Studio di funzione periodica

[Bad90]

Non sto riuscendo a capire come si fa la derivata prima della seguente funzione:
$f(x) = |cosx|+sin2x$

Mi sono affidato al WolframeAlpha e ho notato che mi scrive anche la derivata in questo modo:
$ f'(x) = 1/2|e^(-ix) +e^(ix)|+1/2ie^(-2ix) - 1/2ie^(2ix)$

Ma come ci si arriva?

Ecco il link:

[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=f'(x)%20%3D%20%7Ccosx%7C%2Bsin2x&t=crmtb01[/url]

[Bad90]

"burm87":No, direi che non hai fatto bene. Quello che devi trovare è una stima, un'approssimazione della soluzione. Se fosse possibile farlo algebricamente in modo così preciso non avremmo utilizzato la via grafica no?

Ma tu come avresti fatto?

[minomic]

"Bad90":Perchè la $x$ la rende non periodica

Perchè la $x$, crescendo, assume alcuni valori che non aveva mai assunto in precedenza e questo rende la funzione non periodica.

[Bad90]

"minomic":[quote="Bad90"]Perchè la $x$ la rende non periodica

Perchè la $x$, crescendo, assume alcuni valori che non aveva mai assunto in precedenza e questo rende la funzione non periodica.[/quote]
In altre parole perchè tende a $+oo$, vero???

[minomic]

No quello non c'entra. Se prendi $cos x$ e fai crescere la $x$ questa assumerà infiniti valori diversi ma il coseno assumerà sempre valori compresi tra $-1$ e $1$. Invece nella nostra funzione quella $x$ non è argomento di una funzione periodica, quindi possiamo aspettarci comportamenti non periodici da parte della funzione.
Comunque ti ripeto la domanda: questa funzione l'hai inventata tu?

[Bad90]

No, è sul testo del Marcellini Sbordone

[burm87]

"Bad90":[quote="burm87"]No, direi che non hai fatto bene. Quello che devi trovare è una stima, un'approssimazione della soluzione. Se fosse possibile farlo algebricamente in modo così preciso non avremmo utilizzato la via grafica no?

Ma tu come avresti fatto?[/quote]

Io, come ti dicevo, avrei disegnato entrambe le funzioni nel grafico e avrei cercato di approssimare il loro punto di intersezione.

[Bad90]

"burm87":

Io, come ti dicevo, avrei disegnato entrambe le funzioni nel grafico e avrei cercato di approssimare il loro punto di intersezione.

Ma se osservi, quello che ho fatto io è proprio questo!

$cosx(tgx - x)>0$

$cosx>0$ in $0+2kpi
$tgx>x$ in $pi/4 +kpi
La soluzione finale sarà:

Positiva in $pi/4

Cita

Segnala

[burm87]

E come avresti fatto a trovare i punti di intersezione tra $f(x)=tgx$ e $f(x)=x$?

[Bad90]

"burm87":E come avresti fatto a trovare i punti di intersezione tra $f(x)=tgx$ e $f(x)=x$?

La retta $y=x$ ha un angolo di $45$ gradi, $pi/4$, la tangente è $1$ in $pi/4$, quindi da $pi/4$ a $pi/2$ la tangente è maggiore, poi si ripete in $5/4pi
Se non riusciamo a venirne a capo, preferirei che lo lasciamo stare questo esercizio incriminato, altrimenti perdiamo troppo tempo!

[burm87]

E chi ti dice che la tangente non sia maggiore di $x$ anche prima di $pi/4$? Ti ribadisco che quella disequazione non è risolvibile con metodi "classici".

[minomic]

"Bad90":La retta $y=x$ ha un angolo di $45$ gradi, $pi/4$, la tangente è $1$ in $pi/4$, quindi da $pi/4$ a $pi/2$ la tangente è maggiore, poi si ripete in $5/4pi
Ma cosa c'entra l'angolo della retta? Al limite puoi dire che la retta passa per $(pi/4, pi/4)$ mentre la tangente passa per $(pi/4, 1)$, quindi non è quello il loro punto di incontro.

[Bad90]

"burm87":E chi ti dice che la tangente non sia maggiore di $x$ anche prima di $pi/4$? Ti ribadisco che quella disequazione non è risolvibile con metodi "classici".

Allora lasciamo stare!

[Bad90]

Adesso ho cominciato la seguente:

$f(x) = x- 2sinx$

Il dominio è tutto $R$

E' una funzione dispari:

$f(-x) = -x + 2sinx = -f(-x)$ Avrà un simmetrico rispetto all'origine!

[minomic]

"Bad90":$f(-x) = -x + 2sinx = -f(-x)$

Sì è dispari, però devi dire $...=-f(x)$ e non $...=-f(-x)$.

[Bad90]

Perfetto!
Allora continuo....
Non ci sono limitazioni e quindi non bisogna calcolare nessun limite!

Positività della funzione

Scelgo la via grafica...

$x>2sinx$

Giusto
Ma adesso, come si arriva alla soluzione della disequazione?
Disegno la retta $y=x$ e il grafico della funzione $y_1 = senx$, vero?

[burm87]

I limiti ad infinito vanno calcolati. Ok per la via grafica e ti ritrovi ad affrontare il problema che prima avevi accantonato

[minomic]

"burm87":ti ritrovi ad affrontare il problema che prima avevi accantonato

Per la serie "A volte ritornano"... In matematica i problemi tornano sempre!

[Bad90]

"burm87":I limiti ad infinito vanno calcolati. Ok per la via grafica e ti ritrovi ad affrontare il problema che prima avevi accantonato

Accipicchia!

Dai allora risolviamo questo e non se ne parla più!
Perchè devo calcolare i limiti dal momento che non ci sono limitazioni

[Bad90]

Scelgo la via grafica...

$x>2sinx$

Allora posso dire che:

$x/2>sinx$

$f(x) = x/2$ e $g(x) = sinx$ e deve essere $f(x) > g(x)$ , conviene fare in questo modo?

[minomic]

Sì va bene. Non c'è grande differenza, quindi puoi fare come vuoi.

Per la questione sui limiti: dire "non ci sono limitazioni" è fuorviante. Avevamo detto di scrivere il dominio per intervalli e calcolare i limiti in corrispondenza delle parentesi tonde. In questo caso $$D=\left(-\infty, +\infty\right)$$ Quindi...