Geometria proiettiva (determinare una proiezione)
Il testo dell'esercizio è il seguente: In $P^3(R)$ siano $P= [1, 1,0, 0]$ e H il piano di equazione $2X_0-X_1+X_3=0$. Determinare la proiezione da P in H di $ Q= [1, -1, -1, 1]$.
Penso che per risolverlo si debba trovare l'equazione di una retta passante per P e Q e poi metterla a sistema con l'equazione del piano. È giusto questo ragionamento? Come posso trovare l'equazione cartesiana di una retta per due punti in $P^3$? Saprei farlo solo in $P^2$... qui non saprei come procedere.
Penso che per risolverlo si debba trovare l'equazione di una retta passante per P e Q e poi metterla a sistema con l'equazione del piano. È giusto questo ragionamento? Come posso trovare l'equazione cartesiana di una retta per due punti in $P^3$? Saprei farlo solo in $P^2$... qui non saprei come procedere.
Risposte
Scusate se riporto in alto un vecchio post ma sto svolgendo lo stesso esercizio (tratto dal Sernesi) e ho lo stesso dubbio.
Per poter calcolare la proiezione devo prima calcolare la retta congiungente i punti P e Q.
Io ho svolto in questo modo.
Dall'equazione del piano noto che non appare $X_2$ quindi posso considerarla una coordinata libera che assumerà valore 1.
Calcolo l'equazione escludendo $X_2$ e ottengo $X_0-X_1-2X_3=0$ e facendo sistema con l'equazione del piano data nel testo ricavo $X_0=-3X_3$,$X_1=-5X_3$ e quindi mi verrebbe da scrivere che la proiezione è $[-3,-5,1,1]$ ma la soluzione data nel testo è invece $[3,5,1,-1]$.
Grazie per l'aiuto.
Per poter calcolare la proiezione devo prima calcolare la retta congiungente i punti P e Q.
Io ho svolto in questo modo.
Dall'equazione del piano noto che non appare $X_2$ quindi posso considerarla una coordinata libera che assumerà valore 1.
Calcolo l'equazione escludendo $X_2$ e ottengo $X_0-X_1-2X_3=0$ e facendo sistema con l'equazione del piano data nel testo ricavo $X_0=-3X_3$,$X_1=-5X_3$ e quindi mi verrebbe da scrivere che la proiezione è $[-3,-5,1,1]$ ma la soluzione data nel testo è invece $[3,5,1,-1]$.
Grazie per l'aiuto.
"Samy21":
Scusate se riporto in alto un vecchio post ma sto svolgendo lo stesso esercizio (tratto dal Sernesi) e ho lo stesso dubbio.
Per poter calcolare la proiezione devo prima calcolare la retta congiungente i punti P e Q.
Io ho svolto in questo modo.
Dall'equazione del piano noto che non appare $X_2$ quindi posso considerarla una coordinata libera che assumerà valore 1.
Calcolo l'equazione escludendo $X_2$ e ottengo $X_0-X_1-2X_3=0$ e facendo sistema con l'equazione del piano data nel testo ricavo $X_0=-3X_3$,$X_1=-5X_3$ e quindi mi verrebbe da scrivere che la proiezione è $[-3,-5,1,1]$ ma la soluzione data nel testo è invece $[3,5,1,-1]$.
Grazie per l'aiuto.
Una retta in $\mathbb P_3$ è rappresentabile o come intersezione di due piani ($X_0-X_1-2X_3=0$, in $\mathbb P_3$, è "solo" un piano) o mediante equazioni parametriche...per quanto la notazione "traballi" le parametriche per la retta le trovi a partire da
$$
"aP+bQ"=[a+b:a-b:-b:b]
$$
al variare di $[a]\in\mathbb P_1$ (pag. 288 eq.ne [24.7] di Sernesi/1ed) quindi...(fai i conti, la soluzione del testo è corretta).
La storia sulla coordinata libera proprio non la capisco...???
Nella seconda edizione non mi ritrovo questa definizione o forse sarà più avanti. Grazie per la spiegazione.
Una sciocchezza scritta, tranquillo.
"alessio76":
La storia sulla coordinata libera proprio non la capisco...???
Una sciocchezza scritta, tranquillo.
"Samy21":
Nella seconda edizione non mi ritrovo questa definizione o forse sarà più avanti. Grazie per la spiegazione.
[quote="alessio76"]
La storia sulla coordinata libera proprio non la capisco...???
Una sciocchezza scritta, tranquillo.[/quote]
Figurati, ti tornano i conti?
Da qualche parte le equazioni parametriche del congiungente lineare di punti dovrà pur scriverle, comunque Sernesi non hai mai usato la notazione traballante, ma comoda, che ho usato io, sul libro ci sarà un bel sistemozzo con tante lettere biindiciate eccetera...ma il concetto è quello.
Scusami se rispondo in ritardo.
Onestamente non ho ben capito come avrei dovuto applicare la formula, chi sono a e b.
Il Sernesi è un libro bellissimo ma diventa molto chiaro solo dopo che hai digerito la materia.
Onestamente non ho ben capito come avrei dovuto applicare la formula, chi sono a e b.
Il Sernesi è un libro bellissimo ma diventa molto chiaro solo dopo che hai digerito la materia.
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