Studio di funzione periodica
Non sto riuscendo a capire come si fa la derivata prima della seguente funzione:
$f(x) = |cosx|+sin2x$
Mi sono affidato al WolframeAlpha e ho notato che mi scrive anche la derivata in questo modo:
$ f'(x) = 1/2|e^(-ix) +e^(ix)|+1/2ie^(-2ix) - 1/2ie^(2ix)$
Ma come ci si arriva?
Ecco il link:
[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=f'(x)%20%3D%20%7Ccosx%7C%2Bsin2x&t=crmtb01[/url]
$f(x) = |cosx|+sin2x$
Mi sono affidato al WolframeAlpha e ho notato che mi scrive anche la derivata in questo modo:
$ f'(x) = 1/2|e^(-ix) +e^(ix)|+1/2ie^(-2ix) - 1/2ie^(2ix)$
Ma come ci si arriva?
Ecco il link:
[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=f'(x)%20%3D%20%7Ccosx%7C%2Bsin2x&t=crmtb01[/url]
Risposte
"minomic":
Mettiamo un po' di ordine... Per prima cosa lo studio del segno della derivata non ti dice dove la funzione è positiva/negativa ma dove è crescente/decrescente e c'è una bella differenza!
Poi c'è qualcosa che non va nella scomposizione. Dovresi ottenere $$(x-1)(2x^2+6x+3)$$ La soluzione $x=1$ è corretta ma le altre due no. Infatti risolviamo $$2x^2+6x+3 = 0 \quad\rightarrow\quad x=-3\pm\sqrt{3}$$ Tutto chiaro? Però vedi di ripassarle queste cose perché sono fondamentali!
Ok perfetto! Lo so che lo studio sulla derivata prima mi da i massimi e minimi, ma non sto bene questa sera!
Mi e' venuto un gran mal di testa, e ho perso la concentrazione e mi sa che per questa sera se non passa, conviene lasciar stare e riprendere domattina!
Buona idea! Per fare matematica bisogna essere lucidi. A proposito... avevo scordato la divisione per $2$ nelle soluzioni dell'equazione ma ho già corretto.
Mi intrometto per una precisazione: da
$2x^2+6x+3=0$
si ricava
$x=(-3+-sqrt3)/2$
e ricordando la formula $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ la fattorizzazione del numeratore è
$2(x-1)(x-(-3+sqrt3)/2)(x-(-3-sqrt3)/2)$
Se Bad90 preferisce non avere frazioni nelle parentesi, deve aggiungere un altro fattore 2 (e quindi anche una divisione per 2) e scrivere
$=1/2(x-1)(2x+3-sqrt3)(2x+3+sqrt3)$
$2x^2+6x+3=0$
si ricava
$x=(-3+-sqrt3)/2$
e ricordando la formula $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ la fattorizzazione del numeratore è
$2(x-1)(x-(-3+sqrt3)/2)(x-(-3-sqrt3)/2)$
Se Bad90 preferisce non avere frazioni nelle parentesi, deve aggiungere un altro fattore 2 (e quindi anche una divisione per 2) e scrivere
$=1/2(x-1)(2x+3-sqrt3)(2x+3+sqrt3)$
giammaria always welcome! 
Adesso ho iniziato con la seguente:
$f(x) = (x^2+1)/(e^(|x-1|))$
Ma perchè non si può dire che la funzione è pari????
Ma non si può fare in questo modo???
$f(-x) = ((-x)^2+1)/(e^(|-x|+ |-1|)) = (x^2+1)/(e^(x+1)) != f(x)$
Se ho fatto bene i passaggi, si può dire che non è ne pari e ne dispari e allora sarà:
$f(-x)!=f(x)$
Vero???
$f(x) = (x^2+1)/(e^(|x-1|))$
Ma perchè non si può dire che la funzione è pari????
Ma non si può fare in questo modo???
$f(-x) = ((-x)^2+1)/(e^(|-x|+ |-1|)) = (x^2+1)/(e^(x+1)) != f(x)$
Se ho fatto bene i passaggi, si può dire che non è ne pari e ne dispari e allora sarà:
$f(-x)!=f(x)$
Vero???
No Bad: il modulo di una somma non è uguale alla somma dei moduli. Puoi ricordare la disuguaglianza triangolare.
Comunque questa funzione non è pari perché $$|x-1| \neq |-x-1|$$
Comunque questa funzione non è pari perché $$|x-1| \neq |-x-1|$$
$f(-x)=((-x)^2+1)/(e^(|-x-1|))=(x^2+1)/(e^(|-x-1|))$, non mi pare uguale a $f(x)$.
"minomic":
No Bad: il modulo di una somma non è uguale alla somma dei moduli. Puoi ricordare la disuguaglianza triangolare.
Comunque questa funzione non è pari perché $$|x-1| \neq |-x-1|$$
Infatti se non erro è:
Se ho $|x-1|$ e faccio:
$f(-x) = (|-x|+ |-1|)) = (x+1) !=f(x)$
Giusto?
No, non puoi spezzare il modulo in due moduli!
"minomic":
No, non puoi spezzare il modulo in due moduli!
Quindi mi devo limitare a dire che :
$f(-x)=((-x)^2+1)/(e^(|-x-1|))=(x^2+1)/(e^(|-x-1|))!=f(x)$ Giusto??
Scusami, ma se faccio la disuguaglianza triangolare, lo posso fare ma devo aggiungere $+1$ e sottrarre $-1$, vero?
Sì, la formula che hai scritto ora è giusta.
La disuguaglianza triangolare non c'entra, era solo per dire che non puoi spezzare il modulo della somma nella somma dei moduli dal momento che vale $$|a+b| \leq |a|+|b|$$
La disuguaglianza triangolare non c'entra, era solo per dire che non puoi spezzare il modulo della somma nella somma dei moduli dal momento che vale $$|a+b| \leq |a|+|b|$$
Insomma, fare la disuguaglianza triangolare, è corretto fare in questo modo??
$|x-1|= |x-1 +1-1|<=|x-1|+|1-1|$ Poi come devo continuare?
Come si potrebbe fare con la disuguaglianza triangolare???
$|x-1|= |x-1 +1-1|<=|x-1|+|1-1|$ Poi come devo continuare?
Come si potrebbe fare con la disuguaglianza triangolare???
Ripeto: la disuguaglianza triangolare non c'entra niente in questo studio di parità/disparità. 
"minomic":
Ripeto: la disuguaglianza triangolare non c'entra niente in questo studio di parità/disparità.
Ok, allora lasciamo stare
In questa funzione si devono studiare due casi:
1) $f(x) = (x^2+1)/(e^(|x-1|))$ se $x-1>0=> x>1$
2) $f(x) = (x^2+1)/(e^(-(x-1)))$ se $x-1<0=> x<1$
Ho detto bene?????
1) $f(x) = (x^2+1)/(e^(|x-1|))$ se $x-1>0=> x>1$
2) $f(x) = (x^2+1)/(e^(-(x-1)))$ se $x-1<0=> x<1$
Ho detto bene?????
Sì quello che hai scritto va bene. Se vogliamo essere pignoli ci manca il valore $1$ che di solito si include (per convenzione) con il maggiore. Quindi $...$ se $x-1 >=0 \Rightarrow x >= 1$.
In ogni caso i primi passaggi vengono meglio se tieni il valore assoluto. Parlo del dominio, lo studio del segno, le intersezioni con gli assi, ... Poi se ci sarà bisogno spezzerai in quelle due funzioni.
In ogni caso i primi passaggi vengono meglio se tieni il valore assoluto. Parlo del dominio, lo studio del segno, le intersezioni con gli assi, ... Poi se ci sarà bisogno spezzerai in quelle due funzioni.
Gli unici limiti che bisogna calcolare sono quelli che vanno per $+oo$ e $-oo$, quindi comincio con il primo caso che va per $x-1>0$ e quindi tratto prima $x>1$, il caso 1:
1) $f(x) = (x^2+1)/(e^(|x-1|))$ se $x-1>0=> x>1$
$lim_(x->+oo) (x^2+1)/(e^(|x-1|)) = (+oo)/(+oo)$ Applico Hopital.
$lim_(x->+oo) (2x)/(e^x) = 0 $ perchè il denominatore cresce molto più rapidamente del numeratore.
1) $f(x) = (x^2+1)/(e^(|x-1|))$ se $x-1>0=> x>1$
$lim_(x->+oo) (x^2+1)/(e^(|x-1|)) = (+oo)/(+oo)$ Applico Hopital.
$lim_(x->+oo) (2x)/(e^x) = 0 $ perchè il denominatore cresce molto più rapidamente del numeratore.
Sì va bene. Qualche appunto: visto che sei nel caso $x\to +oo$ il valore assoluto si può togliere. Inoltre la derivata di $e^(x-1)$ è proprio $e^(x-1)$ e non $e^x$.
Infine potevi anche fare a meno di Hopital perché sopra hai comunque un polinomio e sotto un'esponenziale, per cui il limite fa $0$.
Infine potevi anche fare a meno di Hopital perché sopra hai comunque un polinomio e sotto un'esponenziale, per cui il limite fa $0$.
"minomic":
Sì va bene. Qualche appunto: visto che sei nel caso $x\to +oo$ il valore assoluto si può togliere. Inoltre la derivata di $e^(x-1)$ è proprio $e^(x-1)$ e non $e^x$.
Infine potevi anche fare a meno di Hopital perché sopra hai comunque un polinomio e sotto un'esponenziale, per cui il limite fa $0$.
Idem per il caso $(-oo)$, vero? :
$lim_(x->-oo) (x^2+1)/(e^(|x-1|)) = (+oo)/(+oo)$
$lim_(x->- oo) f(x)= 0 $
Un, attimo che non serve considerare il limite per $x->-oo$ per il primo caso, perchè quello lo considereremo nello studio del caso $x<1$, vero???
Quindi nel primo caso, cioè per $x>1$ quello che serve è solo il limite per $x->+oo$, vero????
Sì, il limite per $x\to +oo$ lo guardi nel caso $x>1$ mentre l'altro limite lo guardi nell'altro caso.
Anche qui, visto che $x\to -oo$ puoi togliere il modulo: $$\lim_{x\to -\infty} \frac{x^2+1}{e^{1-x}} = 0$$
Anche qui, visto che $x\to -oo$ puoi togliere il modulo: $$\lim_{x\to -\infty} \frac{x^2+1}{e^{1-x}} = 0$$
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