Studio di funzione periodica
Non sto riuscendo a capire come si fa la derivata prima della seguente funzione:
$f(x) = |cosx|+sin2x$
Mi sono affidato al WolframeAlpha e ho notato che mi scrive anche la derivata in questo modo:
$ f'(x) = 1/2|e^(-ix) +e^(ix)|+1/2ie^(-2ix) - 1/2ie^(2ix)$
Ma come ci si arriva?
Ecco il link:
[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=f'(x)%20%3D%20%7Ccosx%7C%2Bsin2x&t=crmtb01[/url]
$f(x) = |cosx|+sin2x$
Mi sono affidato al WolframeAlpha e ho notato che mi scrive anche la derivata in questo modo:
$ f'(x) = 1/2|e^(-ix) +e^(ix)|+1/2ie^(-2ix) - 1/2ie^(2ix)$
Ma come ci si arriva?
Ecco il link:
[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=f'(x)%20%3D%20%7Ccosx%7C%2Bsin2x&t=crmtb01[/url]
Risposte
"minomic":
In $1-e$ non c'è un asintoto perché quel valore è ammissibile per la funzione. Se mai possiamo dire che la tangente è verticale perché la derivata calcolata in $1-e$ tende a $oo$.
Non mi è tanto chiaro, non sto riuscendo nemmeno a postare il grafico perchè c'è qualche problemino nella rete.
Vedendo il concetto di flesso a tangente verticale, si dovrebbe avere anche un intorno, sia destro (che esiste), che sinistro che non esiste.
Il fatto che la derivata calcolata in $1-e$ tende a $oo$, e lo abbiamo già visto
, non riesce a farmi immaginare il fatto del flesso a tangente verticale 
Ma infatti non mi sembra proprio un flesso, anche perché non c'è nulla a sinistra. 
E' solo un punto a tangente verticale.
PS. E questo è il grafico.
E' solo un punto a tangente verticale.PS. E questo è il grafico.
E allora non sto ricordando la definizione di tangente verticale e quando essa esiste!
Secondo me stiamo girando intorno a una cosa piuttosto semplice (ma è sempre possibile che io mi sbagli). Qui abbiamo semplicemente un punto che ha la tangente verticale. Il fatto strano è che questa funzione ha una $x$ confinata in uno spazio ristretto (cioè $[1-e, 1)$) con l'estremo sinistro ammissibile. Quindi possiamo aspettarci qualche comportamento strano in questo punto perché da lì in poi la funzione esiste, mentre a sinistra non c'è nulla.
Per tornare alla tua domanda, troviamo che la tangente è verticale perché la derivata tende a $+oo$. Ricordando che la derivata rappresenta il coefficiente angolare della tangente nel punto possiamo concludere che la retta ha coefficiente angolare che tende a $oo$, quindi è nella forma $x=k$, cioè è verticale.
Per tornare alla tua domanda, troviamo che la tangente è verticale perché la derivata tende a $+oo$. Ricordando che la derivata rappresenta il coefficiente angolare della tangente nel punto possiamo concludere che la retta ha coefficiente angolare che tende a $oo$, quindi è nella forma $x=k$, cioè è verticale.
Penso che la tua risposta e' più che soddisfacente, aspettiamo qualche conferma da chi è più esperto di noi, ma penso che confermerà la tua tesi 
Ho cominciato lo studio della seguente funzione:
$f(x) = (x^2)/(x+1)+3/2log(1+1/x)$
Dominio:
$ { ( x^2>0 ),( x+1!=0 ),( (x+1)/(x) ):}=> { ( x>0 ),( x!=-1 ),( (x+1)/(x) ):}=>{ ( x>0 ),( x!=-1 ),( x> -1 ),( x!=0 ):}=> x<-1 vv x>0 $
Dite che è giusto dire che il suo dominio è vero per $x<-1 vv x>0$ perchè in questi due è sempre positiva????
Solo che io mi sono basato direttamente sulla funzione scritta in questo modo:
$f(x) = (x^2)/(x+1)+3/2log(1+1/x)$
e non ho considerato proprio la funzione scritta in questo modo:
$f(x) = ((x^2)+(x+1)[3/2log(1+1/x)])/(x+1)$
Altrimenti poi devo considerare tutto dopo aver fatto i calcoli e questo mi crea casino e perdita di tempo!
Solo che non so se è possibile che questo mio modo di fare sia sempre vero oppure potrebbe fare acqua in moli altri casi tip questo???
$f(x) = (x^2)/(x+1)+3/2log(1+1/x)$
Dominio:
$ { ( x^2>0 ),( x+1!=0 ),( (x+1)/(x) ):}=> { ( x>0 ),( x!=-1 ),( (x+1)/(x) ):}=>{ ( x>0 ),( x!=-1 ),( x> -1 ),( x!=0 ):}=> x<-1 vv x>0 $
Dite che è giusto dire che il suo dominio è vero per $x<-1 vv x>0$ perchè in questi due è sempre positiva????
Solo che io mi sono basato direttamente sulla funzione scritta in questo modo:
$f(x) = (x^2)/(x+1)+3/2log(1+1/x)$
e non ho considerato proprio la funzione scritta in questo modo:
$f(x) = ((x^2)+(x+1)[3/2log(1+1/x)])/(x+1)$
Altrimenti poi devo considerare tutto dopo aver fatto i calcoli e questo mi crea casino e perdita di tempo!
Solo che non so se è possibile che questo mio modo di fare sia sempre vero oppure potrebbe fare acqua in moli altri casi tip questo???
Caro Bad, credo che tu abbia un po' di confusione in testa... 
Che roba è quell'$x^2 > 0$? Da dove salta fuori?
Qui devi imporre due cose: i denominatori devono essere diversi da $0$ e l'argomento del logaritmo deve essere strettamente positivo.
Per la prima condizione abbiamo $$x \neq -1, 0$$ mentre per la seconda $$1+\frac{1}{x} > 0 \quad\rightarrow\quad \frac{x+1}{x} > 0 \quad\rightarrow\quad x < -1 \vee x > 0$$ I risultati sono gli stessi che riporti tu, ma credo che tu ti perda in ragionamenti strani, come la riscrittura della funzione in altre forme o cose simili. Cerca di mantenere le cose "lineari", nel senso di "semplici". Come vedi le cose sono spesso molto più semplici di come ti appaiono all'inizio...
Ora continuiamo: riscriviamo il dominio come $$D=\left(-\infty, -1\right) \cup \left(0, +\infty\right)$$ e andiamo a calcolare i limiti e a cercare i vari asintoti. Forza!
Che roba è quell'$x^2 > 0$? Da dove salta fuori?
Qui devi imporre due cose: i denominatori devono essere diversi da $0$ e l'argomento del logaritmo deve essere strettamente positivo.
Per la prima condizione abbiamo $$x \neq -1, 0$$ mentre per la seconda $$1+\frac{1}{x} > 0 \quad\rightarrow\quad \frac{x+1}{x} > 0 \quad\rightarrow\quad x < -1 \vee x > 0$$ I risultati sono gli stessi che riporti tu, ma credo che tu ti perda in ragionamenti strani, come la riscrittura della funzione in altre forme o cose simili. Cerca di mantenere le cose "lineari", nel senso di "semplici". Come vedi le cose sono spesso molto più semplici di come ti appaiono all'inizio...
Ora continuiamo: riscriviamo il dominio come $$D=\left(-\infty, -1\right) \cup \left(0, +\infty\right)$$ e andiamo a calcolare i limiti e a cercare i vari asintoti. Forza!
"minomic":
Caro Bad, credo che tu abbia un po' di confusione in testa...
Che roba è quell'$x^2 > 0$? Da dove salta fuori?
Ho solo bevuto un bicchierino di vino in più
Va bene, prometto di non bere più prima di fare esercizi
"Bad90":
Ho solo bevuto un bicchierino di vino in più
Ti ho beccato subito!
"Bad90":
Va bene, prometto di non bere più prima di fare esercizi
Altra cosa (spero colpa del vino): quell'$x^2>0$ non ha senso, e lo abbiamo già detto. In ogni caso la soluzione di $x^2 > 0$ NON sarebbe $x>0$ perché un quadrato è sempre positivo, tranne quando si annulla. Quindi $$x^2 > 0 \quad\Rightarrow\quad x \neq 0$$
"minomic":
[quote="Bad90"]Ho solo bevuto un bicchierino di vino in più
Ti ho beccato subito!
"Bad90":
Va bene, prometto di non bere più prima di fare esercizi
[/quote]
Non mi e' chiaro il perchè si possono considerare asintoti obbliqui se l funzione ha un tratto in cui no esiste, cioè $[-1,0]$
Dici perchè e una funzione con discontinuità di prima specie?
Dici perchè e una funzione con discontinuità di prima specie?
Che c'entra l'intervallo "mancante" $[-1, 0]$?
Gli asintoti obliqui si guardano all'$oo$ e questa funzione va all'infinito sia a sinistra che a destra!
Gli asintoti obliqui si guardano all'$oo$ e questa funzione va all'infinito sia a sinistra che a destra!
E' vero,
Ma in questo caso, $f(x) = (x^2)/(x+1)+3/2log(1+1/x)$ come faccio a dire che la funzione è positiva per $x>0$
Semplice: se $x>0$ il primo termine $x^2/(x+1)$ è positivo. Per quanto riguarda il secondo, hai che l'argomento del logaritmo è certamente maggiore di $1$, quindi anche il logaritmo è positivo. In conclusione stai sommando due quantità positive.
"minomic":
Semplice: se $x>0$ il primo termine $x^2/(x+1)$ è positivo. Per quanto riguarda il secondo, hai che l'argomento del logaritmo è certamente maggiore di $1$, quindi anche il logaritmo è positivo. In conclusione stai sommando due quantità positive.
Quindi anche quì si ha una soluzione intuitiva e non calcolata, vero??
"Bad90":
Quindi anche quì si ha una soluzione intuitiva e non calcolata, vero??
Direi di sì. Con analoghi ragionamenti puoi concludere che la funzione è negativa per $x<-1$ e questo conclude lo studio sul segno perché hai analizzato tutto il dominio della funzione.
$f(x) = (x^2)/(x+1)+3/2log(1+1/x)$
Ma per le intersezioni con gli assi, c'è qualche discorso intuitivo come la positività?
Come faccio a determinare le intersezione senza incasinarmi??
Per forza la via grafica?
Ma non mi sembrano grafici noti e deducibili in poco tempo!
Come devo fare?
Ma per le intersezioni con gli assi, c'è qualche discorso intuitivo come la positività?
Come faccio a determinare le intersezione senza incasinarmi??
Per forza la via grafica?
Ma non mi sembrano grafici noti e deducibili in poco tempo!
Come devo fare?
Anche in questo caso si fa a parole. L'intersezione con l'asse $y$ non c'è perché $x=0 notin D$. E non c'è neanche l'intersezione con l'asse $x$ perché abbiamo visto che nella prima parte del dominio la funzione è sempre negativa e nella seconda parte è sempre positiva. Quindi questa funzione non interseca alcun asse.
"minomic":
E non c'è neanche l'intersezione con l'asse $x$ perché abbiamo visto che nella prima parte del dominio la funzione è sempre negativa e nella seconda parte è sempre positiva. Quindi questa funzione non interseca alcun asse.
Questa ultima parte non mi è tanto chiara, potresti aiutarmi a capire meglio?
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