Forma bilineare (domanda)
Ciao,
ho un dubbio sulle forme bilineari di cui sto studiando la teoria.
So che una forma bilineare è definita positiva se $phi(x,x)>=0$ e $=0 <=>x=0$
(ci sono poi quelle definite negavite indefinte ecc che non sto ad elencare ora)
Tuttavia c'è un fatto che non capisco benissimo ed è il seguente:
assumiamo una base di V che indico al solito: $B_V={v_1,...,v_n}$ con la proprietà che $phi(v_i,v_j)=0 <=> i!=j$ e $phi(v_i,v_j)=0 <=> i=j$. Finora non potrei concludere nulla sulla sua definitezza, infatti nessuno mi garantirebbe che per ogni x $phi(x,x)>=0$ e $=0 <=>x=0$ sia rispettato, so solo che per alcuni vettori (quelli della base) vale $phi(v_i,v_i)>0$.
A questo punto il fatto "strano" se io vado a valutare la matrice rappresentativa di $phi$ ho che sarà evidentemente l'indentità di $R^(n,n)$: $I_n$ e questa è sicuramente definita positiva come matrice => anche $phi$ che la induce lo è.
Da qui la domanda, posso quindi concludere quanto segue: se trovo una base per cui la forma bilineare ha la caratteristica di essere nulla per due vettori distinti (della base) e pari a 1 se sono uguali (due vettori della base) allora SICURAMENTE la forma bilineare è definita positiva. Non mi sembrava così ovvio come dicevo all'inizio, però portandomi sulle matrici rappresentative sembra proprio funzionare. E' corretto o sbaglio?
Inoltre, di contro per contronomilane so che se non ho una forma bilineare positiva => non avrò mai una base tale che due vettori della base possano essere pari a 0 quando faccio $phi(v_i,v_j)$ e che $phi(v_i,v_i)=1$. In poche parole non avrò mai possibilità di trovare una base che si comporti in questo modo "rispetto" a $phi$ se essa non è definita positiva.
ho un dubbio sulle forme bilineari di cui sto studiando la teoria.
So che una forma bilineare è definita positiva se $phi(x,x)>=0$ e $=0 <=>x=0$
(ci sono poi quelle definite negavite indefinte ecc che non sto ad elencare ora)
Tuttavia c'è un fatto che non capisco benissimo ed è il seguente:
assumiamo una base di V che indico al solito: $B_V={v_1,...,v_n}$ con la proprietà che $phi(v_i,v_j)=0 <=> i!=j$ e $phi(v_i,v_j)=0 <=> i=j$. Finora non potrei concludere nulla sulla sua definitezza, infatti nessuno mi garantirebbe che per ogni x $phi(x,x)>=0$ e $=0 <=>x=0$ sia rispettato, so solo che per alcuni vettori (quelli della base) vale $phi(v_i,v_i)>0$.
A questo punto il fatto "strano" se io vado a valutare la matrice rappresentativa di $phi$ ho che sarà evidentemente l'indentità di $R^(n,n)$: $I_n$ e questa è sicuramente definita positiva come matrice => anche $phi$ che la induce lo è.
Da qui la domanda, posso quindi concludere quanto segue: se trovo una base per cui la forma bilineare ha la caratteristica di essere nulla per due vettori distinti (della base) e pari a 1 se sono uguali (due vettori della base) allora SICURAMENTE la forma bilineare è definita positiva. Non mi sembrava così ovvio come dicevo all'inizio, però portandomi sulle matrici rappresentative sembra proprio funzionare. E' corretto o sbaglio?
Inoltre, di contro per contronomilane so che se non ho una forma bilineare positiva => non avrò mai una base tale che due vettori della base possano essere pari a 0 quando faccio $phi(v_i,v_j)$ e che $phi(v_i,v_i)=1$. In poche parole non avrò mai possibilità di trovare una base che si comporti in questo modo "rispetto" a $phi$ se essa non è definita positiva.
Risposte
E' vero quello che dici e la dimostrazione è la seguente
Scriviamo un qualsiasi $x=\sum_{i=1}^n a_i v_i$ a questo punto calcoliamo
\[
\begin{aligned}
\phi(x,x)&=\phi\left(\sum_{i=1}^n a_i v_i,x\right)\\
&=\sum_{i=1}^n a_i \phi(v_i,x)\\
&=\sum_{i=1}^n a_i \phi\left(v_i,\sum_{j=1}^n a_j v_j\right)\\
&=\sum_{i=1}^n a_i ^2\phi(v_i,v_i)=\sum_{i=1}^n a_i ^2>0\iff x\neq 0\\
\end{aligned}
\]
dove nel penultimo passaggio ho usato di nuovo la bilinearità, questa volta sulla seconda entrata, ma è sopravvissuto solo $\phi(v_i,v_i)$
Scriviamo un qualsiasi $x=\sum_{i=1}^n a_i v_i$ a questo punto calcoliamo
\[
\begin{aligned}
\phi(x,x)&=\phi\left(\sum_{i=1}^n a_i v_i,x\right)\\
&=\sum_{i=1}^n a_i \phi(v_i,x)\\
&=\sum_{i=1}^n a_i \phi\left(v_i,\sum_{j=1}^n a_j v_j\right)\\
&=\sum_{i=1}^n a_i ^2\phi(v_i,v_i)=\sum_{i=1}^n a_i ^2>0\iff x\neq 0\\
\end{aligned}
\]
dove nel penultimo passaggio ho usato di nuovo la bilinearità, questa volta sulla seconda entrata, ma è sopravvissuto solo $\phi(v_i,v_i)$
Perfetto e per contronominale vale come dicevo:
Inoltre, di contro per contronomilane so che se non ho una forma bilineare positiva => non avrò mai una base tale che due vettori della base possano essere pari a 0 quando faccio ϕ(vi,vj) e che ϕ(vi,vi)=1. In poche parole non avrò mai possibilità di trovare una base che si comporti in questo modo "rispetto" a ϕ se essa non è definita positiva.
Direi che la tua formalizzazione è molto più elegante di quella matriciale cui avevo pensato, la terrò a mente
.
Gracias
Inoltre, di contro per contronomilane so che se non ho una forma bilineare positiva => non avrò mai una base tale che due vettori della base possano essere pari a 0 quando faccio ϕ(vi,vj) e che ϕ(vi,vi)=1. In poche parole non avrò mai possibilità di trovare una base che si comporti in questo modo "rispetto" a ϕ se essa non è definita positiva.
Direi che la tua formalizzazione è molto più elegante di quella matriciale cui avevo pensato, la terrò a mente
.Gracias
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