Studio di funzione periodica
Non sto riuscendo a capire come si fa la derivata prima della seguente funzione:
$f(x) = |cosx|+sin2x$
Mi sono affidato al WolframeAlpha e ho notato che mi scrive anche la derivata in questo modo:
$ f'(x) = 1/2|e^(-ix) +e^(ix)|+1/2ie^(-2ix) - 1/2ie^(2ix)$
Ma come ci si arriva?
Ecco il link:
[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=f'(x)%20%3D%20%7Ccosx%7C%2Bsin2x&t=crmtb01[/url]
$f(x) = |cosx|+sin2x$
Mi sono affidato al WolframeAlpha e ho notato che mi scrive anche la derivata in questo modo:
$ f'(x) = 1/2|e^(-ix) +e^(ix)|+1/2ie^(-2ix) - 1/2ie^(2ix)$
Ma come ci si arriva?
Ecco il link:
[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=f'(x)%20%3D%20%7Ccosx%7C%2Bsin2x&t=crmtb01[/url]
Risposte
Ti ricordo che è dispari se $$f(-x)=-f(x)$$ 
"minomic":
Ti ricordo che è dispari se $$f(-x)=-f(x)$$
Ok, perfetto, adesso ricordo
Ovviamente il suo dominio è $D=(-oo,+oo)$, non ha limiti e anche se fosse $x=0$, la funzione esisterebbe ugualmente, vero?
"Bad90":
Ovviamente il suo dominio è $D=(-oo,+oo)$, non ha limiti e anche se fosse $x=0$, la funzione esisterebbe ugualmente, vero?
Certamente.
In seguito al fatto che sia dispari, ci sarà un simmetrico rispetto all'origine, allora potrò scegliere un $C.S.$ che sia tra $0$ e $pi/2$ , oppure che va da $0$ e $pi$:?:
Anche se la $C.E.$ è in $T=2pi$, penso che posso limitare lo studio ad un $C.S.$ (Campo di studio), vero?
Allora, che intervallo potrò scegliere per un $C.S.$ che agevoli i calcoli???
Anche se la $C.E.$ è in $T=2pi$, penso che posso limitare lo studio ad un $C.S.$ (Campo di studio), vero?
Allora, che intervallo potrò scegliere per un $C.S.$ che agevoli i calcoli???
In linea generale, se la funzione è dispari, puoi limitare lo studio per esempio da $0$ in poi e sai che quello che accade a destra accadrà, opposto, a sinistra.
Concordo con burm87. Il problema di questa funzione è quel termine $x$ che la rende non-periodica. Quindi potrai studiarla in $(0, +oo)$
"minomic":
Concordo con burm87. Il problema di questa funzione è quel termine $x$ che la rende non-periodica. Quindi potrai studiarla in $(0, +oo)$
Scusami, io sto pensando alla circonferenza goniometrica, bene, allora avrò l'asse x ed y che si incontrano in $x=0$, bene, quali intervalli posso prendere come $C.S.$
Se fosse pari, prenderei $0, pi/2$ e so chè ci sarà un simmetrico rispetto alla $y$, ma in questo caso come si potrebbe limitare ad un campo di studio più rapido?
Poi perchè la funzione non è periodica per la presenza di quella $x$
Io ti consiglio di lasciar stare la circonferenza goniometrica e pensare ad un normalissimo piano cartesiano.
Non puoi limitare ulteriormente il campo di studio. Quella funzione non è periodica proprio per la presenza di quella $x$ che è una "componente" non periodica della funzione. Parlare di "componente" non è molto appropriato ma rende abbastanza l'idea.
Perchè la $x$ la rende non periodica
Positività della funzione.
Prima ho accennato le mie intenzioni su come mi sarei comportato per una disequazione o equazione, bene, adesso provo a fare in questo modo per vedere dove la funzione è positiva:
$senx - xcosx>0$
$cosx((senx)/(cosx) - (xcosx)/(cosx))>0$
Arrivando alla seguente:
$cosx(tgx - x)>0$
Quale metodo conviene utilizzare per essere più veloci??
Prima ho accennato le mie intenzioni su come mi sarei comportato per una disequazione o equazione, bene, adesso provo a fare in questo modo per vedere dove la funzione è positiva:
$senx - xcosx>0$
$cosx((senx)/(cosx) - (xcosx)/(cosx))>0$
Arrivando alla seguente:
$cosx(tgx - x)>0$
Quale metodo conviene utilizzare per essere più veloci??
Il primo fattore è immediato. Per il secodo direi il metodo grafico.
Allora per via grafica si procede in questo modo:
$senx>xcosx$
il grafico di $senx $ è noto, solo che come devo fare a ricavare il grafico di $xcosx$
A me sembra che ci sia una retta $y=x$ che moltiplica la funzione $cosx$
Ma come si fa a risolverlo graficamente??
$senx>xcosx$
il grafico di $senx $ è noto, solo che come devo fare a ricavare il grafico di $xcosx$
A me sembra che ci sia una retta $y=x$ che moltiplica la funzione $cosx$
Ma come si fa a risolverlo graficamente??
No io dicevo di applicare il metodo grafico al secondo fattore, cioè a $tan x-x$.
Ma questa funzione l'hai trovata da qualche parte o l'hai inventata? Perché il suo studio non mi sembra banale...
Ma questa funzione l'hai trovata da qualche parte o l'hai inventata? Perché il suo studio non mi sembra banale...
"minomic":
No io dicevo di applicare il metodo grafico al secondo fattore, cioè a $tan x-x$.
Ma questa funzione l'hai trovata da qualche parte o l'hai inventata? Perché il suo studio non mi sembra banale...
Ok, scusami, abbiamo fatto confusione....
Allora, la disequazione va bene, ok, vorrei capire come farlo graficamente quanto mi dici, se puoi spiegarmelo, te ne ringrazierei un sacco, nel frattempo io svolgo i calcoli e li posto, del metodo che mi viene in mente
Per via grafica hai che $tgx>x$, disegni in un piano il grafico di $tgx$ e di $x$ e valuti per quale punto/i il grafico della tangente sta sopra al grafico della retta.
"burm87":
Per via grafica hai che $tgx>x$, disegni in un piano il grafico di $tgx$ e di $x$ e valuti per quale punto/i il grafico della tangente sta sopra al grafico della retta.
Penso che sia l'unico metodo facile e rapido, ecco i risultati che ho ottenuto:
Il grafico noto $f(x) = x$ ha un angolo di $alpha = pi/4$, bene, la tangente ha il suo valore in $alpha = pi/4$ ma dopo, fino a $pi/2$, si ha il valore massimo, ovviamente il valore $pi/2$ escluso!
E poi si ha nuovamente un valore maggiore da $5/4pi$ a $3/2 pi$, vero?
Comunque, per via grafica, come abbiamo detto, ho ottenuto che:
$cosx(tgx - x)>0$
$cosx>0$ in $0+2kpi
$tgx>x$ in $pi/4 +kpi
La soluzione finale sarà:
Positiva in $pi/4
Dite che ho fatto bene????
$cosx(tgx - x)>0$
$cosx>0$ in $0+2kpi
$tgx>x$ in $pi/4 +kpi
La soluzione finale sarà:
Positiva in $pi/4
Dite che ho fatto bene????
Perchè la $x$ la rende non periodica
No, direi che non hai fatto bene. Quello che devi trovare è una stima, un'approssimazione della soluzione. Se fosse possibile farlo algebricamente in modo così preciso non avremmo utilizzato la via grafica no?
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