Dubbio su quozienti topologici

[Lebesgue]

Ciao a tutti, ho alcuni dubbi su questi quozienti di spazi topologici, in particolare mi basta capire intuitivamente che spazi sono:

1) $RR^2 // S^1$

Questo direi che rimane un $RR^2$, ma non ne sono troppo sicuro... ho il dubbio che possa essere un $RR^2$ tangente ad una sfera $S^2$ nell'origine

2) $RR^2 // \{x^2+y^2\ge1\}$

Questo qui dire che viene proprio la sfera $S^2$

3) $RR^2 // \{x^2+y^2> 1\} $

Con questo invece ho dei problemi... non è sicuro un $S^2$ poiché non sto prendendo il bordo del quoziente, quindi è come se fosse una specie di sfera senza una calotta (?)

[j18eos]

...ma sono collassi\contrazioni sull'insieme indicato a destra?

[Lebesgue]

"j18eos":...ma sono collassi\contrazioni sull'insieme indicato a destra?

Sì, sì esatto

[j18eos]

1) Prova ad eliminare dall'insieme quoziente il punto ottenuto collassando \(\mathbb{S}^1\): l'insieme che ottieni è connesso?

2) A me viene un disco aperto...

3) ...un disco chiuso...

P.S.: io per collasso \(\widetilde{X}\) di \(X\) su \(\emptyset\neq S\subseteq X\) intendo:
\[
\forall x,y\in X,\,x\sim_Sy\iff\begin{cases}
x=y\\
or\\
x,y\in S
\end{cases};\,\widetilde{X}=X_{/\sim_S}.
\]

[otta96]

1)la seconda.
2)giusto.
3)non è un oggetto geometrico non puoi immaginartelo in $RR^3$.

[Lebesgue]

"j18eos":
2) A me viene un disco aperto...

Eh però si dimostra bene che è compatto... come può essere un disco aperto?
Anche a livello omotopico, praticamente prima retraggo tutti i punti con $x^2+y^2>1$ sul bordo, e poi collasso il bordo ad un punto, ed esce una sfera

3) ...un disco chiuso...

Non può venire un disco chiuso, perché il quoziente è palesemente non di Hausdorff:
non riesco a separare il punto-collasso $$ (dove con $S$ intendo l'insieme $S=\{x^2+y^2>1\}$) da un punto $[x]$ con $x\in RR^2$ tale che $x\in \{x^2+y^2=1\}$, perché in $RR^2$ tutti gli aperti che contengono $x$ toccano l'insieme $S$ e quindi anche nel quoziente tutti gli aperti non sono disgiunti

[Lebesgue]

"otta96":1)la seconda.
2)giusto.
3)non è un oggetto geometrico non puoi immaginartelo in $RR^3$.

Perfetto, grazie mille!

[j18eos]

"j18eos":[...]

2) A me viene un disco aperto...

3) ...un disco chiuso...

[...]

Che boiate che ho scritto!

Ci riprovo:

2) viene \(\mathbb{S}^2\);

3) viene un disco chiuso unito a un punto "bizzarro", con una topologia non di Hausdorff (se non vedo male)!

P.S.: ...e ho pure dovuto correggere ('sta mane) daccapo alcuni esami scritti. Speriamo che oggi mi vada meglio!