Applicazioni lineari, Ker e Im, dimensione
Salve a tutti. Mi stavo rinfrescando le idee facendo alcuni esercizi di algebra lineare.
In pratica l'esercizio è questo:
Si consideri un’applicazione lineare $T : R^3 \rarr R^2$ tale che:
$T|(1,-1,0)| = |(1,1)|; T|(1,-1,1)|=|(-1,-1)|; T|(-1,0,1)|=|(2,2)|$
i) Spiegare per quale ragione l’applicazione lineare T definita dalle precedenti condizioni è unica.
ii) Determinare la matrice associata a $T$ nelle basi canoniche di $R^3$ e $ R^2$
iii) Determinare poi equazioni cartesiane dell’immagine di $T$ e la dimensione di $kerT$.
I primi due punti li ho fatti. Ho ottenuto che la matrice associata è:
$A = |(-4,-5,-2),(-4,-5,-2)|$. Dunque $dim(ImT) = rgA = 1$. Avrò per il Th. della dimensione che
$dimKerT = dim(R^3)-dim(ImT) = 3-1=2$
Può sembrare una domanda stupida: non so bene come trovare delle equazioni cartesiane per $ImT$.
Vive in $R^2$ e ha dimensione $1$ perciò avremo un'equazione in due incognite (1 parametro libero).
Dovrebbe trattarsi di una retta in $R^2$ per caso?
Non so perché non riesca a capire pur avendo fatto moltissimi esercizi del genere. Se qualcuno avesse voglia di darmi una mano gliene sarei molto grato. Big Thanks in anticipo
In pratica l'esercizio è questo:
Si consideri un’applicazione lineare $T : R^3 \rarr R^2$ tale che:
$T|(1,-1,0)| = |(1,1)|; T|(1,-1,1)|=|(-1,-1)|; T|(-1,0,1)|=|(2,2)|$
i) Spiegare per quale ragione l’applicazione lineare T definita dalle precedenti condizioni è unica.
ii) Determinare la matrice associata a $T$ nelle basi canoniche di $R^3$ e $ R^2$
iii) Determinare poi equazioni cartesiane dell’immagine di $T$ e la dimensione di $kerT$.
I primi due punti li ho fatti. Ho ottenuto che la matrice associata è:
$A = |(-4,-5,-2),(-4,-5,-2)|$. Dunque $dim(ImT) = rgA = 1$. Avrò per il Th. della dimensione che
$dimKerT = dim(R^3)-dim(ImT) = 3-1=2$
Può sembrare una domanda stupida: non so bene come trovare delle equazioni cartesiane per $ImT$.
Vive in $R^2$ e ha dimensione $1$ perciò avremo un'equazione in due incognite (1 parametro libero).
Dovrebbe trattarsi di una retta in $R^2$ per caso?
Non so perché non riesca a capire pur avendo fatto moltissimi esercizi del genere. Se qualcuno avesse voglia di darmi una mano gliene sarei molto grato. Big Thanks in anticipo
Risposte
Chi è una base dell'immagine?
Una volta trovato il vettore che ti genera l'immagine, diventa abbastanza facile scriverlo in forma cartesiana
(piccolo consiglio di style: per scrivere gli insiemi numerici, tipo $RR, NN, ZZ, QQ, CC$ basta raddoppiare la lettera nel codice:
Una volta trovato il vettore che ti genera l'immagine, diventa abbastanza facile scriverlo in forma cartesiana
(piccolo consiglio di style: per scrivere gli insiemi numerici, tipo $RR, NN, ZZ, QQ, CC$ basta raddoppiare la lettera nel codice:
$ RR, NN, ZZ, QQ, CC $)
Si il fatto è che in latex lo scrivo come \R qui non funzionava e alla fine l'ho lasciato così. Perdonate la pigrizia.
Per quanto riguarda il vettore che mi genera l'immagine, non so bene di quale vettore tu stia parlando. Intendi prendere un vettore della matrice associata? Mi sembra impossibile siccome nella matrice associata ho vettori di $RR^3$. Ho pensato di applicare il metodo standard per trovare le equazioni cartesiane prendendo la matrice associata e renderla triangolare tramite EG.
$|(1,-1,2|,a_1),(1,-1,2|,a_2)| \Rightarrow \cdots \rarr -a_1+a_2=0$
Che dovrebbe essere l'equazione della bisettrice del primo e terzo quadrante $y = x$
P.S. Ho notato che ti chiami come un tipo di integrale di cui ci ha parlato il prof di analisi1. Non l'abbiamo affrontato però, sembrava qualcosa di molto complicato hahaha
Per quanto riguarda il vettore che mi genera l'immagine, non so bene di quale vettore tu stia parlando. Intendi prendere un vettore della matrice associata? Mi sembra impossibile siccome nella matrice associata ho vettori di $RR^3$. Ho pensato di applicare il metodo standard per trovare le equazioni cartesiane prendendo la matrice associata e renderla triangolare tramite EG.
$|(1,-1,2|,a_1),(1,-1,2|,a_2)| \Rightarrow \cdots \rarr -a_1+a_2=0$
Che dovrebbe essere l'equazione della bisettrice del primo e terzo quadrante $y = x$
P.S. Ho notato che ti chiami come un tipo di integrale di cui ci ha parlato il prof di analisi1. Non l'abbiamo affrontato però, sembrava qualcosa di molto complicato hahaha
"SteezyMenchi":
Si il fatto è che in latex lo scrivo come \R qui non funzionava e alla fine l'ho lasciato così. Perdonate la pigrizia.
Tranquillo, era giusto per dare un consiglio, poiché anche io avevo lo stesso problema
Per quanto riguarda il vettore che mi genera l'immagine, non so bene di quale vettore tu stia parlando. Intendi prendere un vettore della matrice associata? Mi sembra impossibile siccome nella matrice associata ho vettori di $RR^3$.
Quindi mi stai dicendo che, se io ti do una matrice che rappresenta una certa applicazione lineare, tu non sai trovare una base dell'immagine? Mi sembra molto strana come cosa, soprattutto perché sai ridurre a scala con Gauss...
P.S. Ho notato che ti chiami come un tipo di integrale di cui ci ha parlato il prof di analisi1. Non l'abbiamo affrontato però, sembrava qualcosa di molto complicato hahaha
In realtà non è nulla di così complicato
A mio parere, è molto più complessa le definizione dell'integrale alla Riemann (che è quello che si fa ad analisi 1)
Se ho la matrice associata all'applicazione $T$ rispetto a qualche base posso calcolarne il rango. Avrò quindi che $rgA = n = dim(ImT)$. Da lì mi basta prendere un numero di vettori indipendenti (ovvero le colonne della matrice associata) tale da formare la base.
Quindi siccome la matrice associata in questo caso ha $rg=1$ mi basta prendere uno dei vettori immagine, es $\vec v=(-2,-2)$ e da lì $\rarr |(-2,x),(-2,y)| \rarr |(-2,x),(0,y-x)| \rarr ImT = {(x,y)|y=x}$
Quindi siccome la matrice associata in questo caso ha $rg=1$ mi basta prendere uno dei vettori immagine, es $\vec v=(-2,-2)$ e da lì $\rarr |(-2,x),(-2,y)| \rarr |(-2,x),(0,y-x)| \rarr ImT = {(x,y)|y=x}$
Esattamente, bene
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