Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Un esercizio dice:
"Trovare la parabola $y=ax^2+bx+c$ che meglio approssima i punti $(-2,0) (-1,0) (0,1) (1,1) (2,2)$"
Ora, nel caso in ho 3 punti da approssimare con una retta, non ho alcun problema.. quel metodo risolutivo però
non è adatto a risolvere questo problema.. e non so come risolverlo..
Ciao, ho un problema con un concetto di questa definizione:
Sia X un campo vettoriale su M e $ϕ_t$ il suo flusso. Sia $Y$ un secondo campo vettoriale e $ϕ_t(Y )$ la curva di campi vettoriali determinata applicando il flusso. La derivata di Lie del campo Y nella direzione X `e il campo
vettoriale su M dato da
$L_X Y (p) := − (d/(dt))_(|t=0)ϕ_t(Y )(p)$
Non capisco bene la definizione perché non riesco a capire cosa si intenda per curva di campi vettoriali. Se quello è il flusso, in ...
Sono confuso su questo concetto del titolo.
Il tutto nasce dal problema che parametrizzazioni diverse non sappiamo se donino lunghezze di curve (a fissata metrica) diverse e in generale parametrizzazioni diverse se definiamo qualcosa a partire da essa dobbiamo provare l'indipendenza dalla scelta arbitraria di "parametrizzazione usata". Per la lunghezza presa come esempio, in effetti è così, perché c'è il cambio di variabili per l'integrale e si nota che il valore di essa è fissata ...
Sia $B$ la forma bilineare simmetrica definita positiva con
$B($ $(x_1,...,x_n),(x_1,...,x_n))= \sum_(i=0)^nx_i^2-\sum_(i<j)r_(ij)x_ix_j$ con $r_(ij)=0$ oppure $r_(ij)=1$ (per ogni $i$ deve esistere almeno un $j>i$ tale che $r_(ij)=1$), come mai l'insieme ${x in RR^n| B(x,x)=1}$ è una sfera?
Buonasera a tutti, studiando per l'esame di algebra lineare, nel curriculum di fisica, mi sono imbattuto nel seguente esempio:
Sia $U \in M_{n,n}(K)$ una matrice che commuta con tutte le matrici $n×n$, allora $U$ `e un multiplo scalare dell’identità. Siano $u_{ij}$ i coefficienti di $U$ e consideriamo i prodotti con le matrici $E_{ij}$ della base canonica, al variare di tutti gli indici $i<j$. Un semplice conto dimostra che ...
Sia $Q$ il quiver con un vertice e due loop indicati con $\alpha$ e $beta$.
Sia $V := mathbb{K}^3$ il $mathbb{K}Q$-modulo di dimensione 3 su cui $\alpha$ e $beta$ agiscono come gli endomorfismi associati, rispetto alla base canonica, alle matrici $A=((0,1,0),(0,0,1),(0,0,0))$, $B=((0,0,0),(1,0,0),(0,1,0))$. Mostrare che $V$ è irriducibile.
Ci basta mostrare che non ci sono sottomoduli di dimensione $2$ o $1$, ovvero ...
Ciao a tutti, ho appena iniziato il secondo corso di geometria (ossia il primo non di algebra lineare) e il professore ha fatto una divagazione che mi ha molto incuriosito. Essendo nella prima parte del corso non ho i concetti chiari, ma ormai sono cosi curiso che vorrei chiedere riguardo a quello che so per letture personali fatte in passato.
- In particolare il professore ha detto che la sfera non è omeomorfa ad alcun aperto di $RR^2$ e lo riesco a capire perché intuitivamente ...
Buongiorno, ho il seguente problema, che riguarda il metodo dei minimi quadrati.
Siano ${(x_i,y_i)}$ con $i=0,....,m$, dati, ${phi_j(x)}$, con $j=0,....,n$, con $n<m$ funzioni di base.
Problema
Il problema dei minimi quadrati consiste nel determina una funzione approssimante $f_n(x)=\sum_{k=0}^nc_kphi_k(x)$tale che l'errore residuo $\epsilon=\sum_{i=0}^m(y_i-f_n(x_i))^2$sia minimo.
Definizione
Data $A \in M_{m,n}(\mathbb{R})$ con $m>n$ e $b in mathbb(R)^m$ sia $c^{**} \in \mathbb(R)^n$ si dice ...
Data una isometria $\phi$ che fissa un poligono regolare di centro $O$ voglio dimostrare le seguenti affermazioni:
1) $\phi(O)=O$
2) $\phi$ permuta i vertici
Mi è chiaro come le due affermazioni si implichino a vicenda ma vorrei dimostrarne una senza assumere l'altra.
Qualche suggerimento?
Salve a tutti, sto cercando di capire la dimostrazione dello sviluppo per righe (o colonne) del determinante che si trova sul Sernesi. Dopo (letteralmente) mesi e mesi sono riuscito a capire gran parte della dimostrazione. C'è una sola cosa che non ho capito.
Salto la prima parte che serve solo a far vedere che non è restrittivo limitarsi a dimostrare che lo sviluppo è vero solo per la prima riga.
Definiamo una permutazione \(\displaystyle p \in \sigma_{n} \) tale che \( p(1)=j\). Ad ognuna ...
Come si definisce formalmente un poligono convesso in uno spazio affine euclideo senza ricorrere alla definizione elementare di poligono come figura piana delimitata da una linea spezzata chiusa?
Inoltre come si definisce un poligono regolare?
Sul libro General Topology di John Kelley a pagina 56 nell'esercizio D punto c veniva chiesto di dimostrare che in uno spazio $T_1$ l'insieme dei punti di accumulazione di un qualsiasi insieme è chiuso, subito dopo viene detto "A sharper result (C. T. Yang): A necessary and sufficient condition that the set of accumulation points of each subset be closed is that the set of accumulation points of ${x}$ be closed for each $x$ in $X$". Io ho ...
Buonasera a tutti,
sono nuovo qui, perciò spero di non sbagliare niente nel post! Sto ripassando per l'esame di Geometria I, e mi sono imbattuto nella dimostrazione dell'esistenza della base ortogonale per una qualsiasi forma bilineare simmetrica di uno spazio vettoriale.
L'enunciato è \(\displaystyle \forall b \in \text{Bil}_\mathbb{R}(V); \exists \beta \text{ base ortogonale di } V \). Allora segue la dimostrazione.
Si inizia studiando due casi diversi.
Se \(\displaystyle \forall v \in ...
Avrei una domanda:
in che modo si riesce a normalizzare un vettore sui complessi quando la forma quadratica del vettore restituisce un valore negativo?? Mi spiego meglio: nella matrice rappresentativa di un prodotto hermitiano nella posizione (a)i,i ammettiamo che si trovi il valore -c, questo significa che il prodotto scalare tra un vettore della base e se stesso da un numero negativo; tuttavia non riesco utilizzando l'unità immaginaria a rendere il prodotto positivo e uguale a 1, perchè ...
Non mi è chiara l'ultima parte della dimostrazione di questo teorema:
Consideriamo $n+2$ punti $P_1,...,P_(n+2) \in P(V)$. Allora le seguenti proprietà sono equivalenti:
$a)$ $P_1,...,P_(n+2)$ sono in posizione generale
$b)$ $exists B={v_1,...,v_(n+1)}$ base di $V$ tale che $P_1=[v_1],...,P_(n+1)=[v_(n+1)]$ e $P_(n+2)=[v_1+...+v_(n+1)]$.
Inoltre tutte le basi di $V$ soddisfacenti il punto $b)$ sono tra loro proporzionali (quindi individuano le stesse ...
Sia \( M \) una varietà e sia \( X \) un campo vettoriale su \( M \). Dato \( m\in M \) un intorno di flusso in \( m \) è una tripla \( (U,\epsilon,\Phi) \) dove:
1. \( m\in U\subset M \) è un aperto e \( \epsilon > 0 \) o \( \epsilon = +\infty \);
2. \( \Phi\colon \left]-\epsilon,\epsilon\right[\times U\to M \) è una mappa \( \mathscr C^\infty \);
3. per ogni \( m^\prime\in U \), la mappa \( t\mapsto \Phi_t(m) = \Phi(t,m) \) è una curva integrale di \( X \) in \( m \);
4. per ogni \( t\in ...
Salve
Siano $ A,B \in M_{n,n}(K)$ matrici, e due vettori $ u, v in V_n$, con $V_n$ spazio vettoriale sul campo $K$.
Se $u^tAv=u^tBv$ allora $A=B$.
Dalle proprietà del prodotto righe per colonne $u^tAv=u^tBv => u^tAv-u^tBv = 0_K=>(u^tA-u^tB)v=0_K$
allora $u^tA-u^tB=u^t(A-B) =>(u^t(A-B))v=0_K$
Dunque, quest'ultima è vera per ogni coppia di vettori $u,v in V_n$, come posso concludere che da questo comporta che $A-B=O => A=B$
Saluti.
Salve, non riesco a sbrogliare questo problema
Ho $\{v_1,\ldots, v_{n-1}\}$ vettori linearmente indipendenti in $\mathbb{R}^n$. Quindi ho un piano $\Sigma$ generato da questi vettori. Voglio trovare un vettore $v_n$ che sia ortogonale a $\Sigma$. Svolgendo un esercizio ho motivo di credere che un modo per ottenere questo vettore sia il seguente:
Definiamo la matrice $A$ mettendo fianco a fianco gli $n-1$ vettori. Quindi $A$ ha ...
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