Studio di funzione periodica

Bad90
Non sto riuscendo a capire come si fa la derivata prima della seguente funzione:
$f(x) = |cosx|+sin2x$

Mi sono affidato al WolframeAlpha e ho notato che mi scrive anche la derivata in questo modo:
$ f'(x) = 1/2|e^(-ix) +e^(ix)|+1/2ie^(-2ix) - 1/2ie^(2ix)$

Ma come ci si arriva?

Ecco il link:

[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=f'(x)%20%3D%20%7Ccosx%7C%2Bsin2x&t=crmtb01[/url]

Risposte
Bad90
Ok, perfetto! :smt023

Bad90
Adesso sto risolvendo loa seguente:

$f(x) = sqrt(1-log(1-x))$

Il dominio è $D: 1-e<=x<0$.
Non è ne pari ne dispari.

E fino a qui è tutto corretto..... :-)

Limiti,(Comportamento ai bordi di $C.E.$)

Adesso io non capisco perchè a me vengono di calcolare i seguenti limiti:

$lim_((x->1-e)^+) (sqrt(1-log(1-x)))=0$

$lim_(x->0^-) (sqrt(1-log(1-x)))=1$

Mentre nella soluzione del testo, c'è solo $lim_(x->1^-) (sqrt(1-log(1-x)))=+oo$ :?: :?: :?: :?:

Perchè tratta quel limite e non i miei????

minomic
Per prima cosa il C.E. che hai trovato e sbagliato: viene $$1-e \leq x < 1$$ Poi si calcola solo il limite per $x \to 1^-$ perché il valore $1-e$ è ammissibile per la funzione, quindi non c'è alcun bisogno di calcolare il limite. Volendo si può calcolare direttamente $f(1-e)$.

Bad90
"minomic":
Per prima cosa il C.E. che hai trovato e sbagliato: viene $$1-e \leq x < 1$$ .


Ho capito, ho sbagliato io!

Ma non sto riuscendo a capire come hai fatto a trovare quel $1$ in $$... \leq x < 1$$ :roll: :?:

minomic
Il logaritmo esiste se il suo argomento è strettamente maggiore di $0$, quindi $1-x > 0$, cioè $x<1$. Aggiungi l'esistenza della radice e hai fatto.

Bad90
"minomic":
Il logaritmo esiste se il suo argomento è strettamente maggiore di $0$, quindi $1-x > 0$, cioè $x<1$. Aggiungi l'esistenza della radice e hai fatto.

Accipicchia, hai ragione, io invece stavo considerando quella parte del dominio, come $log(1-x)>0$ e invece dovevo trattare solo l'argomento $(1-x)>0$! :smt023

Bad90
"minomic":
..il valore $1-e$ è ammissibile per la funzione, quindi non c'è alcun bisogno di calcolare il limite. Volendo si può calcolare direttamente $f(1-e)$.

Non mi è tanto chiaro il perchè :?:

minomic
I limiti vanno calcolati negli estremi del dominio, ma solo quelli esclusi. Negli altri non ha proprio senso calcolare il limite, perché non c'è alcun bisogno. Ricorda che il limite serve per vedere cosa fa la funzione quando ti avvicini ad un certo valore che però non puoi raggiungere, quindi qui non serve perché il valore $1-e$ lo puoi raggiungere con precisione, dato che fa parte del dominio (al contrario del valore $1$ che invece è escluso). Se vuoi puoi ricordare questo: scrivi il dominio sotto forma di intervalli $$D=\left[1-e, 1\right)$$ e calcoli il limite solo in corrispondenza di parentesi tonde.

Bad90
"minomic":
Se vuoi puoi ricordare questo: scrivi il dominio sotto forma di intervalli $$D=\left[1-e, 1\right)$$ e calcoli il limite solo in corrispondenza di parentesi tonde.

O YESSSSSSSSSSSSSSSS :smt023

Bad90
Ma come può esistere un limite del genere??

$lim_(x->+oo) sqrt(1-log(1-x)) = +oo$ :?:

Io penso che non possa esistere perchè l'argomento del logaritmo, non può essere di un valore $1$ meno un qualcosa di infinitamente negativo, perchè questo porterebbe l'argomento del logaritmo ad essere negativo!

Perchè dice che esiste?

E' come se si ha:

$lim_(x->+oo) sqrt(1-log(1- oo)) $

Come può essere questo?

Posso credere a questo:


$lim_(x->-oo) sqrt(1-log(1+ oo)) $

Ma non ha questo:

$lim_(x->+oo) sqrt(1-log(1- oo)) $

:?: :?: :?: :?:

HELPPPPPPPPPPPPPPPPP

minomic
Infatti direi che non esiste. Ma da dove salta fuori? L'unico limite che c'era da calcolare era quello per $x\to 1^-$.
Al massimo il logaritmo esiste per $x\to -oo$ ma poi non esiste la radice.

Bad90
"minomic":
Infatti direi che non esiste. Ma da dove salta fuori? L'unico limite che c'era da calcolare era quello per $x\to 1^-$.
Al massimo il logaritmo esiste per $x\to -oo$ ma poi non esiste la radice.


Io usualmente, nello studio di funzione, tendo a verificare l'esistenza di asisntoti obbliqui, allora cerco l'esistenza di un limite della forma
$lim_(x->+-oo) f(x) = +-oo $ :!:

Ma allora perchè quel birbante di Wolframe Alpha mi ha dato che esiste per entrambi i casi??

Io penso che lui considera anche il campo complesso, insomma, mi sembra proprio che è il Wolframe Alpha che non ha limiti :?: :!: :(

minomic
Non so come funzioni Wolfram, però so una cosa: una funzione può ammettere asintoto obliquo se almeno uno dei suoi rami va all'infinito per $x\to +- oo$. Qui non avresti dovuto nemmeno porti il problema, dal momento che la $x$ può assumere solo valori compresi tra $1-e$ e $1$. Non c'è proprio possibilità che ci sia un asintoto obliquo.

Bad90
"minomic":
dal momento che la $x$ può assumere solo valori compresi tra $1-e$ e $1$. Non c'è proprio possibilità che ci sia un asintoto obliquo.


Hai pienamente ragione!

Bad90
Scusami, ma perchè la funzione è sempre positiva?

Ho pensato di far in questo modo:

$1-log(1-x)>0$ mi porta ad $x>1-e$ solo che poi comincio a contraddirmi pensando al fatto che una radice quadra è sempre positiva e quindi è sempre $>=0$, ma non ne sono sicuro del fatto che deve essere per forza sempre positiva!

minomic
Cerca sempre di ragionare! La funzione è una radice, quindi è sempre positiva.

Bad90
"minomic":
Cerca sempre di ragionare! La funzione è una radice, quindi è sempre positiva.


Perfetto, allora adesso sono sicuro del fatto che non bisogna risolvere nessuna disequazione e si vede subito a colpo d'occhio la positività! :smt023

minomic
Esatto. Quindi, prima di fare dei calcoli, rifletti sempre!

Bad90
Per disegnare il grafico, basta arrivare alla derivata prima, bene, solo che mi sembra che in $x=1-e$ ci sia una tangente verticale all'asintoto e adesso mi chiedo come fa a capirsi con i calcoli questo fatto?

minomic
In $1-e$ non c'è un asintoto perché quel valore è ammissibile per la funzione. Se mai possiamo dire che la tangente è verticale perché la derivata calcolata in $1-e$ tende a $oo$.

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