Indicatrice di Dupin
ciao a tutti!
ho un esercizio che mi chiede di calcolare l'indicatrice di dupin
la superficie che ho è parametrizzata da $x(u,v)=(u,v,u^4+v^2)$ e devo calcolare l'indicatrice nel punto $(0,0,0)$
ora io ho la definizione di indicatrice $k_1 a^2+k_2 b^2=\pm 1$ con $k_1,k_2$ curvature principali e $(a,b)$ coordinate in $T_pS$, piano tangente a $S$ in $p$,nella base ortonormale. Ma nn capisco come metterla in pratica!!!
ok $k_1$ e $k_2$ so calcolarle ma non capisco quel $(a,b)$........
qualcuno riesce a spiegarmelo di modo che io possa calolare l'indicatrice??
se conoscete qualche sito dove viene spiegata bene,io nn ne ho trovati
anche un libro, io ho letto sia quello di Abate-Tovena che il Do Carmo ma dicono esattamente quello che ho scritto niente di più e soprattutto niente esempi o esercizi svolti!!!
ho un esercizio che mi chiede di calcolare l'indicatrice di dupin
la superficie che ho è parametrizzata da $x(u,v)=(u,v,u^4+v^2)$ e devo calcolare l'indicatrice nel punto $(0,0,0)$
ora io ho la definizione di indicatrice $k_1 a^2+k_2 b^2=\pm 1$ con $k_1,k_2$ curvature principali e $(a,b)$ coordinate in $T_pS$, piano tangente a $S$ in $p$,nella base ortonormale. Ma nn capisco come metterla in pratica!!!
ok $k_1$ e $k_2$ so calcolarle ma non capisco quel $(a,b)$........
qualcuno riesce a spiegarmelo di modo che io possa calolare l'indicatrice??
se conoscete qualche sito dove viene spiegata bene,io nn ne ho trovati
anche un libro, io ho letto sia quello di Abate-Tovena che il Do Carmo ma dicono esattamente quello che ho scritto niente di più e soprattutto niente esempi o esercizi svolti!!!
Risposte
L'indicatrice di Dupin in $p$ è l'insieme $\{v \in T_pS | \text{II}_p(v) = \pm 1 \}$
Per calcolarlo ti basta calcolare esplicitamente $\text{II}_p(v)=-\text{I}_p(v, -d_pN(v))$
In questo caso se $x(u,v)=(u,v,u^4+v^4)$ è la parametrizzazione si calcola che $x_u=(1, 0, 3u^3)$, $x_v=(0,1,3v^3)$ e quindi un possibile N è dato $x_u \wedge x_v= (-3u^3, -3v^3, 1)$
$N=\frac{x_u \wedge x_v}{||x_u \wedge x_v||}=\frac{1}{\sqrt{9u^6+9v^6+1}}(-3u^3,-3v^3,1)$
Osserva che in generale se la parametrizzazione è $(u, v, f(u,v))$ allora hai
$N = \frac{1}{\sqrt{||\nabla f||^2+1}} (-\nablaf,1)$
Ricavi $x_{u u}=(0,0,6u^2)$, $x_{uv}=(0,0,0)$, $x_{v v}=(0,0,6v^2)$
Calcolo i coefficienti della seconda forma fondamentale:
$e=N \cdot x_{u u}=\frac{6u^2}{\sqrt{9u^6+9v^6+1}}$
$f=0$
$g = \frac{6v^2}{\sqrt{9u^6+9v^6+1}}$
Valutato in $(0,0)$ hai $\text{II}_{(0,0)}=0$
Ora in generale per una seconda forma con matrice $((e,f),(f,g))$ per calcolare la indicatrice in coordinate $((x,y))$ in base $x_u$ e $x_v$ ho
$((x,y))((e,f),(f,g))((x),(y))=\pm1$ ovvero $ex^2+2fxy+gy^2=\pm1$ che in generale ti dà due coniche.
In questo caso ovviamente ti dà l'insieme vuoto.
Per calcolarlo ti basta calcolare esplicitamente $\text{II}_p(v)=-\text{I}_p(v, -d_pN(v))$
In questo caso se $x(u,v)=(u,v,u^4+v^4)$ è la parametrizzazione si calcola che $x_u=(1, 0, 3u^3)$, $x_v=(0,1,3v^3)$ e quindi un possibile N è dato $x_u \wedge x_v= (-3u^3, -3v^3, 1)$
$N=\frac{x_u \wedge x_v}{||x_u \wedge x_v||}=\frac{1}{\sqrt{9u^6+9v^6+1}}(-3u^3,-3v^3,1)$
Osserva che in generale se la parametrizzazione è $(u, v, f(u,v))$ allora hai
$N = \frac{1}{\sqrt{||\nabla f||^2+1}} (-\nablaf,1)$
Ricavi $x_{u u}=(0,0,6u^2)$, $x_{uv}=(0,0,0)$, $x_{v v}=(0,0,6v^2)$
Calcolo i coefficienti della seconda forma fondamentale:
$e=N \cdot x_{u u}=\frac{6u^2}{\sqrt{9u^6+9v^6+1}}$
$f=0$
$g = \frac{6v^2}{\sqrt{9u^6+9v^6+1}}$
Valutato in $(0,0)$ hai $\text{II}_{(0,0)}=0$
Ora in generale per una seconda forma con matrice $((e,f),(f,g))$ per calcolare la indicatrice in coordinate $((x,y))$ in base $x_u$ e $x_v$ ho
$((x,y))((e,f),(f,g))((x),(y))=\pm1$ ovvero $ex^2+2fxy+gy^2=\pm1$ che in generale ti dà due coniche.
In questo caso ovviamente ti dà l'insieme vuoto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo