Studio di funzione periodica
Non sto riuscendo a capire come si fa la derivata prima della seguente funzione:
$f(x) = |cosx|+sin2x$
Mi sono affidato al WolframeAlpha e ho notato che mi scrive anche la derivata in questo modo:
$ f'(x) = 1/2|e^(-ix) +e^(ix)|+1/2ie^(-2ix) - 1/2ie^(2ix)$
Ma come ci si arriva?
Ecco il link:
[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=f'(x)%20%3D%20%7Ccosx%7C%2Bsin2x&t=crmtb01[/url]
$f(x) = |cosx|+sin2x$
Mi sono affidato al WolframeAlpha e ho notato che mi scrive anche la derivata in questo modo:
$ f'(x) = 1/2|e^(-ix) +e^(ix)|+1/2ie^(-2ix) - 1/2ie^(2ix)$
Ma come ci si arriva?
Ecco il link:
[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=f'(x)%20%3D%20%7Ccosx%7C%2Bsin2x&t=crmtb01[/url]
Risposte
Ho notato che nella soluzione, dice che non ci sono intersezioni con gli assi!
Questo lo si dovrebbe dedurre senza fare calcoli ?
Io ho provato a determinare le intersezioni in questo modo:
Caso $x>1$ :
$ { ( (x^2+1)/(e^(x-1))=0 ),( y=0 ):}=> $ Il che è impossibile perchè non esiste quel numeratore $x^2=-1$
Ma poi mi vado a considerare il fatto che:
$ { ( y=(0+1)/(e^(0-1))= e ),( x=0 ):}=> $ Non è corretto? In questo modo mi viene il punto $P(0,2.74)$, perchè il testo dice che non ci sono intersezioni?
Questo lo si dovrebbe dedurre senza fare calcoli ?
Io ho provato a determinare le intersezioni in questo modo:
Caso $x>1$ :
$ { ( (x^2+1)/(e^(x-1))=0 ),( y=0 ):}=> $ Il che è impossibile perchè non esiste quel numeratore $x^2=-1$
Ma poi mi vado a considerare il fatto che:
$ { ( y=(0+1)/(e^(0-1))= e ),( x=0 ):}=> $ Non è corretto? In questo modo mi viene il punto $P(0,2.74)$, perchè il testo dice che non ci sono intersezioni?
Per l'intersezione con l'asse $x$ hai ragione: non c'è.
Per l'intersezione con l'asse $y$ hai ragione: c'è. Però hai sbagliato il calcolo...
$$f(0) = \frac{1}{e^{|-1|}} = \frac{1}{e}$$
Per l'intersezione con l'asse $y$ hai ragione: c'è. Però hai sbagliato il calcolo...
$$f(0) = \frac{1}{e^{|-1|}} = \frac{1}{e}$$
"minomic":
Per l'intersezione con l'asse $x$ hai ragione: non c'è.
Per l'intersezione con l'asse $y$ hai ragione: c'è. Però hai sbagliato il calcolo...
Quindi è per questo che mi avevi consigliato di lavorare tenendo presente sempre il valore assoluto, vero?
Evito di fare cavolate, giusto?
Infatti anche per il caso $x<1$ risulta che deve essere $$f(0) = \frac{1}{e^{|1|}} = \frac{1}{e}$$
Vero?
Hai due modi: o lavori sulla funzione originale con il valore assoluto oppure ti rendi conto che $0<1$ e quindi $f(0)$ lo vai a vedere nel caso $x<1$. Basta non fare confusione...
Ho ricavato la derivata prima, ma aimè non ho seguito il consiglio di minomic, cioè a lavorare con i valori assoluti, sono arrivato alla seguente per il caso $x>1$:
$f'(x) = (-x^3e^(x-1)+x^2e^(x-1)+ e^(x-1)+xe^(x-1))/(e^(x-1))^2$
A me sembra che sia una funzione sempre negativa in questo caso, perchè:
$ (-x^3e^(x-1)+x^2e^(x-1)+ e^(x-1)+xe^(x-1))/(e^(x-1))^2>0$ porta a $ (x^3e^(x-1)-x^2e^(x-1)- e^(x-1)-xe^(x-1))/(e^(x-1))^2<0$
COme faccio a dire dove sono i massimi e minimi senza faro il solito sistema?
$f'(x) = (-x^3e^(x-1)+x^2e^(x-1)+ e^(x-1)+xe^(x-1))/(e^(x-1))^2$
A me sembra che sia una funzione sempre negativa in questo caso, perchè:
$ (-x^3e^(x-1)+x^2e^(x-1)+ e^(x-1)+xe^(x-1))/(e^(x-1))^2>0$ porta a $ (x^3e^(x-1)-x^2e^(x-1)- e^(x-1)-xe^(x-1))/(e^(x-1))^2<0$
COme faccio a dire dove sono i massimi e minimi senza faro il solito sistema?
Infatti per la derivata devi spezzare in due funzioni distinte perché il modulo presenta problemi.
E perché non vuoi utilizzare il "solito sistema"? Studia il segno della derivata e capisci dove la funzione è crescente/decrescente.
E perché non vuoi utilizzare il "solito sistema"? Studia il segno della derivata e capisci dove la funzione è crescente/decrescente.
Ah e comunque la derivata è sbagliata. Prova a rifare i calcoli.
Ho corretto pa derivata prima ed ho ottenuto che:
$f'(x)= (-x^3+x^2+x+1)/(e^(x-1)) $
Adesso sto trovando problemi nel ricavare i massimi e minimi per il caso $x>1$ !!!!
Mi sembra che sia :
$ (x^3-x^2-x-1)/(e^(x-1))<0$
Si arriva alla seguente:
$((x^2-1)(x-1))/(e^(x-1))<0$
Il che mi porta a concludere che la funzione e' positiva per $x> 1$ e cresce all'infinito!
Mi sembra che in questo primo caso il punto di minimo sia in $x=1$!
Cosa ne dite????
$f'(x)= (-x^3+x^2+x+1)/(e^(x-1)) $
Adesso sto trovando problemi nel ricavare i massimi e minimi per il caso $x>1$ !!!!
Mi sembra che sia :
$ (x^3-x^2-x-1)/(e^(x-1))<0$
Si arriva alla seguente:
$((x^2-1)(x-1))/(e^(x-1))<0$
Il che mi porta a concludere che la funzione e' positiva per $x> 1$ e cresce all'infinito!
Mi sembra che in questo primo caso il punto di minimo sia in $x=1$!
Cosa ne dite????
Ancora non ci siamo... Se $x>1$ $$\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x\left(e^{x-1}\right)-(x^2+1)\left(e^{x-1}\right)}{\left(e^{x-1}\right)^2} = \\
&= \frac{2x-x^2-1}{e^{x-1}} = \frac{-(x-1)^2}{e^{x-1}}\end{aligned} $$
&= \frac{2x-x^2-1}{e^{x-1}} = \frac{-(x-1)^2}{e^{x-1}}\end{aligned} $$
Ho verificato e hai pienamente ragione!
Solo che adesso mi risulta che per $x> 1$ e' positiva, per $-1
Dite che i calcoli sono giusti per questo primo caso?
Solo che adesso mi risulta che per $x> 1$ e' positiva, per $-1
Dite che i calcoli sono giusti per questo primo caso?
No, calma! Abbiamo ottenuto che per $x>1$ la derivata è $$f'(x)=\frac{-(x-1)^2}{e^{x-1}}$$ Questa è ovviamente sempre negativa, quindi per $x>1$ la funzione è decrescente.
D'altra parte ce lo potevamo aspettare... La funzione è sempre positiva, giusto? Ma abbiamo visto che all'infinito tende a zero, quindi ci arriverà "da sopra" e quindi, da un certo punto in poi, dovrà essere decrescente.
Ora prova a fare la derivata della funzione per $x<1$ e vediamo cosa viene fuori.
D'altra parte ce lo potevamo aspettare... La funzione è sempre positiva, giusto? Ma abbiamo visto che all'infinito tende a zero, quindi ci arriverà "da sopra" e quindi, da un certo punto in poi, dovrà essere decrescente.
Ora prova a fare la derivata della funzione per $x<1$ e vediamo cosa viene fuori.
Ok, dammi due minuti!
Ok, la derivata prima per il caso $x<1$ e':
$f'(x)= (x+1)^2/(e^(1-x)) $
Ecco, dimmi pure le considerazioni!
$f'(x)= (x+1)^2/(e^(1-x)) $
Ecco, dimmi pure le considerazioni!
Bravo, questa è giusta!
Questa derivata è sempre positiva (si vede ad occhio), quindi concludiamo che per $x<1$ la funzione è sempre crescente, e anche questo potevamo aspettarcelo...
Allora $x=1$ si candida ad essere punto di massimo. Andiamo a vedere quanto è $f(1)$ e scopriamo $$f(1) = 2$$ quindi non è un valore che diverge all'infinito. Possiamo quindi concludere che $(1,2)$ è il massimo della funzione.
Tutto chiaro?
Questa derivata è sempre positiva (si vede ad occhio), quindi concludiamo che per $x<1$ la funzione è sempre crescente, e anche questo potevamo aspettarcelo...
Allora $x=1$ si candida ad essere punto di massimo. Andiamo a vedere quanto è $f(1)$ e scopriamo $$f(1) = 2$$ quindi non è un valore che diverge all'infinito. Possiamo quindi concludere che $(1,2)$ è il massimo della funzione.
Tutto chiaro?
Chiarissimo, adesso passo in bella i calcoli e procedo con un altro studio di funzione!
P.S. Mi sto allenando a disegnare il grafico con i calcoli fino alla derivata prima, questo mi permettera' di disegnare il grafico molto rapidamente, al compito dell'esame lasciero' la derivata seconda solo come abbellimento del compito!
Cosa ne dici?
P.S. Mi sto allenando a disegnare il grafico con i calcoli fino alla derivata prima, questo mi permettera' di disegnare il grafico molto rapidamente, al compito dell'esame lasciero' la derivata seconda solo come abbellimento del compito!
Cosa ne dici?
Dipende dal livello di dettaglio che vuoi. Ovviamente lo studio della derivata seconda ti serve per capire la concavità della curva...
E il grafico di questa funzione lo hai finito?
E il grafico di questa funzione lo hai finito?
Sto per farlo!
Ho fato due banali errori, nelle intersezioni, quando vado a calcolare la $y$, devo imporre una coordinata $x=1$, dovuto alla $C.S. $ avro' cosi le coordinate di intersezioni!
Ho dedotto che dall'immagine vnutami fuori dal software, ci sia un flesso a tangente orizzontale, ma non ricordo precisamente per definizione, quando si ha un flesso a tangente orizzontale????
Ho dedotto che dall'immagine vnutami fuori dal software, ci sia un flesso a tangente orizzontale, ma non ricordo precisamente per definizione, quando si ha un flesso a tangente orizzontale????
Poi riesco dire che c'e' un cambio di funzione dovuto all'ascissa $x=1$, dove si ha un cambio di $C.S$, bene, ma come ci potrebbe essere una cuspide o un flesso, ma come si riescono a riconoscere questi due fenomeni????
Come sempre cerco di mettere ordine. Per prima cosa: cosa indichi con C.S.? Di solito in matematica significa "Condizione sufficiente" ma non so...
Passando alle tue domande: il punto $(1,2)$ non mi sembra una cuspide ma un punto angoloso con tangente sinistra diversa da quella destra (verificalo). Per quanto riguarda il "come riconoscere" i diversi punti "strani" non posso fare a meno di consigliarti un bel ripasso delle definizioni.
Passando alle tue domande: il punto $(1,2)$ non mi sembra una cuspide ma un punto angoloso con tangente sinistra diversa da quella destra (verificalo). Per quanto riguarda il "come riconoscere" i diversi punti "strani" non posso fare a meno di consigliarti un bel ripasso delle definizioni.
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