Appartenenza ad un sistema di generatori.

[BRN1]

Ciao a tutti,
sono alle prese con questo esercizio dove faccio fatica ad interpretarne i risultati

Nello spazio vettoriale $K^4$, considerare i vettori:

$u_1=((1),(-1),(1),(1)); u_2=((0),(0),(1),(0)); u_3=((0),(alpha),(-1),(0)); w=((k^2),(0),(0),(-1))$

con $k, alpha in K$.
1) Nel caso $K=RR$, determinare gli eventuali valori di $alpha$ e $k$ per cui $w in $.
2) Nel caso $K=CC$, determinare gli eventuali valori di $alpha$ e $k$ per cui $w in $.

Verifico per quali valori di $alpha$ i vettori $u_1, u_2, u_3$ sonio linearmente indipendenti:

$((1,0,0),(-1,0,alpha),(1,1,-1),(1,0,0)) rArr ((1,0,0),(0,1,-1),(0,0,alpha),(0,0,0))$

Per $alpha=0$ solo $u_1$ e $u_2$ sono linearmente indipendenti.
Per $alpha!= 0$ i tre vettori sono linearmente indipendenti.

Nel caso $alpha!= 0$

$det((1,0,0,k^2),(-1,0,alpha,0),(1,1,-1,0),(1,0,0,-1))=alpha k^2+alpha=0$

e se considero $K=RR$ ottengo che $w$ non appartiene al sistema di generatori.
al contrario se $K=CC$, ottengo $k=i$ e quindi cerco per quali $a,b,c$ posso scrivere $w$ combinazione lineare di $u_1, u_2, u_3$:

$((1,0,0,-1),(-1,0,alpha,0),(1,1,-1,0),(1,0,0,-1)) rArr ((1,0,0,-1),(0,1,-1,1),(0,0,alpha,-1),(0,0,0,0))$

da cui, mettendo a sistema, ottengo $a=-1, b=(alpha+1)/alpha, c=-1/alpha$ e quindi $w$ appartiene al sistema di generatori dato.

nel caso $alpha=0$:

$det((1,0,0,k^2),(-1,0,0,0),(1,1,-1,0),(1,0,0,-1))=0$

e qui mi perdo via un po'...

Cosa potete dirmi?

[Bokonon]

"BRN":Cosa potete dirmi?

Ma non hai già stabilito che alpha deve essere diverso da zero?
Questo vale sia alpha reale che complesso.
Quindi puoi escludere $u_3$ dalla terna se vuoi controllare che w sia comb. lineare degli altri 2.
$u_3$ non aggiungerebbe nulla alla terna.

[BRN1]

Ok, quindi l'esercizio si potrebbe considerare già finito. Però non mi tornano i conti.

Se controllo che i parametri trovati siano corretti, ottengo:

$-1((1),(-1),(1),(1))+(alpha+1)/alpha((0),(0),(1),(0))=((-1),(1),(1/alpha),(-1))$

[Bokonon]

"BRN":Ok, quindi l'esercizio si potrebbe considerare già finito. Però non mi tornano i conti.

Se controllo che i parametri trovati siano corretti, ottengo:

$-1((1),(-1),(1),(1))+(alpha+1)/alpha((0),(0),(1),(0))=((-1),(1),(1/alpha),(-1))$

Giuro che non ho voglia di fare l'esercizio.
Ma la logica è semplice. Ed come hai proceduto tu in linea generale.
$u_1$ e $u_2$ sono chiaramente indipendenti e puoi dimostrarlo in millanta modi.
Hai preso la matrice ocmpleta e visto sostanzialmente per quale valore di alpha il suo determinante è diverso da 0 (sono andato ad occhio ma giurerei che il vincolo che hai posto è corretto...alpha deve essere diverso da zero). Quindi ci sono due scenari:
a) $u_3$ indipendente e fai vedere direttamente per quali valori di k il vettore w è comb. lineare nel piano complesso (e da la trovi anche la soluzione reale...se esistono dei reali), quindi analizzi le comb lineari della base per ottenere w e derivi i valori che può assumere k in campo complesso...e quindi anche le sol. in campo reale
b) $u_3$ è dipendente per alpha uguale a zero quindi analizzi se w possa mai essere comb.lineare degli altri due...cosa impossibile perchè basta guardare la seconda componente di quel vettore senza nemmeno sbattersi con le altre..visto che è impossibile ottenere una comb che sia y=0 usando entrambi i vettori oppure avere un valore diverso da zero per la componente x di w usando solo $u_2$)

Insomma usa direttamente il caso complesso. Se ci sono soluzioni complesse allora non esistono quelle reali, no?

P.S. Ti avevo la soluzione semplice (senza dover fare tanti calcoli) anche all'esercizio precedente...ma mi sa che ti era sfuggita