Domanda su sfera e omeomorfismo
Ciao a tutti, ho appena iniziato il secondo corso di geometria (ossia il primo non di algebra lineare) e il professore ha fatto una divagazione che mi ha molto incuriosito. Essendo nella prima parte del corso non ho i concetti chiari, ma ormai sono cosi curiso che vorrei chiedere riguardo a quello che so per letture personali fatte in passato.
- In particolare il professore ha detto che la sfera non è omeomorfa ad alcun aperto di $RR^2$ e lo riesco a capire perché intuitivamente perché la sfera è un chiuso e un aperto del piano no, quindi non potrò avere un aperto nella controimmagine di un omeomorfismo.
- Inoltre so che la sfera non ha la stessa curvatura del piano, per questo non esiste la "cartina perfetta" della terra su una mappa piana (che era il problema iniziato da gauss)
- So anche (però in modo non molto formale) che la curvatura è preservata dalle isometrie.
E quindi mi chiedo c'è qualche legame sul fatto che non esista un unico omeomorfismo che parametrizza la sfera (ma devo usarne più di uno) per via del fatto che la curvatura non è preservata tra piano e sfera?
(Ovviamente viene facile giustificarlo con il primo dei tre punti ma volevo capire se dipendesse anche dal concettto di curvatura)
Inoltre mi accorgevo che cilindro e piano hanno curvatura identica, e infatti si possono parametrizzare 1:1 con un omeomorfismo unito e anche isometrico.
Ma queste due cose sono vere in generale?
Vorrei quindi per curiosità capire se questi tre concetti sono legati oppure no tra loro: ho curvatura identica per due oggetti <=> ho possibili omeomorfismi unici che legano due oggetti (cioé non solo due o più omeomorfismo possibili, ma può esisterne uno uno unico che lega due figure)<=> sono isometriche le due figure (cioè ho un isometria tra le due)?
- In particolare il professore ha detto che la sfera non è omeomorfa ad alcun aperto di $RR^2$ e lo riesco a capire perché intuitivamente perché la sfera è un chiuso e un aperto del piano no, quindi non potrò avere un aperto nella controimmagine di un omeomorfismo.
- Inoltre so che la sfera non ha la stessa curvatura del piano, per questo non esiste la "cartina perfetta" della terra su una mappa piana (che era il problema iniziato da gauss)
- So anche (però in modo non molto formale) che la curvatura è preservata dalle isometrie.
E quindi mi chiedo c'è qualche legame sul fatto che non esista un unico omeomorfismo che parametrizza la sfera (ma devo usarne più di uno) per via del fatto che la curvatura non è preservata tra piano e sfera?
(Ovviamente viene facile giustificarlo con il primo dei tre punti ma volevo capire se dipendesse anche dal concettto di curvatura)
Inoltre mi accorgevo che cilindro e piano hanno curvatura identica, e infatti si possono parametrizzare 1:1 con un omeomorfismo unito e anche isometrico.
Ma queste due cose sono vere in generale?
Vorrei quindi per curiosità capire se questi tre concetti sono legati oppure no tra loro: ho curvatura identica per due oggetti <=> ho possibili omeomorfismi unici che legano due oggetti (cioé non solo due o più omeomorfismo possibili, ma può esisterne uno uno unico che lega due figure)<=> sono isometriche le due figure (cioè ho un isometria tra le due)?
Risposte
La sfera è compatta (ovvio), nessun aperto del piano è compatto (dimostra questa seconda cosa, è altrettanto ovvia con la def di compatto). Ergo, dato che spazi omeomorfi sono entrambi compatti o entrambi no, sfera e (aperto del) piano non possono essere omeomorfi.
c'è qualche legame sul fatto che non esista un unico omeomorfismo che parametrizza la sfera (ma devo usarne più di uno) per via del fatto che la curvatura non è preservata tra piano e sfera?La risposta breve è che la risposta è legata a un invariante un po' raffinato di una varietà $M$, la categoria di Lusternik-Schnirelmann di $M$, https://en.wikipedia.org/wiki/Lusternik–Schnirelmann_category
La sfera è compatta (ovvio), nessun aperto del piano è compatto (dimostra questa seconda cosa, è altrettanto ovvia con la def di compatto). Ergo, dato che spazi omeomorfi sono entrambi compatti o entrambi no, sfera e (aperto del) piano non possono essere omeomorfi.sì, certo, infatti è quello che mi ero fatto autonomamente e quello che dicevo nel punto 1.
però se noti le mie domande sono differenti, cioè io sto cercand un legame tra gli altri concetti e chiedevo se esistono. Se non è chiaro posso ripeterlo, però quello che dici tu mi era chiaro ed è quello che indicavo nel punto 1. Ma la domanda (o meglio le domande) erano altre
intanto che faccio un UP, vorrei capire il legame (se esiste) di quanto dicevo nel primo post.
Ora a me pare che isometria => omeomorfismo e isometria=> preserva curvature sono garantite, ma gli altri legami? Esistono?
Grazie
Ora a me pare che isometria => omeomorfismo e isometria=> preserva curvature sono garantite, ma gli altri legami? Esistono?
Grazie
"sansipersico":
intanto che faccio un UP, vorrei capire il legame (se esiste) di quanto dicevo nel primo post.
Ora a me pare che isometria => omeomorfismo e isometria=> preserva curvature sono garantite, ma gli altri legami? Esistono?
Grazie
Avendo studiato da autodidatta, non so bene quale scaletta seguiate nei corsi e a che livello sei... perché a me il collegamento con la Sfera di Riemann (che è omeomorfa a $\mathbb{S}^2$) viene abbastanza naturale e inoltre dovrebbe venir presentata in vari contesti (qui la si pensa tangente all'origine nel piano complesso), ma semplificando, qualcosa del genere compare già nelle trasformazioni di Möbius, pensandole proprio come "ombre" proiettate sul piano cartesiano di una porzione compatta di superficie della sfera, illuminata da una luce al suo polo Nord... la sfera in questo contesto può idealmente muoversi sul terzo asse (ortogonale al suddetto piano), ruotare su se stessa, espandersi/rimpicciolirsi e via dicendo (lo scrivo perché è l'intro più semplice che mi viene, mentre parlare di geometria proiettiva mi sembra fuori contesto). Just my two cents.
"sansipersico":Se ho capito la domanda, la risposta è no, non c'entra. Il motivo per cui la sfera non è omeomorfa a un aperto del piano ha a che vedere con la compattezza, come diceva megas_archon. Se togli un punto a una sfera (per esempio il polo nord), ottieni un insieme che è omeomorfo al piano (tramite la proiezione stereografica per esempio). Ed è ovvio che se alla sfera togli un punto la curvatura non cambia (non ti sembra?).
Equindi mi chiedo c'è qualche legame sul fatto che non esista un unico omeomorfismo che parametrizza la sfera (ma devo usarne più di uno) per via del fatto che la curvatura non è preservata tra piano e sfera?
Non confondere isometria con omeomorfismo, sono cose molto diverse. La sfera è localmente omeomorfa al piano (è una varietà con due carte) ma non è localmente isometrica al piano (appunto per via della curvatura).
Purtroppo non ho ancora studiato queste cose ma ero incuriosito da una cosetta, siccome semplice e forse a me accessibile: una sfera è compatta perché chiusa e limitata? Dicevae che è ovvio e mi incuriosiva il perché 
"kaiz":
Purtroppo non ho ancora studiato queste cose ma ero incuriosito da una cosetta, siccome semplice e forse a me accessibile: una sfera è compatta perché chiusa e limitata? Dicevae che è ovvio e mi incuriosiva il perché
Heine-Borel.
Ok credo di essermi espresso male sulla domanda: è compatta perché chiusa e limitata per HB, ma la domanda volava essere vale che è compatta perché chiusa e limitata perché parlavi di una sfera in $RR^n$. Non tutte le sfere sono compatte se non vivono in $RR^n$?
Anche dando una definizione intrinseca (cioè non come varietà immersa in \(\mathbb R^{n+1}\)) di \(S^n\), la risposta è sì. Altrimenti devi dare una definizione di "sfera", perché forse quella che hai in mente non è standard. (La dimensione della sfera deve essere finita, ad esempio; altrimenti non è compatta.)
Capito, è solo che HB io lo conosco per R, per questo chiedevo se valesse solo in R il fatto che fosse compatta.
Invece mi pare di capire che risulti compatta per HB anche in altri contesto tipo Sn? Cioè anche in quel caso dimostrerei la sua compattezza per HB
Per curiosità, in che corso della mia carriera potrei trovare questo argomenti? Tu megas. Anche corso della triennale li hai visti?
Mi incuriosisce molto
Invece mi pare di capire che risulti compatta per HB anche in altri contesto tipo Sn? Cioè anche in quel caso dimostrerei la sua compattezza per HB
Per curiosità, in che corso della mia carriera potrei trovare questo argomenti? Tu megas. Anche corso della triennale li hai visti?
Mi incuriosisce molto
La massima generalità in cui vale è su certi spazi metrici, vedi qui https://en.wikipedia.org/wiki/Heine-Bor ... l_property
Riguardo la seconda domanda, probabilmente si tratta di trovare un docente di topologia particolarmente sadico, oppure si tratta di studiare da soli (per quale motivo credete che un corso di laurea vi insegni altro che dolore, e la tenacia di studiare da soli, io non lo capirò mai).
Riguardo la seconda domanda, probabilmente si tratta di trovare un docente di topologia particolarmente sadico, oppure si tratta di studiare da soli (per quale motivo credete che un corso di laurea vi insegni altro che dolore, e la tenacia di studiare da soli, io non lo capirò mai).
E tu sei sadico? 
Sul resto hai ragione, ma in realtà volevo chiedere questo per capire se prima o poi lo avrei affrontato (essendoci tu già passato) oppure no, in una triennale... era una mera curiosità. Mi pare di capire che generalmente non viene fatto. Ovviamene poi gran pare dello studio si fa in maniera autonoma e queso rende uno studente e poi matematico brillante o meno. E' vero quanto dici.
Sul resto hai ragione, ma in realtà volevo chiedere questo per capire se prima o poi lo avrei affrontato (essendoci tu già passato) oppure no, in una triennale... era una mera curiosità. Mi pare di capire che generalmente non viene fatto. Ovviamene poi gran pare dello studio si fa in maniera autonoma e queso rende uno studente e poi matematico brillante o meno. E' vero quanto dici.
"kaiz":Sì, ma bisogna che mi paghino bene.
E tu sei sadico?
Sul resto hai ragione, ma in realtà volevo chiedere questo per capire se prima o poi lo avrei affrontato (essendoci tu già passato) oppure no, in una triennale...Boh, dipende dalle circostanze, i programmi dei corsi sono tutto tranne che standardizzati.
"megas_archon":Sì, ma bisogna che mi paghino bene.[/quote]però è più sadico il sadico che ti paga (lautamente) per essere sadico
[quote="kaiz"]E tu sei sadico?
Boh, dipende dalle circostanze, i programmi dei corsi sono tutto tranne che standardizzati.No, certo, per questo avevo chiesto "per tua esperienza" se le avevi affrontate in un corso o autonomamente. Ovviamente non chiedevo conoscessi tutti i programmi di tutti gli atenei al mondo
.Non sei superman... forse
Credo tu abbia le idee confuse sui termini di un rapporto d/s https://en.wikipedia.org/wiki/Dominance_and_submission
Per quanto riguarda la topologia [generale], credo me ne sia stata insegnata molto poca. Poi, c'è da dire che la topoogia generale è chiaramente un errore storico.
Per quanto riguarda la topologia [generale], credo me ne sia stata insegnata molto poca. Poi, c'è da dire che la topoogia generale è chiaramente un errore storico.
d/s è anche docente/studente?
Comunque pensavo più a un sadico terzo individuo (datore di lavoro/università) che ti pagava per essere sadico con un altro.
Comunque pensavo più a un sadico terzo individuo (datore di lavoro/università) che ti pagava per essere sadico con un altro.
Per quanto riguarda la topologia [generale], credo me ne sia stata insegnata molto poca. Poi, c'è da dire che la topoogia generale è chiaramente un errore storico.ti ringrazio per la risposta
Penso che Heine-Borel venga visto, con dimostrazione, in qualsiasi corso di topologia che si rispetti.
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