx}\]\[
\int{\frac{1}{\frac{3}{4}\left[1+\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)^2\right]}\, dx}\]\[\frac{4}{3}\int{\frac{1}{1+\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)^2}\, dx}\]\[\frac{4}{3}\frac{\sqrt{3}}{2}\int{\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1+\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)^2}\, dx} = \frac{4}{3}\frac{\sqrt{3}}{2}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt{3}}
\]
\int{\frac{1}{x^2+x+1}\, dx}\]\[
\int{\frac{1}{\frac{3}{4}\left[1+\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)^2\right]}\, dx}\]\[\frac{4}{3}\int{\frac{1}{1+\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)^2}\, dx}\]\[\frac{4}{3}\frac{\sqrt{3}}{2}\int{\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1+\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)^2}\, dx} = \frac{4}{3}\frac{\sqrt{3}}{2}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt{3}}
\]
Amico mio, mi è venuto il mal di testa ma alla fine ho compreso! 
"Bad90":
Amico mio, mi è venuto il mal di testa ma alla fine ho compreso!
Sì c'era da fare qualche giretto ma è importante sviluppare un certo "occhio" per queste cose!
Scusatemi, ma a cosa bisogna pensare per arrivare dalla seguente $x^2-5x+6$ alla seguente $(x+5/2)^2 -1/4$
Che trucco si usa?
Che trucco si usa?
Completamento dei quadrati
\[
x^2-5x+6 = \left(x^2 - 5x + \frac{25}{4}\right) - \frac{1}{4} = \left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{1}{4}
\]
P.S. Ci voleva il "meno"
\[
x^2-5x+6 = \left(x^2 - 5x + \frac{25}{4}\right) - \frac{1}{4} = \left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{1}{4}
\]
P.S. Ci voleva il "meno"
"Bad90":
Scusatemi, ma a cosa bisogna pensare per arrivare dalla seguente $x^2-5x+6$ alla seguente $(x+5/2)^2 -1/4$
Piccola domanda: a cosa ti serve? Negli integrali, di solito si fa il completamento del quadrato nel caso in cui si ha un denominatore con $Delta<0$, ma il tuo trinomio ha $Delta>0$. Se per caso il tuo integrale è quello che scrivo sotto, ti do l'inizio della soluzione-
$int(dx)/(x^2-5x+6)=int(dx)/((x-2)(x-3))=int(a/(x-2)+b/(x-3))=...$
"giammaria":
Piccola domanda: a cosa ti serve? Negli integrali, di solito si fa il completamento del quadrato nel caso in cui si ha un denominatore con $Delta<0$, ma il tuo trinomio ha $Delta>0$. Se per caso il tuo integrale è quello che scrivo sotto, ti do l'inizio della soluzione-
$int(dx)/(x^2-5x+6)=int(dx)/((x-2)(x-3))=int(a/(x-2)+b/(x-3))=...$
Il mio testo applica quella regola e adesso ho finito di impararla bene! Ti faccio 2 domande....
1) Vuol dire che se il $Delta<0$, applico la regola del completamento dei quadrati e poi prendo in considerazione solo la soluzione positiva perchè altrimenti non avrebbe senzo il denominatore negativo?
2) Come finiresti gli step che hai fatto in quanto si ha $Delta>0$ e quindi come continueresti $..int(a/(x-2)+b/(x-3))=...$
1) Negli integrali si trascura sempre il $+-$ perché stiamo cercando una primitiva e quindi non ci interessa il fatto che ce ne sia anche un'altra con segno diverso.
2) Vogliamo che sia $a/(x-2)+b/(x-3)=1/((x-2)(x-3))$
Dando denominatore comune $ax-3a+bx-2b=1->(a+b)x+(-3a-2b)=1$
Deve valere per ogni $x$, quindi deve essere ${(a+b=0),(-3a-2b=1):}->...->{(a=-1),(b=1):}$
Sostituendo nell'integrale
$int((-1)/(x-2)+1/(x-3))dx=-ln|x-2|+ln|x-3|+c=ln|(x-3)/(x-2)|+c$
2) Vogliamo che sia $a/(x-2)+b/(x-3)=1/((x-2)(x-3))$
Dando denominatore comune $ax-3a+bx-2b=1->(a+b)x+(-3a-2b)=1$
Deve valere per ogni $x$, quindi deve essere ${(a+b=0),(-3a-2b=1):}->...->{(a=-1),(b=1):}$
Sostituendo nell'integrale
$int((-1)/(x-2)+1/(x-3))dx=-ln|x-2|+ln|x-3|+c=ln|(x-3)/(x-2)|+c$
"giammaria":
2) Vogliamo che sia $a/(x-2)+b/(x-3)=1/((x-2)(x-3))$
Dando denominatore comune $ax-3a+bx-2b=1->(a+b)x+(-3a-2b)=1$
Deve valere per ogni $x$, quindi deve essere ${(a+b=0),(-3a-2b=1):}->...->{(a=-1),(b=1):}$
Un attimo che qualche giorno fa abbiamo visto di nuovo questo metodo, perchè hai posto $a+b=0$ e $-3a-2b=1$
Non sto trovando quelle spiegazioni che mi hai dato, ma se non erro, è come avere a secondo membro una cosa del genere:
$(a+b)x+(-3a-2b) =0+ 1$
Mi puoi rispiegare questa equivalenza e come si chiama in termini matematici?
Ti ringrazio anticipatamente!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo