Compattezza numerabile e paracompatezza implicano compattezza
Thm: Sia X uno spazio numerabilmente compatto e paracompatto allora X è compatto.
Salve a tutti, non riesco a dimostrare questo teorema. Per numerabilmente compatto intendo che per ogni sottoricoprimento numerabile di X esiste un sottoricoprimento finito di X.
Salve a tutti, non riesco a dimostrare questo teorema. Per numerabilmente compatto intendo che per ogni sottoricoprimento numerabile di X esiste un sottoricoprimento finito di X.
Risposte
Puoi passare tramite la dimostrazione del fatto che ogni ricoprimento puntualmente finito (come localmente finito con la differenza che ogni punto deve stare in un numero finito di insiemi del sottoricoprimento) di uno spazio ammette un sottoricoprimento irriducibile, cioè uno che se gli togli un insieme non è più un sottoricoprimento. A questo punto uno spazio paracompatto è anche metacompatto (stessa definizione di paracompatto solo con puntualmente finito invece che localmente finito), quindi ogni ricoprimento ha un raffinamento puntualmente finito, che ha un sottoricoprimento irriducibile, che devi dimostrare essere finito nelle ipotesi del teorema.
Come è andata a finire? Risolto?
Si ho risolto. Tuttavia ho fatto in un modo diverso da quanto da se suggerito.
Ho introdotto prima il seguente lemma:
Lemma(1): Sia $X$ uno spazio topologico numerabilmente compatto, Allora ogni famiglia di sottoinsiemi non vuoti localmente finiti è finita.
Proof: Supponiamo per assurdo che $\mathfrak{A}$ sia una famiglia infinita di sottoinsiemi non vuoti localmente finita.
Osserviamo in primo luogo che ogni sottofamiglia di $\mathfrak{A}$ è ancora localmente finita.
Dunque senza perdità di generalità, possiamo assumere che $\mathfrak{A}$ sia numerabile, ovvero $\mathfrak{A} = \{ A_n | n \in \mathbb{N}\}$.
Definiamo $F_n = \bigcup_{k \geq n} \overline{A}_k$.
C'è un lemma che mi assicura che F_n sia chiuso $\forall n$, (lemma 7.11, Marco Manetti, 'Topologia').
Inoltre per costruzione si ha che: $F_0 \supset F_1 \supset F_2 \supset \...$
Poiché $\mathfrak{A}$ è localmente compatto è anche vero che $\forall x \in X$ esiste un numero finito di elementi di $\mathfrak{A}$ che contengono $x$ (direttamente dalla definizione di localmente compatto).
Ma allora è chiaro che $\bigcup_{n \in \mathbb{N}}F_n = \emptyset$, infatti se per assurdo $y \in \bigcup_{n \in \mathbb{N}}F_n$ allora $y$ appartiene a infiniti elementi di $\mathfrak{A}$, assurdo per la locale compattezza.
Ma allora usando De Moivre arriviamo a $X= \bigcup_{n \in \mathbb{N}}(X-F_n)$ con $(X-F_n)$ aperto e $X-F_0 \subset X-F_1 \subset X-F_2 \subset \...$
Per ipotesi di compattezza numerabile posso estrarre un sottoricoprimento finito: $\{(X-F_n) | n \in A \subset \mathbb{N} \}$.
Poiché è finito si ha che esiste $k=\text{max}\{n \in A\}$.
Ma allora $X=\bigcup_{n \in A} (X-F_n) = X-F_k$
Ma allora $F_k = \emptyset$, che è assurdo per ipotesi di $A_k$ non vuoti. QED
Dunque come Corollario
Corollario(1): $X$ Numerabilmente compatto e paracompatto allora $X$ compatto.
Proof: Preso un qualunque ricoprimento di $X$, per paracompattezza esiste un raffinamento localmente finito. Per la numerabile compattezza posso usare Lemma(1), quindi tale raffinamento è finito.
Dunque ho dimostrato che ogni ricoprimento ammette un raffinamento finito, ma allora ho fatto:
Sia $\{ V_j | j \in J\}$ il ricoprimento e $\{ U_i | i \in [1, n]\}$ il raffinamento finito, per definizione
$\forall i \in [1, n] \, \exists j_i : U_i \subset V_{j_{i}}$
Ma allora $\{ V_{j_{i}} | i \in [1, n]\}$ è un sottoricoprimento finito. QED
Ho introdotto prima il seguente lemma:
Lemma(1): Sia $X$ uno spazio topologico numerabilmente compatto, Allora ogni famiglia di sottoinsiemi non vuoti localmente finiti è finita.
Proof: Supponiamo per assurdo che $\mathfrak{A}$ sia una famiglia infinita di sottoinsiemi non vuoti localmente finita.
Osserviamo in primo luogo che ogni sottofamiglia di $\mathfrak{A}$ è ancora localmente finita.
Dunque senza perdità di generalità, possiamo assumere che $\mathfrak{A}$ sia numerabile, ovvero $\mathfrak{A} = \{ A_n | n \in \mathbb{N}\}$.
Definiamo $F_n = \bigcup_{k \geq n} \overline{A}_k$.
C'è un lemma che mi assicura che F_n sia chiuso $\forall n$, (lemma 7.11, Marco Manetti, 'Topologia').
Inoltre per costruzione si ha che: $F_0 \supset F_1 \supset F_2 \supset \...$
Poiché $\mathfrak{A}$ è localmente compatto è anche vero che $\forall x \in X$ esiste un numero finito di elementi di $\mathfrak{A}$ che contengono $x$ (direttamente dalla definizione di localmente compatto).
Ma allora è chiaro che $\bigcup_{n \in \mathbb{N}}F_n = \emptyset$, infatti se per assurdo $y \in \bigcup_{n \in \mathbb{N}}F_n$ allora $y$ appartiene a infiniti elementi di $\mathfrak{A}$, assurdo per la locale compattezza.
Ma allora usando De Moivre arriviamo a $X= \bigcup_{n \in \mathbb{N}}(X-F_n)$ con $(X-F_n)$ aperto e $X-F_0 \subset X-F_1 \subset X-F_2 \subset \...$
Per ipotesi di compattezza numerabile posso estrarre un sottoricoprimento finito: $\{(X-F_n) | n \in A \subset \mathbb{N} \}$.
Poiché è finito si ha che esiste $k=\text{max}\{n \in A\}$.
Ma allora $X=\bigcup_{n \in A} (X-F_n) = X-F_k$
Ma allora $F_k = \emptyset$, che è assurdo per ipotesi di $A_k$ non vuoti. QED
Dunque come Corollario
Corollario(1): $X$ Numerabilmente compatto e paracompatto allora $X$ compatto.
Proof: Preso un qualunque ricoprimento di $X$, per paracompattezza esiste un raffinamento localmente finito. Per la numerabile compattezza posso usare Lemma(1), quindi tale raffinamento è finito.
Dunque ho dimostrato che ogni ricoprimento ammette un raffinamento finito, ma allora ho fatto:
Sia $\{ V_j | j \in J\}$ il ricoprimento e $\{ U_i | i \in [1, n]\}$ il raffinamento finito, per definizione
$\forall i \in [1, n] \, \exists j_i : U_i \subset V_{j_{i}}$
Ma allora $\{ V_{j_{i}} | i \in [1, n]\}$ è un sottoricoprimento finito. QED
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