Dubbio su funzionali convessi
Salve a tutti,
sto studiando sul "Theory of linear operator in Hilbert Space" di Akhiezer e Glazman per il mio lavoro di ricerca. Ho un problema con il teorema:
se un funzionale convesso è semicontinuo inferiormente, allora il funzionale è limitato.
Infatti nella dimostrazione si dice (o mi pare di capire) che se per assurdo il funzionale p(h) non è limitato nella sfera unitaria, allora non è limitato in tutto lo spazio. Però uno non può estendere l'intorno e far in modo che il funzionale diventi limitato?
Inoltre non capisco perché questo teorema si può formulare anche:"se un funzionale convesso è semicontinuo inferiormente allora è continuo.
Grazie mille in anticipo e buona giornata
sto studiando sul "Theory of linear operator in Hilbert Space" di Akhiezer e Glazman per il mio lavoro di ricerca. Ho un problema con il teorema:
se un funzionale convesso è semicontinuo inferiormente, allora il funzionale è limitato.
Infatti nella dimostrazione si dice (o mi pare di capire) che se per assurdo il funzionale p(h) non è limitato nella sfera unitaria, allora non è limitato in tutto lo spazio. Però uno non può estendere l'intorno e far in modo che il funzionale diventi limitato?
Inoltre non capisco perché questo teorema si può formulare anche:"se un funzionale convesso è semicontinuo inferiormente allora è continuo.
Grazie mille in anticipo e buona giornata
Risposte
Ma no, sicuramente hai letto male o interpretato male. La funzione \(f(x)=x^2,\ x\in\mathbb R\) è continua, convessa e non è limitata.
P.S.: Il problema è sicuramente nell'interpretazione del termine "limitato". Dovresti spiegare cosa intendi.
P.S.: Il problema è sicuramente nell'interpretazione del termine "limitato". Dovresti spiegare cosa intendi.
Innanzi tutto, grazie della risposta celere! Ti riporto il testo preciso:
LEMMA: If a convex functional $p(h)$ is lower semicontinuous, then the convex functional is bounded, i.e., there exists $M>0$ such that $p(h)<=M ||h||$ for each $h \in H$.
Proof: First, we prove that if the functional is not bounded in the unit sphere ($||h||<1$), then it will not bounded in the sphere $S(\rho, g)$ with center $g\in H$ and radius $\rho>0$, where $g$ and $\rho$ are arbitrary.
Sinceramente non comprendo il senso. Grazie in anticipo!
LEMMA: If a convex functional $p(h)$ is lower semicontinuous, then the convex functional is bounded, i.e., there exists $M>0$ such that $p(h)<=M ||h||$ for each $h \in H$.
Proof: First, we prove that if the functional is not bounded in the unit sphere ($||h||<1$), then it will not bounded in the sphere $S(\rho, g)$ with center $g\in H$ and radius $\rho>0$, where $g$ and $\rho$ are arbitrary.
Sinceramente non comprendo il senso. Grazie in anticipo!
Anche qua, bisogna vedere che intende con "convex", perché a volte questi libri di analisi funzionale usano una vecchia terminologia. Sicuramente intende che \(p(x+y)\le p(x)+p(y)\) e che \(p(\lambda x)=|\lambda|p(x)\). Per favore controlla la definizione
Sì, confermo. Inoltre il funzionale convesso, che per definizione è reale, $p(h)$ è semicontinuo inferiormente se per ogni $h_0 \in H$ e per ogni $\epsilon >0$ esiste $\delta >0$ tale che $p(h)-p(h_0)<-\epsilon$ per $||h-h_0||<\delta$.
Conosci la dimostrazione del fatto che un funzionale lineare è continuo se e solo se è limitato (nel senso che \(|f(x)|\le C\|x\|\) per ogni \(x\))? Qui ne sta facendo la generalizzazione ai funzionali "convessi", come dice lui (occhio che in genere la gente pensa ad un'altra cosa quando dici "funzione convessa").
In realtà ho dimostrato che se un funzionale è omogeneo, additivo e continuo allora è anche limitato. Non sapevo valesse la doppia implicazione. Sto usando questo libro perché è il più vicino al linguaggio di Meccanica Quantistica che ho studiato a Chimica.
L'altra implicazione è più facile, se un funzionale convesso (nel senso del libro) è limitato (nel senso del mio post precedente), allora per ogni \(x, y\in H\) (\(H\)=spazio di Hilbert) si ha
\[
|p(x)-p(y)|\le p(x-y)\le C\|x-y\| ,\]
quindi \(p\) è una funzione Lipschitziana e in particolare è una funzione continua. Se il funzionale è lineare, a maggior ragione è convesso, quindi stessa conclusione.
Comunque, non è che queste cose siano proprio fondamentali. Quanto al libro, è famoso, continua pure la lettura senza però intestardirti troppo su questi dettagli (IMHO).
\[
|p(x)-p(y)|\le p(x-y)\le C\|x-y\| ,\]
quindi \(p\) è una funzione Lipschitziana e in particolare è una funzione continua. Se il funzionale è lineare, a maggior ragione è convesso, quindi stessa conclusione.
Comunque, non è che queste cose siano proprio fondamentali. Quanto al libro, è famoso, continua pure la lettura senza però intestardirti troppo su questi dettagli (IMHO).
Sei stato davvero gentile! Grazie e Ad maiora!
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