Dimostrazione con matrice definita positiva

[Angus1956]

Vi lascio il testo in allegato:



Il suggerimento non mi dice molto...

[Quinzio]

Partiamo dal suggerimento

$\sum_(i 0 $

e facciamo ...

$\sum_(i 0 $

$\sum_(i 0 $.

In virtu' del fatto che la matrice e' simmetrica, possiamo scambiare gli indici della seconda sommatoria, ottenendo

$\sum_(ij) a_(ij) (x_i^2 + x_ix_j) > 0 $.

Procediamo riorganizzando i vari addendi

$\sum_(ij) a_(ij) x_i^2 + \sum_(ij) a_(ij) x_ix_j > 0 $

ovvero

$\sum_(i \ne j) a_(ij) x_i^2 + \sum_(i \ne j) a_(ij) x_ix_j > 0 $

$\sum_i \sum_(j, i \ne j) a_(ij) x_i^2 + \sum_(i \ne j) a_(ij) x_ix_j > 0 $

$\sum_i x_i^2 \sum_(j, i \ne j) a_(ij) + \sum_(i \ne j) a_(ij) x_ix_j > 0 $

Il testo del problema ci dice che $a_(ii) > \sum_(i \ne j) a_(ij)$
quindi possiamo scrivere come segue:

$\sum_i x_i^2 a_(ii) + \sum_(i \ne j) a_(ij) x_ix_j > \sum_i x_i^2 \sum_(j, i \ne j) a_(ij) + \sum_(i \ne j) a_(ij) x_ix_j > 0 $

$\sum_i x_i^2 a_(ii) + \sum_(i \ne j) a_(ij) x_ix_j > 0 $

$\sum a_(ij) x_ix_j > 0 $

Quest'ultima espressione (che copio qui: $\sum a_(ij) x_ix_j $)
si puo' scrivere in forma matriciale come:

$\sum a_(ij) x_ix_j = \bb x^T \bb A \bb x > 0$

e altro non e' che il criterio per la matrice $\bb A$ per essere "definita positiva".

[dissonance]

Questo si chiama il "criterio della dominanza diagonale" (? non so in italiano. Diagonal dominance criterion).

Però Andrea, un post così da un utente con tanti messaggi non si può proprio guardare. Intanto, "il suggerimento non dice molto" non è un argomento sufficiente. E poi non puoi essere tanto pigro da non scrivere quelle quattro formule. Foto, screenshot e file esterni sono da evitare, perché periscono e dopo qualche anno i thread diventano illeggibili. Inoltre non appaiono nel motore di ricerca. Queste cose le sai bene.