Matrici triangolari commutative
Buonasera a tutti, studiando per l'esame di algebra lineare, nel curriculum di fisica, mi sono imbattuto nel seguente esempio:
Sia $U \in M_{n,n}(K)$ una matrice che commuta con tutte le matrici $n×n$, allora $U$ `e un multiplo scalare dell’identità. Siano $u_{ij}$ i coefficienti di $U$ e consideriamo i prodotti con le matrici $E_{ij}$ della base canonica, al variare di tutti gli indici $i
(Ho omesso i conti perché si tratta solo di verificare per quale caso le matrici della base canonica risultino indipendenti, e li ho capiti come tutto l'esempio). Sul modello di ciò però mi si chiede come esercizio:
Se $U \in M_{n,n}(K)$ è una matrice che commuta con tutte le matrici invertibili $n×n$ triangolari superiori, verificare se $U$ è un multiplo scalare dell’identità.
come suggerimento mi si dice di seguire lo stesso ragionamento dell’Esempio riportato usando le uguaglianze
$(I+E_{ij})U =U(I+E_{ij})$, $i
ah ok, grazie mille ... fortuna che ho ancora un mese per preparare questo esame
Sia $U \in M_{n,n}(K)$ una matrice che commuta con tutte le matrici $n×n$, allora $U$ `e un multiplo scalare dell’identità. Siano $u_{ij}$ i coefficienti di $U$ e consideriamo i prodotti con le matrici $E_{ij}$ della base canonica, al variare di tutti gli indici $i
(Ho omesso i conti perché si tratta solo di verificare per quale caso le matrici della base canonica risultino indipendenti, e li ho capiti come tutto l'esempio). Sul modello di ciò però mi si chiede come esercizio:
Se $U \in M_{n,n}(K)$ è una matrice che commuta con tutte le matrici invertibili $n×n$ triangolari superiori, verificare se $U$ è un multiplo scalare dell’identità.
come suggerimento mi si dice di seguire lo stesso ragionamento dell’Esempio riportato usando le uguaglianze
$(I+E_{ij})U =U(I+E_{ij})$, $i
Risposte
"Basta ridursi al caso precedente!" (cit. del prof. Renato Caccioppoli) 
Capisci il suggerimento?
P.S.: benvenuto!
Capisci il suggerimento?
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Ciao j18eos,
Innanzitutto grazie per la risposta, comunque mi stai dicendo che banalmente devo sviluppare il prodotto e fare la somma? Perché è una cosa che ho fatto ma mi sembra troppo 'semplice' per lo stile del professore. purtroppo non ho ancora quella sicurezza che vorrei su questa materia
Innanzitutto grazie per la risposta, comunque mi stai dicendo che banalmente devo sviluppare il prodotto e fare la somma? Perché è una cosa che ho fatto ma mi sembra troppo 'semplice' per lo stile del professore. purtroppo non ho ancora quella sicurezza che vorrei su questa materia
...e, invece, sì: il calcolo è molto semplice!
\[
\left(I+E_i^j\right)A=A\left(I+E_i^j\right)\\
E_i^jA=AE_i^j
\]
\[
\left(I+E_i^j\right)A=A\left(I+E_i^j\right)\\
E_i^jA=AE_i^j
\]
ah ok, grazie mille ... fortuna che ho ancora un mese per preparare questo esame
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