Studio di funzione periodica

[Bad90]

Non sto riuscendo a capire come si fa la derivata prima della seguente funzione:
$f(x) = |cosx|+sin2x$

Mi sono affidato al WolframeAlpha e ho notato che mi scrive anche la derivata in questo modo:
$ f'(x) = 1/2|e^(-ix) +e^(ix)|+1/2ie^(-2ix) - 1/2ie^(2ix)$

Ma come ci si arriva?

Ecco il link:

[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=f'(x)%20%3D%20%7Ccosx%7C%2Bsin2x&t=crmtb01[/url]

[Bad90]

Replico i calcoli e magari mi date una eventuale tirata di orecchie:

$x=alpha$ e $1 $f(1.5) = 1.447646103$

Proseguo:

$x=alpha$ e $1.5 $f(1.75) = 1.688922974$

Proseguo:

$x=alpha$ e $1.75 $f(1.875) = 1.809561834$

Proseguo:

$x=alpha$ e $1.875 $f(1.9375) = 1.86988138$

Proseguo:

$x=alpha$ e $1.9375 $f(1.96875) = 1.900041183$

Ecco, vedi? Ho scavalcato il tuo valore

Perchè

[minomic]

Se abbiamo $$f(x) = \sin x - \frac{x}{2}$$ risulta $$f(1.875) = 0.01658$$ Che calcoli hai fatto? Hai impostato i radianti sulla calcolatrice?

[Bad90]

"minomic":Se abbiamo $$f(x) = \sin x - \frac{x}{2}$$ risulta $$f(1.875) = 0.01658$$ Che calcoli hai fatto? Hai impostato i radianti sulla calcolatrice?

No, i deg!

Scusami, ma poi perchè hai scritto $f(x) = \sin x - \frac{x}{2}$, invece di scrivere $f(x) = x-2sinx$

[Bad90]

"minomic":
Allora abbiamo da risolvere $$\frac{x}{2}>\sin x$$
Disegniamo il grafico e scopriamo che, per $x>0$, queste due curve si intersecano in due punti: uno è l'origine e l'altro è ignoto (e NON E' NOTEVOLE). Possiamo dire che questa soluzione è compresa tra $1$ e $2$, quindi possiamo cercare una soluzione approssimata per esempio attraverso il metodo di bisezione. Posso dirti che la soluzione è $x=1.895494267033981$.
Bene! Ora, limitandoci a considerare il caso $x>0$, possiamo affermare che la retta $y=x/2$ sta sopra al seno per $x>alpha$, dove $alpha=1.895494267033981$.

Allora, rivediamo i calcoli:

Fino al primo step, il fatto è chiarissimo:

$x= alpha$ e $1 $f(1) = 0.34$
$f(2) = -0.09$
Punto medio $x_m = 1.5$
$f(1.5) = 0.24>0$

Ma adesso come devo continuare?

Provo a continuare:

Adesso non capisco come devo continuare, sono andato a rivedere ciò che hai scritto quando mi hai spiegato il metodo della bisezione ed ho provato a pensare che adesso l'intervallo si riduce non più da $1non ho capito il perchè :

$x= alpha$ e $1.5 $f(1.5) = 0.24$
$f(2) = -0.09$
Punto medio $x_m = 1.75$
$f(1.75) = 0.10>0$

Poi a tentativi, vedendo sempre quel famoso messaggio, ho pensato che la $x$ deve restringere ancora il suo campo di azione, ma in quel messaggio famoso, tu hai fatto ridurre anche la $x$ a destra e in questo caso io ho ridotto da $2$ a $1.75$ e questo pure mi sembra strano perchè avevamo detto che l'intervallo era da $0$ a $2$
La soluzione sarà compresa tra $1.5$ e $1.75$. Mi sono andato a calcolare anche le $f(x)$, ma ancora una volta non ho capito il perchè

$x= alpha$ e $1.5 $f(1.5) = 0.24$
$f(1.75) = 0.10$
Punto medio $x_m = 1.62$
$f(1.62) = 0.18>0$

Non sto capendo

HELPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP

Minomic, mi puoi aiutare a capire bene come operare in questo caso con la Bisezione?

[burm87]

Ma hai fatto i metodi di approssimazione? Perché in caso contrario, secondo me ti stai complicando la vita per niente. Se ti serve solo per studi di funzione ti basta dire a grandi linee dove si trova l'intersezione, non servono quaranta cifre decimali.

[Bad90]

E allora sempre in $x/2 = sinx$
L'intersezione degli assi, sarà sempre dovuto alla funzione seno, e tra 1 e 2.

Come faccio a ricvare le intersezioni con gli assi della funzione $f(x) = x-2sinx$

[burm87]

Beh, una è $(0,0)$, l'altra è $alpha$ sempre per lo stesso discorso.

[Bad90]

"burm87":Beh, una è $(0,0)$, l'altra è $alpha$ sempre per lo stesso discorso.

E come faccio a calcolarla?
A cosa equivale $alpha$

Se io considero solamente il grafico della funzione seno, so che l'intersezione con $x=0$ si ha in $x=3.14$

Oppure si risolve sempre prendendo in considerazione le ascisse che sono l'intersezione tra i due grafici noti

[burm87]

Cercando di approssimare l'intersezione tra le funzioni $x$ e $2sinx$, saranno circa 5 pagine che ne parliamo

[Bad90]

"burm87":Cercando di approssimare l'intersezione tra le funzioni $x$ e $2sinx$, saranno circa 5 pagine che ne parliamo

Scusami, ma allore se io faccio l'intersezione di $x/2$, con $sinx$, vengono fuori i punti in cui i due grafici si intersecano, ma quegli stessi punti, sono le ascisse in cui il grafico della funzione $f(x) =x-2sinx$ interseca l'ascissa?

[burm87]

Beh, $x-2sinx=0$ è come dire $x=2sinx$.

[minomic]

Certo...
$x/2=sin x$
$x/2-sin x =0$
$x-2sin x=0$

[Bad90]

Ripeto, ok per la formula, la mia domanda non era quella!
Scusami, ma allora se io faccio l'intersezione di $x/2$, con $sinx$, vengono fuori i punti in cui i due grafici si intersecano, ma quegli stessi punti, sono le ascisse in cui il grafico della funzione $f(x) =x-2sinx$ interseca l'ascissa?

[minomic]

Bad ti ho appena risposto! Ti ho fatto vedere che l'uguaglianza di quelle due funzioni implica l'annullamento di $x-2sin x$

[burm87]

Non è una formula, è la risposta. Ti ha anche detto "certo".

[Bad90]

Ok, perfetto!

Scusatemi

[Bad90]

come conviene risolvere la seguente disequazione?

$ sin2x cosx >0$

[minomic]

Formule di duplicazione: $$\sin 2x = 2\sin x\cos x$$ quindi ottieni $$2\sin x\cos^2 x > 0 \quad\rightarrow\quad \sin x\cos^2 x > 0$$

[burm87]

In alternativa poteva andare bene anche uno studio del segno dal testo iniziale!

[minomic]

"burm87":In alternativa poteva andare bene anche uno studio del segno dal testo iniziale!

Yes of course! Ho preferito suggerire questo metodo per evitare di avere a che fare con cambi di periodicità.
In ogni caso Bad, se vuole, può provare entrambi i metodi e verificare che i risultati siano gli stessi.