Base estensione di campo

[francicko]

Se $p(x) $ è un polinomio generico di terzo grado a coefficienti in $Q$, campo dei razionali, con radici ${x_1,x_2,x_3}$ l'estensione $Q(x_1,x_2)$ che contiene tutte le radici del polinomio può essere vista come uno spazio vettoriale, si vede facilmente che $ [1,x_1,x_1^2, x_2,x_2x_1,x_2x_1^2] $ è una base, in quanto l'elemento $x_2^2 $ è combinazione lineare dei su indicati elementi, sia $delta$ il discriminante, come faccio a mostrare che anche $[1,x_1,x_1^2, delta, x_1delta,x_1^2 delta] $ è anch'esso un insieme minimale di generatori e quindi una base?

[Lebesgue]

Basta far vedere che dalla base $[1,x_1,x_1^2,\Delta,x_1\Delta,x_1^2\Delta]$ riesci a ricondurti alla base $[1,x_1,x_2,x_1x_2,x_1^2,x_2x_1^2]$.

Ovvero la domanda diventa: come ricavare la radice $x_2$ partendo da $x_1$ e $\Delta$?
Per farlo basta scriverti chi è il discriminante per i polinomi di terzo grado

[francicko]

Grazie per la risposta!
Pero non mi sembra una cosa immediata, ho fatto diversi tentativi, ma non riesco a cavare un ragno dal buco.
Il discriminante nel caso sudetto é $delta =(x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_3-x_1)$, quindi coinvolge tutte e tre le radici, pur sviluppando il prodotto si ottiene la somma di una serie di termini del tipo $x_ix_j$ con $i, j$ $in $ $(1,2,3)$, non si riesce ad isolare la radice $x_2$, dal contesto risultante, rimango bloccato.
Inoltre $Delta=delta^2$ $in$ $Q$ essendo una funzione simmetrica, puoi darmi qualche altro suggerimento, grazie!

[Studente Anonimo]

Devi usare la formula dei gradi. Ne abbiamo parlato qui.