Studio di funzione periodica
Non sto riuscendo a capire come si fa la derivata prima della seguente funzione:
$f(x) = |cosx|+sin2x$
Mi sono affidato al WolframeAlpha e ho notato che mi scrive anche la derivata in questo modo:
$ f'(x) = 1/2|e^(-ix) +e^(ix)|+1/2ie^(-2ix) - 1/2ie^(2ix)$
Ma come ci si arriva?
Ecco il link:
[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=f'(x)%20%3D%20%7Ccosx%7C%2Bsin2x&t=crmtb01[/url]
$f(x) = |cosx|+sin2x$
Mi sono affidato al WolframeAlpha e ho notato che mi scrive anche la derivata in questo modo:
$ f'(x) = 1/2|e^(-ix) +e^(ix)|+1/2ie^(-2ix) - 1/2ie^(2ix)$
Ma come ci si arriva?
Ecco il link:
[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=f'(x)%20%3D%20%7Ccosx%7C%2Bsin2x&t=crmtb01[/url]
Risposte
Ci provo. Nella prima parte di dominio, cioè $(-oo, -1)$, abbiamo visto che la funzione assume sempre valori negativi. Poi, dopo una discontinuità, nella seconda parte di dominio, cioè $(0, +oo)$, la funzione assume sempre valori positivi. Concludiamo che questa funzione non si annulla mai perché non ha mai cambi di segno in tratti nei quali è continua.
"minomic":
Ci provo. Nella prima parte di dominio, cioè $(-oo, -1)$, abbiamo visto che la funzione assume sempre valori negativi. Poi, dopo una discontinuità, nella seconda parte di dominio, cioè $(0, +oo)$, la funzione assume sempre valori positivi. Concludiamo che questa funzione non si annulla mai perché non ha mai cambi di segno in tratti nei quali è continua.
Sei stato formidabile nel farmi capire il concetto
Adesso ho ricavato la derivata prima:
$f'(x) = (2x^3+4x^2-3x-3)/(2x(x+1)^2)$
Per trovare i punti di massimo e minimo, esiste qualche metodo intelligente come tutti i metodi ragionati fino ad adesso?
Insomma, esiste qualche scorciatoia per trarre le conclusioni sui minimi e i massimi?
$f'(x) = (2x^3+4x^2-3x-3)/(2x(x+1)^2)$
Per trovare i punti di massimo e minimo, esiste qualche metodo intelligente come tutti i metodi ragionati fino ad adesso?
Insomma, esiste qualche scorciatoia per trarre le conclusioni sui minimi e i massimi?
Bravo, vedo che hai corretto i due segni... 
Devi fattorizzare il numeratore, che in questo caso è piuttosto semplice visto che si annulla per $x=1$. Poi facciamo qualche calcolo...
Devi fattorizzare il numeratore, che in questo caso è piuttosto semplice visto che si annulla per $x=1$. Poi facciamo qualche calcolo...
Un'attimo che non ricordo cosa significa fattorizzare! 
Allora fattorizzare un polinomio significa trasformarlo in una moltiplicazione di fattori, come devo fare in questo caso?
Allora fattorizzare un polinomio significa trasformarlo in una moltiplicazione di fattori, come devo fare in questo caso?
"Bad90":
Un'attimo che non ricordo cosa significa fattorizzare!
Scomporre!
"minomic":
Scomporre!
Come potrei scomporlo in modo rapido?
Ti ho fatto notare che si annulla per $x=1$, quindi si può usare... Ruffini!
Ma intendi il numeratore?
Certo! Il denominatore lo hai già fattorizzato... Tutto questo lo stiamo facendo per poi studiare il segno della derivata, che descrive la crescenza/decrescenza della funzione.
Puoi farmi vedere come devo fattorizzare?
Dici che devo fare in questo modo?
$f'(x) = (2x^3+4x^2-3x-3)/(2x(x+1)^2)$
$f'(x) = (2x^2 (x+2)-3(x-1))/(2x(x+1)^2)$
$f'(x) = (2x^3+4x^2-3x-3)/(2x(x+1)^2)$
$f'(x) = (2x^2 (x+2)-3(x-1))/(2x(x+1)^2)$
No quella cosa non va bene perché è ancora una somma, mentre noi vogliamo un prodotto.
Abbiamo detto che il polinomio si annulla per $x=1$, e questo significa che sarà divisibile per $x-1$. Prova a fare questa divisione tra polinomi e ottieni la scomposizione.
Abbiamo detto che il polinomio si annulla per $x=1$, e questo significa che sarà divisibile per $x-1$. Prova a fare questa divisione tra polinomi e ottieni la scomposizione.
Adesso non sono a casa e non posso fare i calcoli ma allora bisogna fare la divisione tra polinomi, dello stesso grado, vero?
I polinomi non sono dello stesso grado... Devi fare questa divisione $$\left(2x^3+4x^2-3x-3\right) \div \left(x-1\right)$$
Ma quale polinomio e' che si annulla per $x-1$ ?
Mi faresti vedere come hai fatto a scoprire che per $x-1$ si annulla?
Adesso mi sono reso conto, bisogna fare questo:
$2 + 4 -3-3=0$
Allora la prima soluzione e' $x=1$ e poi si procede con Ruffini!
Mi faresti vedere come hai fatto a scoprire che per $x-1$ si annulla?
Adesso mi sono reso conto, bisogna fare questo:
$2 + 4 -3-3=0$
Allora la prima soluzione e' $x=1$ e poi si procede con Ruffini!
Dunque... noi stiamo cercando di studiare il segno di $$f'(x) = \frac{2x^3+4x^2-3x-3}{2x(x+1)^2}$$ giusto? Bene, allora dovremo fattorizzare il numeratore perché non sappiamo trattare un polinomio di terzo grado. Questo numeratore, cioè $$2x^3+4x^2-3x-3$$ si annulla per $x=1$. Per verificarlo basta sostituire. Come ho fatto a scoprirlo? Ho notato che la somma dei coefficienti fa zero ma questo è un trucco che non tutti conoscono. Altrimenti si va per tentativi, seguendo lo schema della regola di Ruffini, e si cerca tra i divisori del termine noto. Quando hai scoperto che il numeratore si annulla per $x=1$ puoi affermare che è divisibile per $(x-1)$. Ora facciamo questa divisione e abbiamo completato la scomposizione.
Perfetto, fatta questa scomposizione, come posso arrivare a dire dove la funzione, mediante questa derivata prima, sia positiva o negativa e quindi trovare i massimi e minimi?
Perfetto, ho ottenuto le seguenti soluzioni:
$x=1$ e $x=(3+-sqrt3)/(2)$
Come si rappresentano in forma di prodotto?
Va bene se la scrivo in questo modo?
$(x-1)(2x-3+sqrt3)(2x-3-sqrt3) $
$x=1$ e $x=(3+-sqrt3)/(2)$
Come si rappresentano in forma di prodotto?
Va bene se la scrivo in questo modo?
$(x-1)(2x-3+sqrt3)(2x-3-sqrt3) $
Mettiamo un po' di ordine... Per prima cosa lo studio del segno della derivata non ti dice dove la funzione è positiva/negativa ma dove è crescente/decrescente e c'è una bella differenza!
Poi c'è qualcosa che non va nella scomposizione. Dovresi ottenere $$(x-1)(2x^2+6x+3)$$ La soluzione $x=1$ è corretta ma le altre due no. Infatti risolviamo $$2x^2+6x+3 = 0 \quad\rightarrow\quad x=\frac{-3\pm\sqrt{3}}{2}$$ Tutto chiaro? Però vedi di ripassarle queste cose perché sono fondamentali!
Poi c'è qualcosa che non va nella scomposizione. Dovresi ottenere $$(x-1)(2x^2+6x+3)$$ La soluzione $x=1$ è corretta ma le altre due no. Infatti risolviamo $$2x^2+6x+3 = 0 \quad\rightarrow\quad x=\frac{-3\pm\sqrt{3}}{2}$$ Tutto chiaro? Però vedi di ripassarle queste cose perché sono fondamentali!
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