Studio di funzione periodica

[Bad90]

Non sto riuscendo a capire come si fa la derivata prima della seguente funzione:
$f(x) = |cosx|+sin2x$

Mi sono affidato al WolframeAlpha e ho notato che mi scrive anche la derivata in questo modo:
$ f'(x) = 1/2|e^(-ix) +e^(ix)|+1/2ie^(-2ix) - 1/2ie^(2ix)$

Ma come ci si arriva?

Ecco il link:

[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=f'(x)%20%3D%20%7Ccosx%7C%2Bsin2x&t=crmtb01[/url]

[Bad90]

E adesso mi trovo con la derivata seconda che è $f''(x) = (e^x x^2 + e^x x -2)/(x+1)^3$

E come si risolve il numeratore????

[Bad90]

E adesso mi trovo con la derivata seconda che è $f''(x) = (e^x (x^2 + 1) -2)/(x+1)^3$

E come si risolve il numeratore???? $(e^x (x^2 + 1) -2)/(x+1)^3>0$

Allora il denominatore è positivo $AA x in R$ E il numeratore si risolve ancora per via grafica???

[burm87]

La considerazione sullo studio grafico mi sembra corretta. Per quanto riguarda la derivata seconda... mmmmm... studio grafico?

[Bad90]

"burm87":La considerazione sullo studio grafico mi sembra corretta. Per quanto riguarda la derivata seconda... mmmmm... studio grafico?

E come faccio???
Allora il denominatore è positivo $AA x in R$

E come si risolve il numeratore???? $(e^x (x^2 + 1) -2)/(x+1)^3>0$

IO ho penzato che il prodotto $e^x (x^2 + 1)$ è dato da un valore sempre positivo $(x^2 + 1)$, allora mi concentro su quel $e^x >2$, giusto?

[burm87]

Hai $e^x(x^2+1)>2$ quindi $e^x>2/(x^2+1)$.

[Bad90]

"burm87":Hai $e^x(x^2+1)>2$ quindi $e^x>2/(x^2+1)$.

E si, allora è che il prodotto $e^x (x^2 + 1)$ è dato da un valore sempre positivo $(x^2 + 1)$, allora mi concentro su quel $e^x >2$, giusto? Quindi $x>ln 2$

[giammaria2]

Non so dirti perché, ma i grafici sono sbagliati: quello di $y=-1/x$ dovrebbe passare per $(-1,1)$ e quello di $y=e^x$ dovrebbe passare per $(0,1)$ e continuare a destra nel primo quadrante.
Inoltre per ottenere quella forma hai diviso per $x$ la $xe^x> -1$ e non si può dividere una disequazione per una grandezza di cui non sa il segno. Il metodo migliore era dividerla per $e^x$: ottieni $x> -e^(-x)$ e dal grafico vedi subito che è sempre vera.
Se davvero il grafico fosse quello da te disegnato, la conclusione sarebbe: per $x$ negativo, la prima curva è sopra alla seconda e quindi la disequazione è verificata. Per $x$ positivo o nullo, la prima curva non esiste e quindi la disequazione non ha senso: evidentemente stiamo uscendo dal dominio della funzione o abbiamo fatto qualche errore.

Anche per la derivata seconda ti conviene dividere per $e^x$: ottieni una parabola ed un esponenziale. Quest'ultimo è moltiplicato per 2 ed ha la $x$ cambiata di segno, ma il suo grafico è comunque facile da disegnare.
La tua ultima idea è frutto di pazzia momentanea: le la disequazione fosse stata
$x>2/(x^2+1)$
col tuo ragionamento avresti concluso che si ha $x>2$. Invece, notando che il denominatore è positivo e quindi si può dare denominatore comune trascurandolo, i calcoli giusti erano
$x(x^2+1)>2$
$x^3+x-2>0$
e poi continuavi con Ruffini.

Un consiglio per l'esame: accertati che avresti saputo disegnare le curve anche senza il computer. All'esame non lo avrai.

[Bad90]

"giammaria":Non so dirti perché, ma i grafici sono sbagliati: quello di $y=-1/x$ dovrebbe passare per $(-1,1)$ e quello di $y=e^x$ dovrebbe passare per $(0,1)$ e continuare a destra nel primo quadrante.

Ma vedi che è tutto ok per i grafici, sono quelli i punti in cui passa!

[Bad90]

"giammaria":
Inoltre per ottenere quella forma hai diviso per $x$ la $xe^x> -1$ e non si può dividere una disequazione per una grandezza di cui non sa il segno. Il metodo migliore era dividerla per $e^x$: ottieni $x> -e^(-x)$ e dal grafico vedi subito che è sempre vera.

Su questo hai pienamente ragione!
A fortuna la mia soluzione non cambia dalla tua

[Bad90]

"giammaria":

Anche per la derivata seconda ti conviene dividere per $e^x$: ottieni una parabola ed un esponenziale. Quest'ultimo è moltiplicato per 2 ed ha la $x$ cambiata di segno, ma il suo grafico è comunque facile da disegnare.
.

Ma per la derivata seconda, come ho fatto io sono riuscito lo stesso ad arrivare al punto che mi interessa, cioè $P_f = (0.69,0.58)$

"giammaria":

Un consiglio per l'esame: accertati che avresti saputo disegnare le curve anche senza il computer. All'esame non lo avrai.

Ma io infatti li disegno su carta e solo poi faccio la verifica sul software e posto poi le immagini qui'!

[giammaria2]

Per il grafico hai ragione: io stupidamente l'avevo letto male. Continua però a valere l'osservazione che non potevi dividere per $x$.
Va bene anche che tu usi il computer solo per postare i grafici; volevo solo accertarmi che fosse davvero così.
Per la derivata seconda ho diviso per $e^x$ in modo da ottenere grafici facili. Salvo errori, ottengo
$x^2+1>2e^(-x)$
ma non trovo il numero che indichi.

[Bad90]

"giammaria":Per il grafico hai ragione: io stupidamente l'avevo letto male. Continua però a valere l'osservazione che non potevi dividere per $x$.
Va bene anche che tu usi il computer solo per postare i grafici; volevo solo accertarmi che fosse davvero così.
Per la derivata seconda ho diviso per $e^x$ in modo da ottenere grafici facili. Salvo errori, ottengo
$x^2+1>2e^(-x)$

Si, adesso sto proprio disegnando il grafico della parabola, che è immediato!

[Bad90]

E adesso come faccio a determinare il punto di intersezione?
Dovrei procedere per bisezione, senza essere troppo preciso, ma come faccio a sapere se ho su carta due grafici noti di cui so solo i punti di intersezioni con gli assi???

[Bad90]

Ma come faccio a determinare la positività della seguente funzione?

$e^(-cos^2x) sinx>0$

[chiaraotta1]

Poiché $e^(-cos^2x)$ è $>0$ per ogni $x$, $e^(-cos^2x) sinx$ è $>0$ dove $sinx>0$. Cioè per $2kpi

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[Bad90]

Grazie mille chiaraotta

Sempre per la stessa funzione $f(x) = e^(-cos^2x) sinx$ ho ricavato la derivata prima in pochi passaggi si arriva a:

$f'(x) = (cosx + 2sen^2(x) cosx)/(e^(cos^2(x)))$

Ma se devo ricavare la derivata seconda, e lo so fare benissimo, mi viene la paranoia!?!?
E' troppo lunga da calcolare e chiedevo a voi che ne sapete più di me, se conoscete qualche scorciatoia per arrivare a risolvere con pochi passaggi la derivata seconda????

[giammaria2]

L'unica scorciatoia che vedo è scrivere la derivata prima nella forma
$f'(x)=e^(-cos^2x)(cosx+2sin^2xcosx)$
perché derivare un prodotto è più breve che derivare una frazione. I calcoli sono lunghetti ma non mostruosi.