Isomorfismo tra spazio tangente all'identità e sottogruppi a un parametro
Buon giorno. Nei miei appunti c'è una dimostrazione del fatto che l'applicazione $\phi\mapsto d\phi(t)_0\left(\frac{d}{dr}\right)$
è un isomorfismo tra sottogruppi a un parametro e vettori tangenti all'identità.
In questa dimostrazione, l'iniettività è data per ovvia "perchè ad ogni omomorfismo $\phi$ corrisponde uno e un sro.olo tangente".
Questo punto non mi è chiaro. Perchè non potrebbero esistere due omomorfismi tra loro diversi che all'identità hanno lo stesso vettore tangente?
PS. Se giungessi a conoscere che una se $\phi$ è un omomorfismo, allora il "campo delle velocità" $\dot\phi$ è left-invariante, allora avrei finito, perchè so già che tra campi left-invarianti e vettori tangenti all'identità c'è una bigezione
è un isomorfismo tra sottogruppi a un parametro e vettori tangenti all'identità.
In questa dimostrazione, l'iniettività è data per ovvia "perchè ad ogni omomorfismo $\phi$ corrisponde uno e un sro.olo tangente".
Questo punto non mi è chiaro. Perchè non potrebbero esistere due omomorfismi tra loro diversi che all'identità hanno lo stesso vettore tangente?
PS. Se giungessi a conoscere che una se $\phi$ è un omomorfismo, allora il "campo delle velocità" $\dot\phi$ è left-invariante, allora avrei finito, perchè so già che tra campi left-invarianti e vettori tangenti all'identità c'è una bigezione
Risposte
Perchè non potrebbero esistere due omomorfismi tra loro diversi che all'identità hanno lo stesso vettore tangente?Se sono lisci abbastanza, Cauchy-Lipschitz dice che la soluzione all'equazione differenziale \(d\phi=v\) è unica.
Aspetta, io ho il valore del differenziale solo nell'origine, non lo so punto per punto!
Però ho risolto, se dovesse interessare.
Si dimostra che il campo delle velocità $X_{\phi(t)} =\dot\phi(t)$ è left-invariante, perchè so che $\phi$ è un omomorfismo. Preso infatti un germe $f$
$$\dot\phi(t)(f) = d\phi_t\left(\frac{d}{dr}_{r=t}\right)(f)=\frac{d f\circ\phi}{dr}_{r=t} = \frac{df\circ \phi(t+r)}{dr}_{r=0} = \frac{df\circ \phi\circ L_t}{dr}_{r=0} = d(\phi\circ L_t)_0 \left(\frac{d}{dt}\right) (f) =(*)=d(L_{\phi(t)} \circ \phi)_0\left(\frac{d}{dt}\right)(f) = dL_{\phi(t) } d\phi_0 \left(\frac{d}{dt}\right) (f)= dL_{\phi(t)}\dot\phi(0)(f)$$
dove ho usato in *
$$\phi\circ L_t(s) \mapsto \phi(t+s) = \phi(t)\phi(s) =L_{\phi(t)}\phi(s)$$
e quindi, il differenziale di $\phi$ soddisfa $X_{\phi(t)}=\dot\phi(t) = dL_{\phi(t)} \dot\phi(0)= dL_{\phi(t)} X_{\phi(0)}$
Sappiamo già che spazio tangente all'identità e campi vettoriali left invarianti hanno una corrispondenza uno a uno, quindi ad ogni sottogruppo a un parametro corrisponde un vettore tangente univoco.
Però ho risolto, se dovesse interessare.
Si dimostra che il campo delle velocità $X_{\phi(t)} =\dot\phi(t)$ è left-invariante, perchè so che $\phi$ è un omomorfismo. Preso infatti un germe $f$
$$\dot\phi(t)(f) = d\phi_t\left(\frac{d}{dr}_{r=t}\right)(f)=\frac{d f\circ\phi}{dr}_{r=t} = \frac{df\circ \phi(t+r)}{dr}_{r=0} = \frac{df\circ \phi\circ L_t}{dr}_{r=0} = d(\phi\circ L_t)_0 \left(\frac{d}{dt}\right) (f) =(*)=d(L_{\phi(t)} \circ \phi)_0\left(\frac{d}{dt}\right)(f) = dL_{\phi(t) } d\phi_0 \left(\frac{d}{dt}\right) (f)= dL_{\phi(t)}\dot\phi(0)(f)$$
dove ho usato in *
$$\phi\circ L_t(s) \mapsto \phi(t+s) = \phi(t)\phi(s) =L_{\phi(t)}\phi(s)$$
e quindi, il differenziale di $\phi$ soddisfa $X_{\phi(t)}=\dot\phi(t) = dL_{\phi(t)} \dot\phi(0)= dL_{\phi(t)} X_{\phi(0)}$
Sappiamo già che spazio tangente all'identità e campi vettoriali left invarianti hanno una corrispondenza uno a uno, quindi ad ogni sottogruppo a un parametro corrisponde un vettore tangente univoco.
"newton1372":
In questa dimostrazione, l'iniettività è data per ovvia "perchè ad ogni omomorfismo $\phi$ corrisponde uno e un sro.olo tangente".
Ma questo è proprio il punto più importante! Se si da questo per ovvio allora tutto il teorema è ovvio.
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