Pullback e pushforward di una topologia, esempi
1)Esiste una topologia $\tau$ su $RR$ tale che lo spazio topologico $(RR,\tau )$ è compatto e T2?
2)Esiste una topologia $\tau$ su $ZZ$ tale che lo spazio topologico $(ZZ,\tau)$ è compatto e T2?
Sia $f:X->Y$ una funzione e sia $\tau_Y$ una topologia su $Y$ e definiamo il pullback di $\tau_Y$ come $f^**\tau_Y={f^-1(B)|Bin\tau_Y}$. Consideriamo ora invece $\tau_X$ una topologia su $X$ e definiamo il pushforward di $\tau_X$ come $f^**\tau_X={BsubeY|f^-1(B)in\tau_X}$.
Se $f:X->Y$ è biunivoca si dimostra che $f^**\tau_Y$ e $(f^-1)^**\tau_Y$ coincidono su $X$ (stessa cosa per $f^**\tau_X$ e $(f^-1)^**\tau_X$ su $Y$) e si ha che $f$ è un omeomorfismo se $X$ viene dotato di questa topologia e $Y$ viene dotato della topologia $\tau_Y$ ( rispettivamente se $Y$ viene dotato di questa topologia e $X$ viene dotato della topologia $\tau_X$).
Nel nostro caso:
1)Esiste una biiezione $f:RR->[0,1]$ si ha quindi che $f:(RR,f^**\tau_E)->([0,1],\tau_E)$ è un omeomorfismo e siccome $([0,1],\tau_E)$ è compatto e T2 allora lo è anche $(RR,f^**\tau_E)$
2)Esiste una biiezione $f:ZZ->{1/k|kinZZ\\{0}}uu{0}$ si ha quindi che $f:(ZZ,f^**\tau_E)->({1/k|kinZZ\\{0}}uu{0},\tau_E)$ è un omeomorfismo e siccome $({1/k|kinZZ\\{0}}uu{0},\tau_E)$ è compatto e T2 allora lo è anche $(ZZ,f^**\tau_E)$
2)Esiste una topologia $\tau$ su $ZZ$ tale che lo spazio topologico $(ZZ,\tau)$ è compatto e T2?
Sia $f:X->Y$ una funzione e sia $\tau_Y$ una topologia su $Y$ e definiamo il pullback di $\tau_Y$ come $f^**\tau_Y={f^-1(B)|Bin\tau_Y}$. Consideriamo ora invece $\tau_X$ una topologia su $X$ e definiamo il pushforward di $\tau_X$ come $f^**\tau_X={BsubeY|f^-1(B)in\tau_X}$.
Se $f:X->Y$ è biunivoca si dimostra che $f^**\tau_Y$ e $(f^-1)^**\tau_Y$ coincidono su $X$ (stessa cosa per $f^**\tau_X$ e $(f^-1)^**\tau_X$ su $Y$) e si ha che $f$ è un omeomorfismo se $X$ viene dotato di questa topologia e $Y$ viene dotato della topologia $\tau_Y$ ( rispettivamente se $Y$ viene dotato di questa topologia e $X$ viene dotato della topologia $\tau_X$).
Nel nostro caso:
1)Esiste una biiezione $f:RR->[0,1]$ si ha quindi che $f:(RR,f^**\tau_E)->([0,1],\tau_E)$ è un omeomorfismo e siccome $([0,1],\tau_E)$ è compatto e T2 allora lo è anche $(RR,f^**\tau_E)$
2)Esiste una biiezione $f:ZZ->{1/k|kinZZ\\{0}}uu{0}$ si ha quindi che $f:(ZZ,f^**\tau_E)->({1/k|kinZZ\\{0}}uu{0},\tau_E)$ è un omeomorfismo e siccome $({1/k|kinZZ\\{0}}uu{0},\tau_E)$ è compatto e T2 allora lo è anche $(ZZ,f^**\tau_E)$
Risposte
E' chiaro che esiste, in entrambi i casi; ma ne esiste una universale, come hai dimostrato tu stesso https://www.matematicamente.it/forum/vi ... &p=8610354 dimostrare i teoremi e poi non usarli non è saggio.
"megas_archon":
E' chiaro che esiste, in entrambi i casi; ma ne esiste una universale, come hai dimostrato tu stesso https://www.matematicamente.it/forum/vi ... &p=8610354 dimostrare i teoremi e poi non usarli non è saggio.
A me ne ero scordato, grazie aahaaha.
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