Studio di funzione periodica
Non sto riuscendo a capire come si fa la derivata prima della seguente funzione:
$f(x) = |cosx|+sin2x$
Mi sono affidato al WolframeAlpha e ho notato che mi scrive anche la derivata in questo modo:
$ f'(x) = 1/2|e^(-ix) +e^(ix)|+1/2ie^(-2ix) - 1/2ie^(2ix)$
Ma come ci si arriva?
Ecco il link:
[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=f'(x)%20%3D%20%7Ccosx%7C%2Bsin2x&t=crmtb01[/url]
$f(x) = |cosx|+sin2x$
Mi sono affidato al WolframeAlpha e ho notato che mi scrive anche la derivata in questo modo:
$ f'(x) = 1/2|e^(-ix) +e^(ix)|+1/2ie^(-2ix) - 1/2ie^(2ix)$
Ma come ci si arriva?
Ecco il link:
[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=f'(x)%20%3D%20%7Ccosx%7C%2Bsin2x&t=crmtb01[/url]
Risposte
"minomic":
Come sempre cerco di mettere ordine. Per prima cosa: cosa indichi con C.S.? Di solito in matematica significa "Condizione sufficiente" ma non so...
Passando alle tue domande: il punto $(1,2)$ non mi sembra una cuspide ma un punto angoloso con tangente sinistra diversa da quella destra (verificalo). Per quanto riguarda il "come riconoscere" i diversi punti "strani" non posso fare a meno di consigliarti un bel ripasso delle definizioni.
Con $C.S. $ indico il campo di studio, che in questo caso e' o $x> 1$ oppre $x<1$, tutto qui'!
Penso si possa dire!
Per il reto ho visto le definizioni, ma non sono riuscito a trovare qualcosa con qualche esempio!
Ho pensato che per essere rapidi all'esame, daro' dei valori via via crescenti o decresdenti alla funzione, avro' cosi' le coordinate dei vai punti che determinano l' andamento, poi se resta tempo, vado a ricavare eventuali flessi o quant'altro!
Cosa ne dici?
In aggiunta folevo chiederti se hai qualche link dove posso trovare qualche esempio aggiunto alla definizione dei flessi o tangenti ecc.... !!!!!?????????
Ah ok, sìsì puoi usare C.S. e tutti gli acronimi che vuoi. Basta capirsi!
Lo studio di una funzione dando valori a caso non è molto consigliato perché rischia di farti perdere tempo e può non essere troppo accurato, comunque vedi tu. Io consiglierei di attenersi alle regole.
No purtroppo non ho link particolari per i punti "strani". Casomai puoi provare a cercare qualche esempio di funzione che presenta una cuspide o un flesso a tangente verticale e prova a svolgerlo.
Lo studio di una funzione dando valori a caso non è molto consigliato perché rischia di farti perdere tempo e può non essere troppo accurato, comunque vedi tu. Io consiglierei di attenersi alle regole.
No purtroppo non ho link particolari per i punti "strani". Casomai puoi provare a cercare qualche esempio di funzione che presenta una cuspide o un flesso a tangente verticale e prova a svolgerlo.
@minomic:
Io ho sempre usato C.S. nel senso di Campo di Studio, quando per qualche motivo lo distinguo dal C.E.; i casi più frequenti sono le funzioni periodiche e quelle a più definizioni (valore assoluto compreso).
Quando studi la $f'(x)>0$, in un angolino della mente devi chiederti se ci sono punti in cui la derivata si annulla senza cambiare di segno: lì ci sono i flessi a tangente orizzontale. Nel tuo problema capita
nel caso $x<1$ e quindi $f'(x)=(x+1)^2/e^(1-x)$: il flesso si ha per $x=-1$.
Nel caso $x>=1$ hai $f'(x)=-(x-1)^2/e^(x-1)$ che ti dice che in $x=1$ la tangente è orizzontale; questo punto è però proprio il limite della zona considerata e quindi non possiamo trarre conclusioni finché non avremo studiato anche l'altra zona.
Ora che l'hai fatto, esaminiamo cosa succede per $x=1$: la funzione è continua e ne hai già calcolato il valore. Per quanto riguarda la derivata, abbiamo appena detto che a destra vale zero; la derivata sinistra è
$f'(1)_("sinistra")=(1+1)^2/e^(1-1)=4$
e quindi c'è un punto angoloso.
Quanto a punti angolosi e cuspidi, in breve si può dire che
- se almeno una fra derivata destra e sinistra è finita, c'è un punto angoloso;
- se una di esse tende a $+oo$ e l'altra a $-oo$ c'è una cuspide;
- se entrambe tendono a $+oo$ o entrambe a $-oo$ c'è un flesso a tangente verticale.
Io ho sempre usato C.S. nel senso di Campo di Studio, quando per qualche motivo lo distinguo dal C.E.; i casi più frequenti sono le funzioni periodiche e quelle a più definizioni (valore assoluto compreso).
"Bad90":
Ho dedotto che dall'immagine venutami fuori dal software, ci sia un flesso a tangente orizzontale, ma non ricordo precisamente per definizione, quando si ha un flesso a tangente orizzontale????
Quando studi la $f'(x)>0$, in un angolino della mente devi chiederti se ci sono punti in cui la derivata si annulla senza cambiare di segno: lì ci sono i flessi a tangente orizzontale. Nel tuo problema capita
nel caso $x<1$ e quindi $f'(x)=(x+1)^2/e^(1-x)$: il flesso si ha per $x=-1$.
Nel caso $x>=1$ hai $f'(x)=-(x-1)^2/e^(x-1)$ che ti dice che in $x=1$ la tangente è orizzontale; questo punto è però proprio il limite della zona considerata e quindi non possiamo trarre conclusioni finché non avremo studiato anche l'altra zona.
Ora che l'hai fatto, esaminiamo cosa succede per $x=1$: la funzione è continua e ne hai già calcolato il valore. Per quanto riguarda la derivata, abbiamo appena detto che a destra vale zero; la derivata sinistra è
$f'(1)_("sinistra")=(1+1)^2/e^(1-1)=4$
e quindi c'è un punto angoloso.
Quanto a punti angolosi e cuspidi, in breve si può dire che
- se almeno una fra derivata destra e sinistra è finita, c'è un punto angoloso;
- se una di esse tende a $+oo$ e l'altra a $-oo$ c'è una cuspide;
- se entrambe tendono a $+oo$ o entrambe a $-oo$ c'è un flesso a tangente verticale.
"giammaria":
Quanto a punti angolosi e cuspidi, in breve si può dire che
- se almeno una fra derivata destra e sinistra è finita, c'è un punto angoloso;
- se una di esse tende a $+oo$ e l'altra a $-oo$ c'è una cuspide;
- se entrambe tendono a $+oo$ o entrambe a $-oo$ c'è un flesso a tangente verticale.
Quanto a queste, mi sembra ovvio teoricamente, solo che non capisco come fai a dire che la derivata prima tende a $+-oo$ o ha un valore finito, ecc.
Non è che mi metto a calcolare i limiti della derivata
Da dove si capisce senza calcolare i limiti della derivata che la funzione tende a $+-oo$ ecc.
Avevamo visto un caso in cui il denominatore della derivata si annullava mentre il numeratore no: ecco un caso di derivata che tende all'infinito.
"minomic":
Avevamo visto un caso in cui il denominatore della derivata si annullava mentre il numeratore no: ecco un caso di derivata che tende all'infinito.
Non ricordo quale sia
Neanche la fatica di cercare nel thread!
Era qui: viewtopic.php?f=11&t=123982&start=100#p807285
Vai a vedere la derivata e vedrai che il denominatore si annullava.
Era qui: viewtopic.php?f=11&t=123982&start=100#p807285
Vai a vedere la derivata e vedrai che il denominatore si annullava.
"minomic":
Per tornare alla tua domanda, troviamo che la tangente è verticale perché la derivata tende a $+oo$. Ricordando che la derivata rappresenta il coefficiente angolare della tangente nel punto possiamo concludere che la retta ha coefficiente angolare che tende a $oo$, quindi è nella forma $x=k$, cioè è verticale.
In sonstanza, ciò che accadeva in questa funzione, era che la funzione andava a finire in un punto $P(x,0)$, quindi di ordinata zero, bene, in quel punto c'era un asintoto che era venuto fuori dagli step precedenti, bene, essondo in quel punto un asintoto $x=k$ con coefficiente angolare zero, e che quell'asintoto fa parte della funzione, si capisce che è una tangente verticale perchè si ha che l'asintoto tende a $+-oo$ in una $x=k$ !
Ho compreso perfettamente
Attenzione: non era un asintoto e non era a coefficiente zero. 
"minomic":
Attenzione: non era un asintoto e non era a coefficiente zero.
Ok, non era un asintoto, bene, ma lo si può paragonare dal momento che a destra la funzione esisteva mentre a sinistra non esisteva!
Non cambia nulla nel comportamento se pensassimo ad un $C.S.$ che in quel caso potrebbe essere immaginato come la parte destra da considerare e la sinistra non si deve pensare!
Pensa al fatto che stavamo studiando un intervallo di $x$
Va benissimo la tua affermazione, ma penso che la mia sia anche corretta dopo questi ultimo intervento!
Aggiungo due esempi facili; in entrambi la funzione è continua e non cambia definizione.
1) $f(x)=root(3)x->f'(x)=1/(3root(3)(x^2))$
Nella derivata c'è $x$ a denominatore e quindi per $x->0$ la derivata tende ad infinito e precisamente a $+oo$, data la presenza del quadrato. C'è quindi un flesso a tangente verticale.
2) $f(x)=root(3)(x^2)->f'(x)=2/(3root(3)x)$
Anche qui la $x$ a denominatore fa sì che per $x->0$ la derivata tenda ad infinito e basta un'occhiata per dire che il segno è diverso a destra e sinistra: c'è una cuspide.
1) $f(x)=root(3)x->f'(x)=1/(3root(3)(x^2))$
Nella derivata c'è $x$ a denominatore e quindi per $x->0$ la derivata tende ad infinito e precisamente a $+oo$, data la presenza del quadrato. C'è quindi un flesso a tangente verticale.
2) $f(x)=root(3)(x^2)->f'(x)=2/(3root(3)x)$
Anche qui la $x$ a denominatore fa sì che per $x->0$ la derivata tenda ad infinito e basta un'occhiata per dire che il segno è diverso a destra e sinistra: c'è una cuspide.
Allora intervengo con un esempio anche io:
$f(x) = (x-1)/(x+1)$ e $f'(x) = 2/(x+1)^2$
Cosa posso dire in questo caso?
Io so che sia la funzione che la derivata prima si annullano per $x= -1$, bene, cosa si può dire?
$f(x) = (x-1)/(x+1)$ e $f'(x) = 2/(x+1)^2$
Cosa posso dire in questo caso?
Io so che sia la funzione che la derivata prima si annullano per $x= -1$, bene, cosa si può dire?
No Bad, giammaria ti ha fatto vedere esempi in cui il punto era problematico per la derivata ma non per la funzione. Nel tuo caso invece $x=-1$ non appartiene al dominio della funzione (che tra l'altro rappresenta un'iperbole omografica).
Nella tua funzione la retta $x=-1$ rappresenta un asintoto.
Nella tua funzione la retta $x=-1$ rappresenta un asintoto.
"minomic":
No Bad, giammaria ti ha fatto vedere esempi in cui il punto era problematico per la derivata ma non per la funzione. Nel tuo caso invece $x=-1$ non appartiene al dominio della funzione (che tra l'altro rappresenta un'iperbole omografica).
Nella tua funzione la retta $x=-1$ rappresenta un asintoto.
Scusami, ho capito male!
Si potrebbe fare qualche altro esempio come ha fatto l'amico Giammaria???
$f(x) = senx - xcosx$
Come faccio ad essere certo che sia una funzione pari?
Ho fatto in questo modo:
$f(-x) = sen(-x) - (-x)(cos(-x)) = sen(-x)-xcosx$ ma il seno sappiamo che sarà negativo e quindi mi viene di dire che deve essere:
$f(-x) = sen(-x) - (-x)(cos(-x)) = -senx-xcosx != f(x)$
Come faccio ad essere certo che sia una funzione pari?
Ho fatto in questo modo:
$f(-x) = sen(-x) - (-x)(cos(-x)) = sen(-x)-xcosx$ ma il seno sappiamo che sarà negativo e quindi mi viene di dire che deve essere:
$f(-x) = sen(-x) - (-x)(cos(-x)) = -senx-xcosx != f(x)$
Hai sbagliato un segno: $$f(-x) = -\sin x + x\cos x$$ comunque non è pari. Proviamo piuttosto a vedere se è dispari...
Un attimo, il testo dice che è pari, ma a me viene in mente un fatto.....
Se si tratta di una equazione con due funzioni, seno e coseno, possiamo ricondurla ad una sola, esempio la tangente, dividendo semplicemente il seno e il coseno per il seno, cioè si potrebbe fare in questo modo:
$f(x) = senx - xcosx = (senx)/(senx) - (xcosx)/(senx) = 1-xtgx$
Allora in questo casi si che sarà pari:
$f(x) = 1-xtgx$
$f(-x) = 1-xtgx= f(-x)$
Se si tratta di una equazione con due funzioni, seno e coseno, possiamo ricondurla ad una sola, esempio la tangente, dividendo semplicemente il seno e il coseno per il seno, cioè si potrebbe fare in questo modo:
$f(x) = senx - xcosx = (senx)/(senx) - (xcosx)/(senx) = 1-xtgx$
Allora in questo casi si che sarà pari:
$f(x) = 1-xtgx$
$f(-x) = 1-xtgx= f(-x)$
Se il testo dice che è pari sbaglia, oppure stiamo parlando di una funzione differente. Quella da te indicata è dispari. Inoltre non credo che tu possa dividere a tuo piacimento!
"burm87":
Se il testo dice che è pari sbaglia, oppure stiamo parlando di una funzione differente. Quella da te indicata è dispari. Inoltre non credo che tu possa dividere a tuo piacimento!
E' allora c'è un errore nel testo!
Scusami, allora è dispari, perchè?
$f(x) = senx - xcosx$
$f(-x) = -senx + xcosx$
Come faccio a dire che sia dispari???
Io ricordo che una funzione si dice dispari, quando si ha la seguente condizione:
$f(x) = -f(-x)$
E su questo mi sembra che sia corretta l' affermazione
"Bad90":
$f(x) = senx - xcosx$
$f(-x)=sin(-x)-(-x)cos(-x)$. Sappiamo che $sin(-x)=-sinx$ e che $cos(-x)=cosx$. Quindi:
$f(-x)=-sinx+xcosx=-(sinx-xcosx)=-f(x)$.
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