A quadratic and its derivative

[axpgn]

Describe a real quadratic function $f$ such that the graph of its derivative $f'$ is tangent to the graph of $f$.



Cordialmente, Alex

[megas_archon]

"axpgn":Describe a real quadratic function $f$ such that the graph of its derivative $f'$ is tangent to the graph of $f$.



Cordialmente, Alex

Bisogna che \(f(x)=ax^2+bx+c\) sia tale che \(f(x_0)=f'(x_0)\) per qualche $x_0$, cosicché i grafici delle due funzioni si intersechino, in un punto in cui lo fanno con la stessa tangente, quindi \(f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) = f'(x_0)+f''(x_0)(x-x_0)\) devono essere la stessa retta, si tratta quindi di risolvere il sistema\[\begin{cases}f(x_0)=f'(x_0)\\f'(x_0)=f''(x_0)\end{cases}\] che non è che abbia molte soluzioni...

[Quinzio]

Una funzione quadratica (normalizzata, senza perdere di generalita') $$f(x)= y=x^2+bx+c$$
la cui derivata e' $$f'(x)= y= 2x + b$$
sottraiamo m.a.m. le due equazioni $$x^2 + (b-2)x + c - b = 0$$
otteniamo un'altra eq. quadratica. Se il punto di intersezione deve essere unico, il discriminante deve essere nullo.$$\Delta = (b-2)^2 - 4(c-b) = 0$$
$$\Delta = b^2 - 4c + 4 = 0$$
Da cui $$c = 1 + \frac{b^2}{4}$$
e infine si ottiene $$f(x)= x^2+bx+1 + \frac{b^2}{4}$$

[axpgn]

@megas_archon
Scusami ma non ho capito cosa devo trovare ... risolvendo quel sistema (sempre che abbia capito cosa intendi per risolvere) non ottengo quanto richiesto ...

@Quinzio
Quello è un caso particolare, non generale ...

[Quinzio]

Non ho capito, in che senso e' un caso particolare ?
Manca il coefficiente di \(x^2\), ma e' facile aggiungerlo.

$$f(x)= ax^2+abx+a + \frac{ab^2}{4}$$

[axpgn]

A posteriori è facile, a priori non è detto
Ed infatti il tuo primo è un caso particolare di quella generale

[axpgn]

La mia versione è $f(x)=ax^2+bx+a+b^2/(4a)$

Se $b=0$ abbiamo $f(x)=ax^2+a$


La descrizione data dal prof che l'ha ideata è: le parti immaginarie delle sue radici sono $1$ e $-1$

[giammaria2]

La mia soluzione è la stessa di megas_archon, a parte che l'ascissa del punto di tangenza è indicata con $u$ e non con $x_0$.

Preferisco inoltre scrivere la funzione nella forma
$f(x)=a(x-u)^2+b(x-u)+c$
da cui ricavo $f'(x)=2a(x-u)+b$ e $f''(x)=2a$.
Poiché nel punto di tangenza si ha la stessa ordinata e la stessa pendenza, deve essere
${(f(u)=f'(u)),(f'(u)=f''(u)):}->{(c=b),(b=2a):}->c=b=2a$
Ho quindi il risultato
$f(x)=a[(x-u)^2+2(x-u)+2]$

[axpgn]

Però non capisco una cosa ...

L'espressione mia (come quella di Quinzio) della generica funzione quadratica che risponde alla richiesta è più generale (più "semplice") rispetto a quella indicata da voi, quindi mi chiedo "cosa c'è di sbagliato nella mia?"

[giammaria2]

Non mi pare che nella tua soluzione ci sia qualcosa di sbagliato; è solo diversa. Non ho fatto i calcoli, ma puoi farli tu; tieni presente che le mie $b,c$ hanno un significato diverso dalle tue.

[axpgn]

Quello che non capisco è che la mia mi pare essere molto più generale, oserei dire banale, mentre nelle vostre la funzione sembra dipendere da un valore ($x_0, u$).
Non è così?

[giammaria2]

Anche la tua dipende da un valore, cioè da $b$: c'è la stessa generalità.

[axpgn]

No, perché? Qualsiasi $a$ e $b$ vanno bene (sottinteso $a!=0$)

[giammaria2]

E vanno bene qualsiasi $a$ e $u$. Come facilmente controllabile, si ha $b=2a(1-u)$ e quindi, fissato $a!=0$, si ha una corrispondenza biunuvoca fra $b.u$.

[axpgn]

E allora perché non scriverla nella forma più "semplice"?
E perché dire che dipende $b$ se qualsiasi numero va bene? Voglio dire è ovvio che $f(x)=a^2x+bx+c$ dipende da $a, b, c$ ...

[Quinzio]

"axpgn":E allora perché non scriverla nella forma più "semplice"?
E perché dire che dipende $b$ se qualsiasi numero va bene? Voglio dire è ovvio che $f(x)=a^2x+bx+c$ dipende da $a, b, c$ ...

Ho letto lo scambio di battute tra te e Gianmaria, ma non riesco a capire in cosa consistono i tuoi dubbi.
L'unica cosa un po' "strana" e' che l'equazione di Gianmaria parte da 4 parametri invece che 3, ma anche la sua eq. in realta' dipende da 3 parametri.

[axpgn]

No, non è questione di dubbi, vorrei solo capire se c'è qualcosa di più profondo di una "semplice" differenza "estetica" tra i due modi di procedere ...