Costruire la circonferenza

[giammaria2]

Data la retta s ed i punti A,B nello stesso semipiano, dire come si può costruire (con riga e compasso) la circonferenza passante per i due punti e tangente alla retta.
Garantisco che la soluzione c'è, perché anni fa ne avevo trovata una (bruttina); ora però non riesco a ritrovarla.

[axpgn]

Ho trovato un metodo, sembra che funzioni ma forse è un caso

Traccio l'asse del segmento $AB$.
Chiamo $P$ l'intersezione con la retta $s$.
Traccio la circonferenza di centro $P$ e raggio $PM$ dove $M$ è il punto medio di $AB$.
Chiamo $Q$ l'intersezione della retta $s$ con questa circonferenza.
Traccio la parallela ad $AB$ passante per $Q$
Chiamo $N$ l'intersezione di questa parallela con l'asse di $AB$
Traccio la perpendicolare a $s$ passante per $N$.
L'intersezione tra questa perpendicolare e la retta $s$ è il punto di tangenza.




Mah ...

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Forse è giusto, ma come dimostri la tua ultima affermazione?
Nel frattempo, ho trovato un'altra soluzione, che mi piace abbastanza ma suscita una perplessità di altro tipo. Ho passato mesi interi a cercare inutilmente la soluzione del problema, e mi è venuta in mente poche ore dopo averlo postato. Non è la prima volta che mi capita; anzi, con altri problemi, mi è già successo più volte. Mi piacerebbe che qualcuno mi spiegasse questo strano fenomeno psicologico.

[axpgn]

"giammaria":Forse è giusto, ma come dimostri la tua ultima affermazione?

Speravo me lo dicessi tu

No, comunque è chiaramente sbagliato

[Quinzio]

La soluzione e' qui:

https://en.wikipedia.org/wiki/Tangent_lines_to_circles

Il primo disegno che si vede dall'alto (sulla destra).

Se A e B sono i 2 punti dati e C e' l'intersezione di AB con la retta s,
la distanza del del punto di tangenza da C e' $\sqrt(AC * BC)$

Pero' con riga e compasso la vedo difficile fare una radice quadrata.

Rettifico: piu' sotto nella pagina Wiki sembra che ci sia anche la costruzione geometrica.

[axpgn]

[Quinzio]

@Alex

[giammaria2]

Ho provato a guardare il link indicato da Quinzio, ma non trovo né una figura che possa adattarsi al nostro problema né la formula da lui citata; sarà per mia incapacità. Da quello che Quinzio dice, ho l'impressione che il sito dia una soluzione sostanzialmente uguale alla mia e penso che la cosa più semplice sia scriverla, dando anche la costruzione mancante.

Caso particolare: la retta AB è parallela ad s
Il punto di tangenza T è l'intersezione di s con l'asse di AB. Il centro della circonferenza è equidistante da A, B, T e quindi è l'intersezione dell'asse di AB con quello di AT.

Caso generale: la retta AB incontra s in C
Analisi del problema.. Detto T il punto di tangenza, per il teorema della secante e della tangente si ha $CT=sqrt(AC*BC)$ ed occorre costruirlo. Un metodo può essere quello indicato da axpgn, ma mi sembra che ce ne sia uno più adatto al nostro caso.
Soluzione. Supponendo che sia BC>AC, traccio una semicirconferenza di diametro BC ed indico con D la sua intersezione con la perpendicolare a BC in A; per il primo teorema di Euclide si ha $CD=sqrt(AC*BC)=CT$. Traccio ora la circonferenza di centro C e raggio CD, che incontra s in $T_1,T_2$. Ci sono quindi due possibili punti di tangenza e perciò due soluzioni; i centri delle circonferenze sono le intersezioni dell'asse di AB (perché il centro è equidistante da A, B) e la perpendicolare ad s in $T_i$ (perché la tangente è perpendicolare al raggio passante per il punto di tangenza).

[axpgn]

In pratica è parente di questo
Giusto?

[giammaria2]

Sì, è parente di quello e di numerosi altri.