Sviluppo di Laplace

[mario998]

Salve a tutti, sto cercando di capire la dimostrazione dello sviluppo per righe (o colonne) del determinante che si trova sul Sernesi. Dopo (letteralmente) mesi e mesi sono riuscito a capire gran parte della dimostrazione. C'è una sola cosa che non ho capito.

Salto la prima parte che serve solo a far vedere che non è restrittivo limitarsi a dimostrare che lo sviluppo è vero solo per la prima riga.

Definiamo una permutazione \(\displaystyle p \in \sigma_{n} \) tale che \( p(1)=j\). Ad ognuna di queste permutazioni facciamo corrispondere la permutazione \(q \in \sigma_{n-1}\) tale che

\( q(k)=
\begin{cases}
p(k+1) \text{ se } p(k+1) p(k+1)-1 \text{ se } p(k+1)>j
\end{cases}
\)

Ora, penso di aver capito perché definiamo questa permutazione e soprattutto in questo modo (così riusciamo a costruire la definizione di determinante per la sottomatrice ottenuta cancellando la prima riga e la j-esima colonna), però non mi è chiaro come venga determinato il segno di questa permutazione.

Il libro dice che

\(
\epsilon(p)=(-1)^{j-1}\epsilon(q)
\)

e lo spiega definendo un'altra permutazione:
\(
\begin{cases}
r(1)=1 \\
r(k)=q(k-1) k=2, \dots, n
\end{cases}
\)
questa permutazione si otterrebbe componendo \(p\) con \(j-1\) trasposizioni di "elementi contigui" e questo vorrebbe dire che il segno di r è \( (-1)^{j-1}\epsilon(p)\) , e in realtà il segno di r è "per definizione" uguale al segno di q, da cui quello che ho scritto prima.

Questa è l'unica cosa che non capisco, principalmente perché r si ottiene componendo p con queste j-1 trasposizioni.

[j18eos]

L'idea è che devi considerare il complemento algebrico dell'elemento \(\displaystyle a_1^j\), quindi devi spostare le colonne adiacenti in modo che tu possa applicare il passo induttivo della dimostrazione!