Immersioni
Sia $f:X->Y$ una funzione continua, iniettiva, aperta o chiusa tra spazi topologici. Si provi che $f$ è un immersione, cioè la topologia di $X$ coincide con la topologia indotta da $Y$ tramite $f$.
Io non ho capito più che altro cosa intende quando devo mostrare che "la topologia di $X$ coincide con la topologia indotta da $Y$ tramite $f$", devo far vedere che presa $\tau$ la topologia su $X$ e $\tau_f$ la topologia indotta dalla topologia di $Y$ su $f(X)$ si ha che $f(\tau)=\tau_f$, ovvero che se $A$ è un aperto di $X$ allora $f(A)$ è aperto di $f(X)$ e se $B$ aperto di $f(X)$ allora $f^-1(B)$ è aperto di $X$?
Io non ho capito più che altro cosa intende quando devo mostrare che "la topologia di $X$ coincide con la topologia indotta da $Y$ tramite $f$", devo far vedere che presa $\tau$ la topologia su $X$ e $\tau_f$ la topologia indotta dalla topologia di $Y$ su $f(X)$ si ha che $f(\tau)=\tau_f$, ovvero che se $A$ è un aperto di $X$ allora $f(A)$ è aperto di $f(X)$ e se $B$ aperto di $f(X)$ allora $f^-1(B)$ è aperto di $X$?
Risposte
Siano [tex]X[/tex] un insieme, [tex]Y[/tex] uno spazio topologico, [tex]f\in Y^X[/tex] una mappa: la topologia indotta da [tex]f[/tex] su [tex]X[/tex] è la meno fine tra tutte le topologie che rendono [tex]f[/tex] continua, ovvero
Questa topologia ha la seguente proprietà caratteristica: sia [tex]f\colon X\to Y[/tex] una mappa tra spazi topologici dei quali [tex]X[/tex] è dotato della topologia indotta da [tex]f[/tex]: se [tex]Z[/tex] è uno spazio topologico e [tex]g\colon Z\to X[/tex] una mappa allora [tex]g[/tex] è continua se e solo se [tex]f\circ g\colon Z\to Y[/tex] è continua.
[ot]
Ad esempio, siano [tex]X[/tex] uno spazio topologico, [tex]S\subseteq X[/tex] e [tex]\imath_S\colon S\hookrightarrow X[/tex] l'inclusione di [tex]S[/tex] in [tex]X[/tex], la topologia indotta da [tex]\imath_S[/tex] su [tex]S[/tex] è la topologia costituita dagli aperti
al variare degli aperti [tex]U\in\tau_X[/tex] ([tex]\imath_S\vert^S[/tex] è l'identità è per definizione). Quindi la topologia indotta da [tex]\imath_S[/tex] su [tex]S[/tex] è la topologia sottospazio. Prova a specializzare la proprietà caratteristica a questo caso.
Se [tex]X,Y[/tex] sono spazi topologici e [tex]f\colon X\to Y[/tex] è una mappa iniettiva allora la condizione che la topologia su [tex]X[/tex] coincida con quella indotta da [tex]f[/tex] significa che
il che equivale ad affermare che la restrizione di [tex]f[/tex] all'immagine sul codominio è un omeomorfismo (su [tex]f(X)[/tex] hai la topologia sottospazio)
Intuitivamente puoi immaginare che [tex]f(X)[/tex] sia una "copia" di [tex]X[/tex] in [tex]Y[/tex].
Riassumendo, un'immersione topologica è equivalentemente:
[tex]f^{\leftarrow}(\tau_Y):=\{ f^{\leftarrow}(U)\mid U\in \tau_Y\}.[/tex]
Questa topologia ha la seguente proprietà caratteristica: sia [tex]f\colon X\to Y[/tex] una mappa tra spazi topologici dei quali [tex]X[/tex] è dotato della topologia indotta da [tex]f[/tex]: se [tex]Z[/tex] è uno spazio topologico e [tex]g\colon Z\to X[/tex] una mappa allora [tex]g[/tex] è continua se e solo se [tex]f\circ g\colon Z\to Y[/tex] è continua.
[ot]
\begin{tikzcd}
X\arrow[r,"f"] &Y\\
Z\arrow[u,"g"]\arrow[ur,"f\circ g"']&
\end{tikzcd}[/ot]Ad esempio, siano [tex]X[/tex] uno spazio topologico, [tex]S\subseteq X[/tex] e [tex]\imath_S\colon S\hookrightarrow X[/tex] l'inclusione di [tex]S[/tex] in [tex]X[/tex], la topologia indotta da [tex]\imath_S[/tex] su [tex]S[/tex] è la topologia costituita dagli aperti
[tex]{\imath_S}^{\leftarrow}(U) = \imath_S^{\leftarrow}(U\cap\imath_S(S)) = U\cap S[/tex]
al variare degli aperti [tex]U\in\tau_X[/tex] ([tex]\imath_S\vert^S[/tex] è l'identità è per definizione). Quindi la topologia indotta da [tex]\imath_S[/tex] su [tex]S[/tex] è la topologia sottospazio. Prova a specializzare la proprietà caratteristica a questo caso.
Se [tex]X,Y[/tex] sono spazi topologici e [tex]f\colon X\to Y[/tex] è una mappa iniettiva allora la condizione che la topologia su [tex]X[/tex] coincida con quella indotta da [tex]f[/tex] significa che
[tex]A\in\tau_X\text{ se e solo se }A\in f^{\leftarrow}(\tau_Y)[/tex]
il che equivale ad affermare che la restrizione di [tex]f[/tex] all'immagine sul codominio è un omeomorfismo (su [tex]f(X)[/tex] hai la topologia sottospazio)
[tex]f\vert^{f(X)}\colon X\simeq f(X).[/tex]
Intuitivamente puoi immaginare che [tex]f(X)[/tex] sia una "copia" di [tex]X[/tex] in [tex]Y[/tex].
Riassumendo, un'immersione topologica è equivalentemente:
[*:3ezv854j] una mappa continua e iniettiva [tex]f\in Y^X[/tex] per cui la topologia su [tex]X[/tex] coincida con la topologia indotta da [tex]f[/tex] su [tex]X[/tex];[/*:m:3ezv854j]
[*:3ezv854j] una mappa [tex]f\in Y^X[/tex] tale che la restrizione sul codominio all'immagine [tex]f\vert^{f(X)}\colon X\to f(X)[/tex] sia un omeomorfismo.[/*:m:3ezv854j][/list:u:3ezv854j]
Quindi devi dimostrare che se [tex]f\in Y^X[/tex] è una mappa fra due spazi topologici [tex]X[/tex] e [tex]Y[/tex], continua, iniettiva e aperta (oppure chiusa) allora [tex]\tau_X=f^{\leftarrow}(\tau_Y)[/tex], ovvero [tex]A\in\tau_X[/tex] se e solo se [tex]A\in f^{\leftarrow}(\tau_Y)[/tex] o, equivalentemente, che [tex]f[/tex] induce un omeomorfismo sull'immagine nel senso spiegato sopra.
"413":
Un'immersione topologica è equivalentemente:
Una mappa [tex]f\in Y^X[/tex] tale che la restrizione sul codominio all'immagine [tex]f\vert^{f(X)}\colon X\to f(X)[/tex] sia un omeomorfismo.
La seconda parte dell'esercizio mi chiede proprio di dimostrare questa equivalenza (che è semplice perchè se $f$ è un immersione allora necessariamente $f$ è continua, iniettiva e aperta o chiusa, per cui $f:X->f(X)$ è una biiezione, continua e aperta e quindi un omeomorfismo).
Comunque ho capito devo mostrare che \( \displaystyle A\in\tau_X\text{ se e solo se }A\in f^{\leftarrow}(\tau_Y) \)
ho una domanda, un altro esercizio riporta questo:
nell'ultima parte appunto parla di topologia indotta, ma dice che la topologia di sottospazio (credo intenda quella indotta da $\tau_Y$ su $f(X)$) è $f^**\tau_Y$, ma perchè?
"andreadel1988":
nell'ultima parte appunto parla di topologia indotta, ma quindi qua la topologia di sottospazio a quale sottospazio si riferisce? Più che altro perchè se la topologia di sottospazio coincide con $ f^**\tau_Y $ allora è una topologia su $ X $ e non capisco come faccia riferimento a $ f(X) $ che è sottospazio di $ Y $.
Direi che sta commettendo un abuso di linguaggio identificando [tex]f(X)[/tex] con [tex]X[/tex] (che sono omeomorfi mediante [tex]f\vert^{f(X)}[/tex]): nel caso in cui la mappa è un'inclusione questa identificazione è nel senso insiemistico poiché [tex]\imath_S\vert^S=\operatorname{id}_S[/tex] e
[tex]\imath_S\colon S =\mathrel{\mkern-3mu}=\imath_S(S)\overset{\imath_S}{\hookrightarrow} X,[/tex]
in tal caso la topologia sottospazio e la topologia indotta dall'inclusione su [tex]S[/tex] coincidono (la topologia sottospazio si chiama anche topologia indotta).
Nel caso di un'immersione topologica [tex]f\colon X\to Y[/tex], invece, è un'identificazione a meno di omeomorfismi
[tex]f\colon X \overset{\simeq}{\longrightarrow} f(X) \overset{\imath_{f(X)}}{\hookrightarrow} Y,[/tex]
e come noti tu [tex]f^{\leftarrow}(\tau_Y)[/tex] è una topologia su [tex]X[/tex] mentre [tex]\tau_Y\vert_{f(X)} = \imath_{f(X)}^{\leftarrow}(\tau_Y)[/tex] è una topologia su [tex]f(X)[/tex].
Non so se mi sono spiegato...
[quote=413]
Direi che sta commettendo un abuso di linguaggio identificando [tex]f(X)[/tex] con [tex]X[/tex] (che sono omeomorfi mediante [tex]f\vert^{f(X)}[/tex]): nel caso in cui la mappa è un'inclusione questa identificazione è nel senso insiemistico poiché [tex]\imath_S\vert^S=\operatorname{id}_S[/tex] e
in tal caso la topologia sottospazio e la topologia indotta dall'inclusione su [tex]S[/tex] coincidono (la topologia sottospazio si chiama anche topologia indotta).
Nel caso di un'immersione topologica [tex]f\colon X\to Y[/tex], invece, è un'identificazione a meno di omeomorfismi
e come noti tu [tex]f^{\leftarqueste due sono uguali solo nel caso dell'inclusione, ovvero se $SsubeX$ allora la topologia di sottospazio di $S$ è uguale alla topologia indotta dall'inclusione su $S$
Direi che sta commettendo un abuso di linguaggio identificando [tex]f(X)[/tex] con [tex]X[/tex] (che sono omeomorfi mediante [tex]f\vert^{f(X)}[/tex]): nel caso in cui la mappa è un'inclusione questa identificazione è nel senso insiemistico poiché [tex]\imath_S\vert^S=\operatorname{id}_S[/tex] e
[tex]\imath_S\colon S =\mathrel{\mkern-3mu}=\imath_S(S)\overset{\imath_S}{\hookrightarrow} X,[/tex]
in tal caso la topologia sottospazio e la topologia indotta dall'inclusione su [tex]S[/tex] coincidono (la topologia sottospazio si chiama anche topologia indotta).
Nel caso di un'immersione topologica [tex]f\colon X\to Y[/tex], invece, è un'identificazione a meno di omeomorfismi
[tex]f\colon X \overset{\simeq}{\longrightarrow} f(X) \overset{\imath_{f(X)}}{\hookrightarrow} Y,[/tex]
e come noti tu [tex]f^{\leftarqueste due sono uguali solo nel caso dell'inclusione, ovvero se $SsubeX$ allora la topologia di sottospazio di $S$ è uguale alla topologia indotta dall'inclusione su $S$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo