Esercizio su quiver
Sia $Q$ il quiver con un vertice e due loop indicati con $\alpha$ e $beta$.
Sia $V := mathbb{K}^3$ il $mathbb{K}Q$-modulo di dimensione 3 su cui $\alpha$ e $beta$ agiscono come gli endomorfismi associati, rispetto alla base canonica, alle matrici $A=((0,1,0),(0,0,1),(0,0,0))$, $B=((0,0,0),(1,0,0),(0,1,0))$. Mostrare che $V$ è irriducibile.
Ci basta mostrare che non ci sono sottomoduli di dimensione $2$ o $1$, ovvero sottospazi di $mathbb{K}^3$ invarianti per $A$ e per $B$ di dimensione $1$ o $2$. Ma l'unico sottospazio $A$-invariante di dimensione $1$ è $span{e_1}$ mentre l'unico sottospazio $B$-invariante di dimensione $1$ è $span{e_3}$, e l'unico sottospazio $A$-invariante di dimensione $2$ è $span{e_1,e_2}$ mentre l'unico sottospazio $B$-invariante di dimensione $2$ è $span{e_2,e_3}$, quindi non ci sono sottospazi invarianti sia per $A$ che per $B$ di dimensione $1$ o $2$ e quindi $V$ è irriducibile. Può andare bene?
Sia $V := mathbb{K}^3$ il $mathbb{K}Q$-modulo di dimensione 3 su cui $\alpha$ e $beta$ agiscono come gli endomorfismi associati, rispetto alla base canonica, alle matrici $A=((0,1,0),(0,0,1),(0,0,0))$, $B=((0,0,0),(1,0,0),(0,1,0))$. Mostrare che $V$ è irriducibile.
Ci basta mostrare che non ci sono sottomoduli di dimensione $2$ o $1$, ovvero sottospazi di $mathbb{K}^3$ invarianti per $A$ e per $B$ di dimensione $1$ o $2$. Ma l'unico sottospazio $A$-invariante di dimensione $1$ è $span{e_1}$ mentre l'unico sottospazio $B$-invariante di dimensione $1$ è $span{e_3}$, e l'unico sottospazio $A$-invariante di dimensione $2$ è $span{e_1,e_2}$ mentre l'unico sottospazio $B$-invariante di dimensione $2$ è $span{e_2,e_3}$, quindi non ci sono sottospazi invarianti sia per $A$ che per $B$ di dimensione $1$ o $2$ e quindi $V$ è irriducibile. Può andare bene?
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