Studio di funzione periodica

Bad90
Non sto riuscendo a capire come si fa la derivata prima della seguente funzione:
$f(x) = |cosx|+sin2x$

Mi sono affidato al WolframeAlpha e ho notato che mi scrive anche la derivata in questo modo:
$ f'(x) = 1/2|e^(-ix) +e^(ix)|+1/2ie^(-2ix) - 1/2ie^(2ix)$

Ma come ci si arriva?

Ecco il link:

[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=f'(x)%20%3D%20%7Ccosx%7C%2Bsin2x&t=crmtb01[/url]

Risposte
Bad90
"minomic":


Per la questione sui limiti: dire "non ci sono limitazioni" è fuorviante. Avevamo detto di scrivere il dominio per intervalli e calcolare i limiti in corrispondenza delle parentesi tonde. In questo caso $$D=\left(-\infty, +\infty\right)$$ Quindi... ;)

E quindi devo calcolare i limiti per $x->+-oo$ :roll:

burm87
Esatto, altrimenti come sai come si comporterà agli estremi del dominio?

Bad90
Ho fatto i grafici noti:
$f(x) = x/2$ e $g(x) = sinx$

Quindi $x/2>sinx$ , bene, ma come faccio a dire in termini di numeri dove la retta $y= 1/2x$ sta al di sopra della funzione seno?

minomic
Bad... soluzioni approssimate!

burm87
Oooooohhh finalmente hai capito qual'è il problema che cercavo di illustrarti. Vai a tentativi sostituendo delle ascisse fino a quando non trovi un punto che "inverte la tendenza": se sostituisci 1,2,3,4 e il seno sta sempre sopra e poi con 5 il seno sta sotto allora significa che la tua intersezione sta tra 4 e 5.

In alternativa esistono dei metodi di approssimazione numerica, ma si apre un altro mondo :)

Bad90
Ho pensato che in termini di numeri, la funzione seno sta al di sopra della funzione retta che ho detto, da $0$ a $cos(pi/8) = 0.99$ vero?

Approssimativamente la retta di coefficiente angolare $m=1/2$, ha un angolo che è di $alpha = pi/8=22.5^o$ , bene, ragazzi, non ditemi che sto sbagliando in questo caso, ma il coseno di $22.5$ gradi vale $0,9$.

Approssimativamente avrò che la funzione seno sarà sopra alla funzione retta, da $0$ ad $pi/3$ e quindi la funzione retta con coefficiente angolare $m=1/2$ sarà sopra alla funzione seno dal valore $y=1$ in poi, cioè all'infinito :!:

Dato che il seno ha il massimo valore per $y=1$ 8-[ 8-[ 8-[

Allora la coordinata $x$ che mi serve si ricava da $x/2=1$ sarà $x=2$, vero???

burm87
Non riesco a seguire i ragionamenti che fai, però il fatto che tu stia dando degli intervalli ben precisi è indice del fatto che stai sbagliando secondo me.

minomic
Che roba è $pi/8$? Da dove esce? :)
E di nuovo: che c'entra l'angolo formato dalla retta? Poi quel $pi/3$... Non vorrei ripetermi ma... che roba è? :)
Ti posto la soluzione completa. Tu guardala e poi ci fai sapere se hai dei dubbi, ok?
Allora abbiamo da risolvere $$\frac{x}{2}>\sin x$$
Disegniamo il grafico e scopriamo che, per $x>0$, queste due curve si intersecano in due punti: uno è l'origine e l'altro è ignoto (e NON E' NOTEVOLE). Possiamo dire che questa soluzione è compresa tra $1$ e $2$, quindi possiamo cercare una soluzione approssimata per esempio attraverso il metodo di bisezione. Posso dirti che la soluzione è $x=1.895494267033981$.
Bene! Ora, limitandoci a considerare il caso $x>0$, possiamo affermare che la retta $y=x/2$ sta sopra al seno per $x>alpha$, dove $alpha=1.895494267033981$.

Bad90
Ok, per la bisezione, ma senza pensare ai calcoli, si potrebbe anche dire che se il seno ha il valore massimo per $y=1$, allora la coordinata $x$ della retta che starà al di sopra della funzione seno, sarà da circa $x=2*1=2$, però il fatto della bisezione, è senz'altro il migliore, vero?

minomic
"Bad90":
Ok, per la bisezione, ma senza pensare ai calcoli, si potrebbe anche dire che se il seno ha il valore massimo per $y=1$, allora la coordinata $x$ della retta che starà al di sopra della funzione seno, sarà da circa $x=2*1=2$, però il fatto della bisezione, è senz'altro il migliore, vero?

Io non sono convinto della validità di questo ragionamento. Ti porterebbe a dire che l'intersezione tra la retta $y=4x$ e $y=\sin x$ è a circa $x=1/4$, vero?

Bad90
"minomic":

Allora abbiamo da risolvere $$\frac{x}{2}>\sin x$$
Disegniamo il grafico e scopriamo che, per $x>0$, queste due curve si intersecano in due punti: uno è l'origine e l'altro è ignoto (e NON E' NOTEVOLE). Possiamo dire che questa soluzione è compresa tra $1$ e $2$, quindi possiamo cercare una soluzione approssimata per esempio attraverso il metodo di bisezione. Posso dirti che la soluzione è $x=1.895494267033981$.
Bene! Ora, limitandoci a considerare il caso $x>0$, possiamo affermare che la retta $y=x/2$ sta sopra al seno per $x>alpha$, dove $alpha=1.895494267033981$.

Allora, vediamo se riesco a replicare i calcoli che hai fatto per bisezione:
$x= alpha$ e $0 Potresti farmi vedere uno step di calcoli?

minomic
Forza Bad, ti avevo già postato uno svolgimento completo con bisezione e i passaggi sono sempre quelli! :roll:
Comunque... la soluzione sta tra $1$ e $2$ (puoi prendere anche \(\left[0,2\right]\) ma viene più lungo). Abbiamo $$f(x)=\sin x-\frac{x}{2}$$ $$f(1)=0.34$$ $$f(2)=-0.09$$ $$f(1.5) = 0.24 > 0$$ Allora la soluzione sta in \(\left[1.5, 2\right]\). Prendiamo di nuovo il punto medio e ripetiamo il procedimento...

Bad90
Si, si! Adesso ho preso il quaderno con gli appunti che ho preso quando mi hai spiegato quel metodo favolasemente chiaro!
Sono arrivato alla tua stessa conclusione
OLEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE

TEOREMA DEGLI ZERIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

:smt023

A me viene fuori $x= 1.84$ ma è un problema di approssimazioni :smt023

minomic
"Bad90":
A me viene fuori $x= 1.84$ ma è un problema di approssimazioni :smt023

In teoria non dovrebbe. Con bisezione puoi arrivare ad uno scarto arbitrariamente piccolo. Comunque non sono questi i problemi gravi... :wink:

Bad90
"minomic":
[quote="Bad90"]A me viene fuori $x= 1.84$ ma è un problema di approssimazioni :smt023

In teoria non dovrebbe. Con bisezione puoi arrivare ad una precisione arbitrariamente piccola. Comunque non sono questi i problemi gravi... :wink:[/quote]
Si, ma io mi sono fermato a due cifre decimali, cioè due cifre dopo la virgola!
Si dice così, no?

Bad90
Scusate, ma il limite seguente, quanto fa?

$lim_(x->+oo) (-2sinx)$

Se il seno oscilla tra $-1$ ed $1$, come fa a fare $-2$ :?:

Ed il limite $lim_(x->+oo) (x-2sinx)/(x)$

minomic
"Bad90":

Si, ma io mi sono fermato a due cifre decimali, cioè due cifre dopo la virgola!
Si dice così, no?

Ah sì sì allora va bene!

Il limite $$\lim_{x\to +\infty}-2\sin x$$ non esiste. Però la tua funzione è $$x-2\sin x$$ che tende all'infinito grazie alla presenza del termine $x$.
Per quanto riguarda il limite $$\lim_{x\to +\infty}\frac{x-2\sin x}{x}$$ questo fa $1$. Sai dirmi il perché? ;)

Bad90
"minomic":
[quote="Bad90"]
Si, ma io mi sono fermato a due cifre decimali, cioè due cifre dopo la virgola!
Si dice così, no?

Ah sì sì allora va bene!

Il limite $$\lim_{x\to +\infty}-2\sin x$$ non esiste. Però la tua funzione è $$x-2\sin x$$ che tende all'infinito grazie alla presenza del termine $x$.
Per quanto riguarda il limite $$\lim_{x\to +\infty}\frac{x-2\sin x}{x}$$ questo fa $1$. Sai dirmi il perché? ;)[/quote]

Perchè per il limiti che tendono a $+-oo$, si può pensare alle variabili di indice maggiore e quindi è:

$lim_(x->+oo) (x-2sinx)/(x) ~ lim_(x->+oo) (x)/(x) = 1$

minomic
Sì esatto, visto che $(sin x)/x \to 0$

Bad90
"minomic":

Allora abbiamo da risolvere $$\frac{x}{2}>\sin x$$
Disegniamo il grafico e scopriamo che, per $x>0$, queste due curve si intersecano in due punti: uno è l'origine e l'altro è ignoto (e NON E' NOTEVOLE). Possiamo dire che questa soluzione è compresa tra $1$ e $2$, quindi possiamo cercare una soluzione approssimata per esempio attraverso il metodo di bisezione. Posso dirti che la soluzione è $x=1.895494267033981$.
Bene! Ora, limitandoci a considerare il caso $x>0$, possiamo affermare che la retta $y=x/2$ sta sopra al seno per $x>alpha$, dove $alpha=1.895494267033981$.


Sono andato a rivedere i calcoli tenendo le approssimazione in modo più preciso....
L'ultimo passaggio che ho fatto è:

$x= alpha$ e $1.84048843 Allora la mia $y$ sarà:

$f(1.920244215) = 1.853227594$

ma come hai fatto ad avere $1.89..........$ :?:

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.