Kernel e un dubbio su autospazio
C'e una affermazione di cui non sono sicuro di aver capito se ho trovato una buona dimostrazione:
<=) mi pare facile perché: $ker(f)={x in V| f(x)=0}!={0}$ ma questo è uguale alla definizione di autospazio: $V_lambda={x in V| f(x)=lambdax=0}$ questo potrà essere se e solo se: ${x in V| f(x)=0*x}$ oppure ${x in V| f(vecx)=lambda*vec0}={0}$ ma questa seconda è un assurdo perché per ipotesi è distino come insieme dal solo nullo. Rimane la prima delle due.
Ora, ${x in V| f(x)=0*x}≠{0}$ ci dice che $lambda=0$ è autovalore (proprio poiché non esistendo il solo x=0 avrò almeno un altro x che rispetta $f(x)=0*x$, in altre parole ho (almeno) un x autovettore e di conseguenza lambda è l'autovalore associato).
=>) questa implicazione mi rimane più dubbia, assunta infatti $lambda=0$, ho che il suo autospazio sarà $V_0={x in V| f(x)=0*x}={x in V| f(x)=0}=:ker(f)$.
Al momento non capivo come risolvere il fatto però che $ker(f)!={0}$ e sfogliando gli appunti mi sono accorto che questo potrebbe trovare giustificazione nella definizione che il prof mi ha dato di autospazio:
$V_lambda={x in V| f(x)=lambdax}!={vec0}$[★], in sostanza già nella definizione di autospazio mi dice che non sarà il solo insieme con vettore nullo, ma non capisco perché, non ha tutti i diritti di essere autospazio anche il singleton {0}?
Volevo chiedervi quindi due cose:
1) se la mia dimostrazione funziona nelle due parti che ho esposto (<= & =>)
2) in secondo lugo come risolvere il dubbio sulla seconda implicazione (che mi pare trovare giustificazione
qui [★], ma non capisco perché escluda il singleton il Prof.)
$lambda=0$ autovalore di $f$ $<=> ker(f)!={0}$
<=) mi pare facile perché: $ker(f)={x in V| f(x)=0}!={0}$ ma questo è uguale alla definizione di autospazio: $V_lambda={x in V| f(x)=lambdax=0}$ questo potrà essere se e solo se: ${x in V| f(x)=0*x}$ oppure ${x in V| f(vecx)=lambda*vec0}={0}$ ma questa seconda è un assurdo perché per ipotesi è distino come insieme dal solo nullo. Rimane la prima delle due.
Ora, ${x in V| f(x)=0*x}≠{0}$ ci dice che $lambda=0$ è autovalore (proprio poiché non esistendo il solo x=0 avrò almeno un altro x che rispetta $f(x)=0*x$, in altre parole ho (almeno) un x autovettore e di conseguenza lambda è l'autovalore associato).
=>) questa implicazione mi rimane più dubbia, assunta infatti $lambda=0$, ho che il suo autospazio sarà $V_0={x in V| f(x)=0*x}={x in V| f(x)=0}=:ker(f)$.
Al momento non capivo come risolvere il fatto però che $ker(f)!={0}$ e sfogliando gli appunti mi sono accorto che questo potrebbe trovare giustificazione nella definizione che il prof mi ha dato di autospazio:
$V_lambda={x in V| f(x)=lambdax}!={vec0}$[★], in sostanza già nella definizione di autospazio mi dice che non sarà il solo insieme con vettore nullo, ma non capisco perché, non ha tutti i diritti di essere autospazio anche il singleton {0}?
Volevo chiedervi quindi due cose:
1) se la mia dimostrazione funziona nelle due parti che ho esposto (<= & =>)
2) in secondo lugo come risolvere il dubbio sulla seconda implicazione (che mi pare trovare giustificazione
qui [★], ma non capisco perché escluda il singleton il Prof.)
Risposte
<= Quanti giri di parole... 
Ma credo che sia OK!
=> OK!
Se il vettore nullo fosse considerato come autovettore, allora ogni numero reale sarebbe un autovalore di ogni endomorfismo lineare!
Ma credo che sia OK!=> OK!
Se il vettore nullo fosse considerato come autovettore, allora ogni numero reale sarebbe un autovalore di ogni endomorfismo lineare!
Eh per la prima sì, rileggendolo mi sono accorto che invece di spiegare meglio ho fatto un pasticcio, però almeno l'idea è giusta.
Come potrei rendere in modo migliore "<=", vorrei vedere come formalizzarla al meglio
Per il secondo sono d'accordo sul fatto che lo $vec0$ non sia autovettore, però il punto è che non capisco perché negare che l'autospazio possa essere il singleton ${\vec0}$, tutti gli autospazi hanno lo zero (che come dici giustamente non è autovettore) ma mica mi pongo problemi per questo. Quindi perché non posso avere autospazio con elemento solo nullo? Mica mi è chiaro sai.
Come potrei rendere in modo migliore "<=", vorrei vedere come formalizzarla al meglio
Per il secondo sono d'accordo sul fatto che lo $vec0$ non sia autovettore, però il punto è che non capisco perché negare che l'autospazio possa essere il singleton ${\vec0}$, tutti gli autospazi hanno lo zero (che come dici giustamente non è autovettore) ma mica mi pongo problemi per questo. Quindi perché non posso avere autospazio con elemento solo nullo? Mica mi è chiaro sai.
Sulla freccia => ti potevi fermare quando hai verificato che \(0\) è un autovettore!
Inoltre, l'autospazio è il sottospazio vettoriale generato dagli autovettori di fissato autovalore; e come ho scritto, se \(\displaystyle\underline{0}\) fosse un autovettore allora ogni scalare sarebbe un autovalore!
Inoltre, l'autospazio è il sottospazio vettoriale generato dagli autovettori di fissato autovalore; e come ho scritto, se \(\displaystyle\underline{0}\) fosse un autovettore allora ogni scalare sarebbe un autovalore!
Quindi perché non posso avere autospazio con elemento solo nullo? Mica mi è chiaro sai.E' una delle primissime cose che si mostrano discendere dalla definizione di autospazio: se ci pensi, è ovvio che l'autospazio $V_\lambda$ di un autovalore $\lambda$ ha sempre dimensione \(\ge 1\).
Sulla freccia => ti potevi fermare quando hai verificato che 0 è un autovettore!
Inoltre, l'autospazio è il sottospazio vettoriale generato dagli autovettori di fissato autovalore; e come ho scritto, se 0– fosse un autovettore allora ogni scalare sarebbe un autovalore!
Eh no ma è generato dagli autovettori unito {0}, infatti se non ci fosse lo zero non sarebbe un sottospazio, ma E' un sottospazio. Per quello lo zero è incluso "a forza" in quell'insieme!
Quindi questa giustificazione non mi convince molto sai. E proprio per quello in => devo mostrare che il vettore zero pur potendoci stare non soddisfa la nostra richiesta, da lì il giro di parole.
E' una delle primissime cose che si mostrano discendere dalla definizione di autospazio: se ci pensi, è ovvio che l'autospazio Vλ di un autovalore λ ha sempre dimensione ≥1.
Sì, ma se non viene mostrato ci si pone la domanda e va capita, e io non ho capito perché
, ero qui a dire questo 
.Ad esempio con $lambda=0$ a me pare lecito possa essere il singleton esposto: $V_0={x in V| f(x)=0*x}={x in V| f(x)=0}=:ker(f)$. potrebbe benissimo essere solo {0}
L'autospazio di zero è il nucleo di un endomorfismo lineare \(f : V\to V\) praticamente per coincidenza delle definizioni, ma se \(\lambda\) è un autovalore di $f$, allora \(V_\lambda\) ha sempre dimensione \(\ge 1\), dato che \(V_\lambda := \ker (f-\lambda\cdot\text{id})\) (il quale, per definizione di cosa sia un autovalore, è non banale). Quindi, se zero è un autovalore, \(f\) non può essere iniettiva, e se $f$ non è iniettiva, il suo nucleo, per definizione, è l'autospazio di zero.
Ok, credo di aver afferrato ora, il punto in sostanza dovrebbe essere che: $V_0={x in V| f(x)=0*x}={x in V| f(x)=0}=:ker(f)$ (*), questo è vero, però affermando anche che 0 è autovalore allora per definizione di autovalore esiste x non nullo che rispetti la $f(x)=0*x$, per questo motivo l'insieme:
${x in V| f(x)=0*x}=ker(f)$ [come visto in (*)] non può essere composto dal solo elemento nullo.
Giusto, no?
Ti/Vi ringrazio.
${x in V| f(x)=0*x}=ker(f)$ [come visto in (*)] non può essere composto dal solo elemento nullo.
Giusto, no?
Ti/Vi ringrazio.
"nocciolodeldiscorso":Ma perché: conosci uno sottospazio vettoriale generato da un sistema di vettori non nulli che non contenga il vettore nullo?
[...] Eh no ma è generato dagli autovettori unito {0} [...]
No, infatti è proprio quello che stavo dicendo: il fatto che gli autovettori non fossero nulli non mi sembrava giustificare il fatto che $V_lambda$ non potesse essere il singleton {0}. Perché? Beh perché semplicemente dicevo se io prendo la definizione:
$V_0={x in V| f(x)=0*x}={x in V| f(x)=0}=:ker(f)$ e dalla equazione definente notiamo che che potrebbe anche essere ${0}$ che soddisfa benissimo la caratteristica dell'insieme, il punto cardine del dubbio era dovuto al fatto che $f(x)=0*x$ che definisce il mio insieme non richiedeva che x dovesse essere diverso da zero, anche x=0 soddisfa $f(x)=lambda*x$ e lo zero ne può far parte e anche essere l'unico elemento mi dicevo.
Il puto che (forse) mi sfuggiva era che io affermo $V_0$ essere dato da $lambda=0$ con lambda autovalore, ma se è autovalore allora ESISTONO x non nulli che la verificano.
Cioè in breve: io mi limitavo a guardare: ${x in V| f(x)=0}$ e dicevo beh caspita questo insieme può anche essere solo il vettore nullo, ma non mi ero accorto che affermavo a priori che $lambda=0$ era AUTOVALORE e in quanto tale da vita a $x$ non nulli che stanno in quell'insieme, e quindi quell'insieme è per forza di cose non solo {0} avendo verificato l'esistenza (per definizione di autovalore) di altre x non nulle al suo interno.
Non so se ho chiarito meglio
$V_0={x in V| f(x)=0*x}={x in V| f(x)=0}=:ker(f)$ e dalla equazione definente notiamo che che potrebbe anche essere ${0}$ che soddisfa benissimo la caratteristica dell'insieme, il punto cardine del dubbio era dovuto al fatto che $f(x)=0*x$ che definisce il mio insieme non richiedeva che x dovesse essere diverso da zero, anche x=0 soddisfa $f(x)=lambda*x$ e lo zero ne può far parte e anche essere l'unico elemento mi dicevo.
Il puto che (forse) mi sfuggiva era che io affermo $V_0$ essere dato da $lambda=0$ con lambda autovalore, ma se è autovalore allora ESISTONO x non nulli che la verificano.
Cioè in breve: io mi limitavo a guardare: ${x in V| f(x)=0}$ e dicevo beh caspita questo insieme può anche essere solo il vettore nullo, ma non mi ero accorto che affermavo a priori che $lambda=0$ era AUTOVALORE e in quanto tale da vita a $x$ non nulli che stanno in quell'insieme, e quindi quell'insieme è per forza di cose non solo {0} avendo verificato l'esistenza (per definizione di autovalore) di altre x non nulle al suo interno.
Non so se ho chiarito meglio
...forse ho capìto dov'è il tuo inghippo: l'autospazio relativo a un autovalore \(\displaystyle\lambda\) è il sottospazio vettoriale generato dagli autovettori relativi a \(\displaystyle\lambda\); non è l'insieme degli autovettori relativi a \(\displaystyle\lambda\)!
Sì esatto, chiamando $A$ l'insieme degli autovettori associati a $lambda$ e chiamando $B$ l'autospazio di $lambda$ abbiamo che $B=A uu {0}$.
Per andare sul sicuro, a me è stato definito così: $V_lambda:={vecx∈V∣f(vecx)=lambda⋅vecx}$, quindi nella mia mente si formava l'idea che potesse anche esser formato solo da {0}, perché di fatto $vec0$ rispetta quella equazione e {0} è sottospazio.
Oss: mentre quando definivo gli autovettori e autovalori richiedevo che la x che rispettava $f(vecx)=lambda⋅vecx$ fosse NON nulla è da notare che la stessa equazione $f(vecx)=lambda⋅vecx$ che definisce l'insieme NON ha questa richiesta per la NON NULLITA' di x! x PUO' anche essere nulla. (questo è fondamentale e qui prendeva vita il dubbio).
Il punto però è che l'insieme $V_lambda$ non può essere SOLO zero proprio perché $lambda$ è (abbiamo scelto a priori esserlo) autovalore e in quanto tale richiede che necessariamente ESISTA $vecx!=vec0$, dovrebbe essere questo il motivo per cui $V_lambda:={vecx∈V∣f(vecx)=lambda⋅vecx}!={vec0}$, perché essendo $lambda$ autovalore ho anche x non nulli sempre all'interno di quell'insieme.
Oss: mentre quando definivo gli autovettori e autovalori richiedevo che la x che rispettava $f(vecx)=lambda⋅vecx$ fosse NON nulla è da notare che la stessa equazione $f(vecx)=lambda⋅vecx$ che definisce l'insieme NON ha questa richiesta per la NON NULLITA' di x! x PUO' anche essere nulla. (questo è fondamentale e qui prendeva vita il dubbio).
Il punto però è che l'insieme $V_lambda$ non può essere SOLO zero proprio perché $lambda$ è (abbiamo scelto a priori esserlo) autovalore e in quanto tale richiede che necessariamente ESISTA $vecx!=vec0$, dovrebbe essere questo il motivo per cui $V_lambda:={vecx∈V∣f(vecx)=lambda⋅vecx}!={vec0}$, perché essendo $lambda$ autovalore ho anche x non nulli sempre all'interno di quell'insieme.
Sì esatto.
--
Sì esatto.
Grazie
P.S.:
Comunque, solo per spirito perfezionista
"nocciolodeldiscorso":
<=) mi pare facile perché: $ker(f)={x in V| f(x)=0}!={0}$ ma questo è uguale alla definizione di autospazio: $V_lambda={x in V| f(x)=lambdax=0}$ questo potrà essere se e solo se: ${x in V| f(x)=0*x}$ oppure ${x in V| f(vecx)=lambda*vec0}={0}$ ma questa seconda è un assurdo perché per ipotesi è distino come insieme dal solo nullo. Rimane la prima delle due.
Ora, ${x in V| f(x)=0*x}≠{0}$ ci dice che $lambda=0$ è autovalore
OSS: (proprio poiché non esistendo il solo x=0 avrò almeno un altro x che rispetta $f(x)=0*x$, in altre parole ho (almeno) un x autovettore e di conseguenza lambda è l'autovalore associato).
Sinceramente non ho ben capito come semplificare questo ragionamento, ci ho ripensato sopra ma non riesco a renderlo in modo meno arzigogolato. E non ho capito benissimo il consiglio di j18eos. Siccome c'è un (A) o (B) mi sembra utile spiegare perché (B) non si verifica. Perché sbaglio?
Va bene, è solo che è scritto malissimo (ci sono frasi che non finiscono e formule che non hanno senso). Inoltre scrivi troppe cose per dimostrare una cosa che in ultima analisi è del tutto ovvia.
Ok forse per cercare di far meglio ho fatto peggio. A questo punto forse scriverei:
$ker(f)={x in V| f(x)=0}={x in V| f(x)=lambdax=0}=V_0$ se e solo se (${x in V| f(x)=0*x}$ oppure ${x in V| f(vecx)=lambda*vec0}={0}$), Tuttavia $ker(f)!={0}$, quindi ${x in V| f(vecx)=lambda*vec0}={0}$ non si ha mai perciò vale: ${x in V| f(x)=0*x}$, quindi $lambda=0$ è autovalore cvd.
Non saprei come renderla meglio, però ormai ne sono curioso. Se questa non fosse comunque valida, come faresti tu?
$ker(f)={x in V| f(x)=0}={x in V| f(x)=lambdax=0}=V_0$ se e solo se (${x in V| f(x)=0*x}$ oppure ${x in V| f(vecx)=lambda*vec0}={0}$), Tuttavia $ker(f)!={0}$, quindi ${x in V| f(vecx)=lambda*vec0}={0}$ non si ha mai perciò vale: ${x in V| f(x)=0*x}$, quindi $lambda=0$ è autovalore cvd.
Non saprei come renderla meglio, però ormai ne sono curioso. Se questa non fosse comunque valida, come faresti tu?
Scusa ma non si capisce niente di quanto scrivi.
Se $ker(f)$ è diverso da ${0}$ allora esiste un vettore non nullo $v$ tale che $f(v)=0$. Segue che $v$ è autovettore di $f$ con autovalore $0$. Quindi $0$ è autovalore.
Se $ker(f)$ è diverso da ${0}$ allora esiste un vettore non nullo $v$ tale che $f(v)=0$. Segue che $v$ è autovettore di $f$ con autovalore $0$. Quindi $0$ è autovalore.
Ho capito, perché la mia idea era semplicemente scrivere le due definizioni di kernel e autospazio e mostrare che sussisteva una certa uguaglianza in virtù del fatto che: una è $f(x)=0$ l'altra $f(x)=λx$, quindi dovendo sussistere $f(x)=λx=0$ per l'annullamento del prodotto avevo che $lambda*x=0 <=> x=0 or lambda=0$, ma $x=0$ non poteva esserci proprio perché $ker(f)!=0$.
Mi sembrava comunque un ragionamento valido, sebbene abbia capito il tuo.
Mi sembrava comunque un ragionamento valido, sebbene abbia capito il tuo.
Ti faccio un'analisi dettagliata. Spero che ti aiuti a capire che ti devi spiegare meglio quando scrivi.
Ora tornando a noi, il tuo RHS è il seguente:
(${x in V| f(x)=0*x}$ oppure ${x in V| f(vecx)=lambda*vec0}={0}$).
Qui ci sono due problemi, il primo (più innocente) è che non si sa chi sia $lambda$, ma non importa. Il problema grave è che questa che ho riportato non è una frase che ha senso in italiano. Cioè tu hai due insiemi (due insiemi!) $A$ e $B$ e affermi una cosa tipo "$A$ oppure $B={0}$". Che senso ha? $A$ è un insieme, non è un asserto.
Spero che questo ti sia d'aiuto perché tu capisca che in matematica (come in qualsiasi altra disciplina) le frasi che scrivi devono avere senso compiuto, la costruzione grammaticale (oltre che quella matematica) deve avere senso, altrimenti non si capisce niente.
"nocciolodeldiscorso":Quello che hai scritto a sinistra è la definizione di nucleo, stai dicendo che il nucleo è uguale a $V_0$ se e solo se RHS, dove RHS è quello che hai scritto a destra. Tra poco commento su RHS, ma prima ti chiedo: cos'è $V_0$? Se la risposta è "beh ovviamente è l'autospazio associato a $0$" questo non ha senso perché sei nel mezzo della dimostrazione del fatto che $0$ è un autovalore e il concetto di autospazio associato a un certo $lambda$ ha senso solo se $lambda$ è un autovalore. Ma tu ancora non sai che $0$ è autovalore. Capisci che non ha senso? Stabilito che non ha senso, cosa intendi quindi quando scrivi $V_0$? Se intendi $V_0 = {x in V\ |\ f(x)=0}$ allora è uguale a $ker(f)$ per motivi ovvi, ma tu stai trattando l'uguaglianza $ker(f)=V_0$ come non ovvia.
$ker(f)={x in V| f(x)=0}={x in V| f(x)=lambdax=0}=V_0$ se e solo se (${x in V| f(x)=0*x}$ oppure ${x in V| f(vecx)=lambda*vec0}={0}$),
Ora tornando a noi, il tuo RHS è il seguente:
(${x in V| f(x)=0*x}$ oppure ${x in V| f(vecx)=lambda*vec0}={0}$).
Qui ci sono due problemi, il primo (più innocente) è che non si sa chi sia $lambda$, ma non importa. Il problema grave è che questa che ho riportato non è una frase che ha senso in italiano. Cioè tu hai due insiemi (due insiemi!) $A$ e $B$ e affermi una cosa tipo "$A$ oppure $B={0}$". Che senso ha? $A$ è un insieme, non è un asserto.
Tuttavia $ker(f)!={0}$, quindi ${x in V| f(vecx)=lambda*vec0}={0}$ non si ha mai perciò vale: ${x in V| f(x)=0*x}$, quindi $lambda=0$ è autovalore cvd.Anche qui, dici una cosa del tipo "perciò vale $A$" dove $A$ è un insieme, non è un asserto.
Spero che questo ti sia d'aiuto perché tu capisca che in matematica (come in qualsiasi altra disciplina) le frasi che scrivi devono avere senso compiuto, la costruzione grammaticale (oltre che quella matematica) deve avere senso, altrimenti non si capisce niente.
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