Batterio

[axpgn]

Un microbo o si divide esattamente in due perfette copie di sé stesso oppure si disintegra.

Se la probabilità che si divida è $p$, qual è la probabilità che un microbo produca una colonia eterna (cioè che non si estingua mai)?


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

$s$ e' la speranza (probabilita') che ha un batterio di essere il capostipite di una colonia eterna.
Il batterio padre si divide con probabilita' $p$ e i suoi 2 figli hanno anch'essi la stessa probabilita' $s$ di essere ciascuno il capostipite di una propria colonia eterna. Questo vuol dire che il batterio padre ha formato una colonia eterna se almeno uno dei due figli l'ha fatta.
Ovvero
$$s = p(2s-s^2)$$
Il $-s^2$ per il principio di inclusione/esclusione.

L'equazione ha per soluzione

${ ( s = 0, " se " 0 \le p < 1/2 ),( s = (2p-1)/p, " se " 1/2 \le p \le 1 ):}$

[axpgn]

Bravo!

Mi spiegheresti come si giunge a quella equazione? Perché io non l'ho ancora capito

[Quinzio]

"axpgn":

Mi spiegheresti come si giunge a quella equazione? Perché io non l'ho ancora capito

Certo.

La parte $(2s-s^2)$ e' per il principio di inclusione/esclusione.
Ad esempio tirando due dadi mi chiedo con quale probabilita' esca almeno un 6.
Dei 6*6=36 casi possibili, 6 sono per le combinazioni 1-6, 2-6, 3-6, 4-6, 5-6, 6-6.
Altre 6 sono per 6-1, 6-2, 6-3, 6-4, 6-5, 6-6.
Devo pero' fare attenzione perche' la combinazione 6-6 viene contata due volte.
Quindi i casi totali sono 11 su 36, non 12 su 36.
La formula che tiene conto di questo e' $2p-p^2$, cioe' la probabilita' $p$ contata due volte, meno il caso in cui i due dadi fanno 6, che e' $p^2$.
$p = 1/6$, quindi $2p-p^2 = 11/36$ come ci aspettavamo.

Ora il batterio si divide con probabilita' $p$.
Se si autodistrugge, ovviamente non forma una colonia eterna, quindi la speranza di formare la colonia eterna va moltiplicata per $p$.
Quindi la formula e' diventata $p(2s-s^2)$. Questa e' la probabilita' che ha 1 batterio di formare una colonia eterna, perche' almeno uno dei due figli ha formato una colonia eterna.
Il trucco e' vedere che il padre ha una speranza $s$ di fare una colonia eterna, e questa speranza $s$ e' la stessa che ha ciascuno dei due figli, quindi la formula diventa "ricorsiva" ovvero ha $s$ sia a destra che a sinistra dell'uguale.
Da cio' si riesce algebricamente a esplicitare $s$.
L"ultima parte e' scegliere la soluzione $s=0$ se l'altra soluzione e' $s<0$, siccome non ha senso fisicamente una probabilita' minore di zero.

[axpgn]

Grazie