Come mai la derivata di una curva non è perpendicolare ad essa?

[wattbatt]

Io sapevo che la derivata di un vettore è sempre perpendicolare al vettore stesso, però oggi mi è venuto in mente un esempio:

Sia la retta $y=1$,
la parametrizzo come $\vec r (t)=t\vec i +1\vec j$ cioè il vettore $(t,1)$ e la sua derivata è sempre il vettore $(1,0)$

Il vettore $\vec r(t)$ parte dall'origine e punta la curva, mentre $\vec r'(t)$ è il vettore tangente alla curva; però se per esempio li guardo nel grafico nel punto (1,1) non sono mica perpendicolari, come mai?

[Studente Anonimo]

"wattbatt":
Io sapevo che la derivata di un vettore è sempre perpendicolare al vettore stesso ...

Se così fosse, in fisica, l'accelerazione tangenziale sarebbe sempre nulla. Insomma, un'assurdità. Ad ogni modo, è la derivata di un vettore, avente modulo costante, ad essere sempre perpendicolare al vettore medesimo.

[gugo82]

"wattbatt":Io sapevo che la derivata di un [strike]vettore[/strike] versore è sempre perpendicolare al [strike]vettore[/strike] versore stesso

Ecco perché...

E come ha già osservato il Sergente, in generale ciò vale per vettori di modulo costante[nota]Come al solito, si fa l'ipotesi di comodo $mathbf(v)(t)$ di classe $C^1$ (se non $C^oo$) nell'intervallo in cui è definita.[/nota]: infatti, se $|mathbf(v)(t)| = "costante"$, allora anche $mathbf(v)(t) * mathbf(v)(t) = |mathbf(v)(t)|^2 = "costante"$ e dunque $2 dot(mathbf(v))(t) * mathbf(v)(t) = ("d")/("d"t)[mathbf(v)(t) * mathbf(v)(t)] = 0$ per ogni $t$ nell'intervallo che interessa; perciò $dot(mathbf(v))(t) \bot mathbf(v)(t)$.