Piano contenente due rette

[DeltaEpsilon]

Stabilire se le rette $r$ di equazioni $x+y+2z=0$, $x+y+z-1=0$ e $s$ che contiene i punti $A(1,1,-1)$, $B(-1,0,0)$ sono complanari e in caso affermativo determinare il piano che le contiene

Mi risulta che le rette sono complanari.

Per determinare il piano che le contiene, però, dovrei prima capire se sono incidenti o parallele distinte e comportarmi di conseguenza... come suggerisce questo articolo

Ma, consultando gli appunti di uno studente, noto che è stato effettuato un procedimento diverso.

Ha considerato i vettori direzione $r(-1,1,0)$ e $s(-2,-1,1)$ e ha messo a sistema le seguenti equazioni: $-a+b = 0$, $-2a-b+c = 0$ trovando $a=b$ e $c=3a$

Così ha ricavato il piano $x+y+3z+d=0$ e non so poi per quale motivo da concluso che $d=1$

Il risultato è infine corretto $x+y+3z+1=0$

Le mie domande:

1) E' corretto questo procedimento? Se si, perché **** distingue i due casi, dai procedimenti anche abbasta laboriosi, separatamente?

2) Come ricava $d=1$ dal fascio improprio di piani?

Grazie in anticipo.

[Bokonon]

Perchè non le metti in forma parametrica? Se le direzioni sono le medesime, sono parallele e quindi sono sempre complanari. Se le direzioni sono diverse, possono essere sghembe o incidenti. Nell'ultimo caso sono complanari. Metti a sistema le equazioni cartesiane e lo scopri.
Il piano che le contiene ha come coefficienti un vettore perpendicolare alle due direzioni, quindi puoi fare il prodotto vettoriale e trovare il piano. Per trovare d basta sostituire un punto.

[DeltaEpsilon]

Ciao ti ringrazio per la risposta e per il metodo suggerito (che domani proverò)

Però mi piacerebbe avere delucidazioni sul metodo che ho riportato, utilizzato da uno studente nei suoi appunti. E' un metodo molto veloce che non avevo mai visto prima.

[Bokonon]

Il tipo ha fatto la medesima cosa.
Ha ricavato le due direzioni delle due rette e invece di farne il prodotto vettoriale è andato a risolvere il sistema omogeneo trovando il kernel della matrice composta dai due vettori messi per riga.

[DeltaEpsilon]

"Bokonon":
invece di farne il prodotto vettoriale è andato a risolvere il sistema omogeneo trovando il kernel della matrice composta dai due vettori messi per riga.

Ok, e posso farlo sempre? Se no, quand'è che non posso farlo?

E poi, come arriva a dire che se $a=b$ e $c=3a$ allora l'equazione del piano è $x+y+3z+d=0$?

Perchè non $300x+300y+900z+d=0$?

[Bokonon]

Certo che puoi sempre risolvere il sistema omogeneo

[DeltaEpsilon]

"Bokonon":Certo che puoi sempre il sistema omogeneo

Grazie, invece...

"DeltaEpsilon":
E poi, come arriva a dire che se $ a=b $ e $ c=3a $ allora l'equazione del piano è $ x+y+3z+d=0 $?
Perchè non $ 300x+300y+900z+d=0 $?

[Bokonon]

Mi quoto da solo:

"Bokonon":
Il piano che le contiene ha come coefficienti un vettore perpendicolare alle due direzioni, quindi puoi fare il prodotto vettoriale e trovare il piano. Per trovare d basta sostituire un punto.

Per me non hai messo a fuoco cosa stai facendo.

[DeltaEpsilon]

Grazie