Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Buonasera
E' possibile che una varietà di Riemann, compatta e orientata abbia bordo? Il disco di raggio 1 in un qualsiasi $RR^n$ non è forse un esempio?
Durante una lezione il mio professore ha detto che una tale varietà non ha mai bordo, quando ho chiesto spiegazioni ha stressato il fatto che la varietà fosse compatta
Salve a tutti,
Ho un quesito da porvi: data una matrice A di ordine n a coefficienti reali antisimmetrica (ie A=-A^T) e triangolarizzabile (ie esiste X invertibile tale che X^(-1)AX=T sia triangolare (superiore)). Mostrare che A=0.
Per svolgerlo ho preso delle matrici invertibili G1,..., Gk tali che XG1...Gk sia ortogonale (ho pensato che queste potessero esistere per l'algoritmo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt). Allora (XG1...Gk)^(-1)AXG1...Gk=Gk^(-1)...G1^(-1)TG1...Gk
A questo punto, ...
Sia \[ L= \begin{Bmatrix}
\begin{pmatrix}
1& x&y \\
0& 1& z\\
0&0 &1
\end{pmatrix} \in H_3(\mathbb{Z}) : \left| y \right| \leq z
\end{Bmatrix} \]
Dove \( H_3(\mathbb{Z}) \) è il gruppo di Heisenberg. E sia una matrice \( A=\begin{pmatrix}
1& a&c \\
0& 1& b\\
0&0 &1
\end{pmatrix} \in H_3(\mathbb{Z}) \) tale che \( L A \) "è essenzialmente" \(L\), quindi interseca \(L\) in un insieme infinito o addirittura se possibile è \(L\) tranne al più un numero finito di matrici. ...
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Studente Anonimo
23 apr 2024, 04:31
Potreste dirmi se la seguente dimostrazione è valida? Le uniche che trovo su internet sono inerenti agli endomorfismi autoaggiunti (che so essere equivalenti se si scelgono basi ortonormali).
Devo dimostrare che :
1) Sia $A$, una matrice simmetrica, allora $A$ è diagonalizzabile.
2) Sia $A$ simmetrica allora è diagonalizzabile mediante una matrice ortogonale.
3) Sia $A$ diagonalizzabile e se esiste $Q$ ortogonale tale che ...
Salve.
Stavo provando a risolvere un esercizio di algebra lineare riguardante le applicazioni lineari:
Se V = R[x]/(x3) è lo spazio dei polinomi reali in una indeterminata di grado minore di 3 e f : V → V
è la funzione lineare definita dalla formula
$f(p) = p(−1) − p(1) $
qual è la dimensione del suo nucleo?
a-0
b-1
c-2
d-3[/list:u:1w3i0kir]
Stavo pensando di procedere costruendo la matrice associata alla funzione, in tal modo sfruttando l' isomorfismo delle coordinate posso ridurre a scala ...
Buongiorno, come si dimostra questa proprietà del tensore metrico per calcolare componenti covarianti e controvarianti di un vettore?
$A_i$=$g_{i,j}$ $A^j$
$A^i$=$g^{i,j}$$A_j$
grazie a tutti !
'
Potreste darmi una mano nel chiarire i seguenti dubbi?
Sia $P(V)$ lo spazio proiettivo associato a $V$.
1) Se $dimV=0$ cioè se $V={0_V}$ si ha che $V-{0_V}=O/$ perciò $P(V)=O/$ e $dimP(V)=dimO/=dimV-1=-1$. Magari è banale ma, come fa l'insieme vuoto ad essere dotato di struttura di spazio vettoriale? Non posso definire alcuna operazione. Dunque che senso ha uno spazio proiettivo associato a qualcosa che non è uno spazio vettoriale?
2) Per dare ...
Ho svolto il terzo esercizio del primo capitolo del libro di John Kelley e volevo sapere se è giusto non avendo le soluzioni. Riporto il testo: "If ° is an operator which carries subsets of $X$ into subsets of $X$, and $ \mathfrak(T) $ is the family of all subsets such that $A^° = A$, under what conditions will $ \mathfrak(T) $ be a topology for $X$ and ° the interior operator relative to this topology?"
Io credo di aver scritto le 4 ...
Avrei una domanda inerente agli spazi affini euclidei. In particolare riguardo questa affermazione:
Sia $En(V,\RR,g,f)$ spazio affine euclideo (g prodotto scalare su $V$). Sia un riferimento cartesiano $R(O,B)$, con B base ortonormale di $V$. Siano due rette $r=S(A,<v>)$ e $s=S(B,<w>)$ con $v=sum(lambda_i*e_i)$ e $w=sum (lambda'_i*e_i)$. Allora i due angoli convessi formati dalla due rette $r$ e $s$ sono i due angoli ...
Sto svolgendo gli esercizi del primo capitolo del libro General Topology di John Kelley, ma non capisco questa affermazione che dovrei dimostrare: "For any collection of topologies for $X$ there is a unique largest topology which is smaller than each member of the collection, and a unique smallest topology which is larger than each member of the collection."
Salve a tutti. Affrontando un esercizio mi è sorto un dubbio sul teorema spettrale reale:
consideriamo la matrice simmetrica $A =$ \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}.
Essendo una matrice simmetrica reale, è diagonalizzabile su $\R^n$ con il prodotto scalare standard.
In particolare, i suoi autovalori sono $\lambda = 0, \lambda = 2$ con relativi autovettori $v_0 = (1,1)$ e $v_2 = (-1,1)$.
Scrivendo la matrice diagonale $D$ come $D = P^{-1}AP$, ...
Ciao a tutti, la mia sarà probabilmente una domanda banale, il mio libro geometria e algebra lineare afferma che “ovviamente l’equazione parametrica/vettoriale di una retta è $r={P+t(Q-P)|tinR}$”. Stessa cosa dice per il piano senza fornire una dimostrazione. Probabilmente sarà banale ma non riesco a capire come dimostrare che l’insieme r è una retta. Grazie in anticipo
Ciao,
ho un dubbio sulla nozione di tangent bundle \(\displaystyle \tau(E) \) in cui lo spazio base \(\displaystyle E \) ha struttura di spazio affine.
Lo spazio vettoriale tangente ad ogni punto dello spazio base (lo spazio affine \(\displaystyle E \)) si identifica naturalmente/canonicamente con lo spazio vettoriale delle traslazioni \(\displaystyle V \) che entra nella definizione di spazio affine \(\displaystyle (E,V) \).
Da quanto posso capire tale isomorfismo canonico tra spazi ...
Ho un po' di difficoltà con la dimostrazione di questa proposizione.
Ogni isometria inversa di $E_2$ (spazio affine euclideo) priva di punti uniti (si dice che $P$ è un punto unito per l'affinità $phi$ se $phi(P)=P$) è una glissoriflessione.
Dimostrazione
Sia $phi:E_2->E_2$ un'isometria inversa priva di punti uniti.
Sia $R(O,B)$ riferimento cartesiano.
L'isometria $phi$ ha equazione $phi:X'=AX+b$ con ...
Stavo studiando le isometrie di spazi affini euclidei $E_n$ ovvero affinità la cui parte lineare è un'isometria lineare (o trasformazione ortogonale).
Mi si portano alcuni esempi di isometrie come casi particolari di affinità inerenti a spazi affini $A_n$.
Ad esempio le traslazioni $tau$ hanno come parte lineare l'applicazione identità $i_V$ che è una isometria lineare.
La simmetria $sigma_C$ di centro $C$ perché ha come ...
Salve
Nel bel libro di David Acherson "Viaggio nel calcolo infinitesimale" viene ricordato un risultato già noto ad Archimede, ossia il fatto che si taglia una pagnotta sferica in fette di ugual spessore le loro superfici (la crosta) è uguale fra di loro.
Mi piacerebbe sapere la dimostrazione e chi fu a scoprirla.
Ciao a tutti! Ho avuto difficoltà a svolgere i seguenti due esercizi. Qualcuno potrebbe aiutarmi?
ESERCIZIO 1
Sia
A=(-a b
c d)
Si consideri l'applicazione la:Q2,2->Q2,2 definita nel seguente modo
la(X)=AX-XA, XappartenteQ2,2.
Si mostri che la è una applicazione lineare e si determini al variare di A, im(la) e ker(lA).
ESERCIZIO 2
Sia v = V / R uno spazio vettoriale sui reali, \mathcal{R} = \{e_{1}, e_{2}, e_{3}\} un suo riferimento ed f / V -> V l'endomorfismo di V tale che f(e 1 ...
Buongiorno, ho il seguente dubbio, considero
$x^t=(x_1,...,x_n)$ il vettore delle componenti di un vettore $v$ in un riferimento $B=(v_1,...,v_n)$
$y^t=(y_1,...,y_m)$ il vettore delle componenti di un vettore $u$ in un riferimento $B'=(w_1,...,w_m)$
$A=(a_(i,j))$ matrice compatibile con prodotto righe per colonne.
Perché se
\(\displaystyle y^t\begin{bmatrix} w_1 \\\vdots \\ w_m\end{bmatrix} =x^tA^t\begin{bmatrix} w_1 \\\vdots \\ w_m\end{bmatrix}\),
allora ...
Buonasera,
sto seguendo un corso di geometria base e non ho capito il discorso fatto dal prof, in particolare ha inizialmente detto che parlare di differenziabilità per una funzione con dominio su una intersezione (quindi sottoinsieme) della superficie immersa in R^3 non ha senso in quanto un qualcosa di "simil-bidimensionale" e sicuramente non è un aperto di R^3. Non ha quindi senso (non avendo un aperto) parlare di differenziabilità. E ha introdotto discorsivamente questo concetto (il succo ...
Buonasera menti matematiche, mi domando se alcuni sottoinsiemi di matrici in $GL_n(\mathbb{R})$ siano aperti o chiusi (o nessuno dei due, o entrambi...). Per esempio, se chiamiamo $M(W,Z)$ l'insieme
\[
\{A\in GL_n(\mathbb{R})| AW=Z\}
\]
Questo è aperto? chiuso? (onestamente io spero sia chiuso, perché mi sarebbe comodo)
Naturalmente ci interessa il caso non banale, cioè quello in cui $k=dim(W)=dim(Z)<n$.
Ho provato a definire la mappa
\[
f:GL_n(\mathbb{R})\rightarrow Gr(k,n)\\
A\mapsto ...
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