Studio di funzione periodica
Non sto riuscendo a capire come si fa la derivata prima della seguente funzione:
$f(x) = |cosx|+sin2x$
Mi sono affidato al WolframeAlpha e ho notato che mi scrive anche la derivata in questo modo:
$ f'(x) = 1/2|e^(-ix) +e^(ix)|+1/2ie^(-2ix) - 1/2ie^(2ix)$
Ma come ci si arriva?
Ecco il link:
[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=f'(x)%20%3D%20%7Ccosx%7C%2Bsin2x&t=crmtb01[/url]
$f(x) = |cosx|+sin2x$
Mi sono affidato al WolframeAlpha e ho notato che mi scrive anche la derivata in questo modo:
$ f'(x) = 1/2|e^(-ix) +e^(ix)|+1/2ie^(-2ix) - 1/2ie^(2ix)$
Ma come ci si arriva?
Ecco il link:
[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=f'(x)%20%3D%20%7Ccosx%7C%2Bsin2x&t=crmtb01[/url]
Risposte
Scusami, correggo:
$lim_(x->+(1/2)^+) log((2x-1)/(x+2))^2$
$lim_(x->+(1/2)^-) log((2x-1)/(x+2))^2$
$lim_(x->-(1/2)^+) log((2(-x)-1)/(x+2))^2$
$lim_(x->-(1/2)^-) log((2(-x)-1)/(x+2))^2$
Si ci va il meno uno.
$lim_(x->+(1/2)^+) log((2x-1)/(x+2))^2$
$lim_(x->+(1/2)^-) log((2x-1)/(x+2))^2$
$lim_(x->-(1/2)^+) log((2(-x)-1)/(x+2))^2$
$lim_(x->-(1/2)^-) log((2(-x)-1)/(x+2))^2$
Si ci va il meno uno.
Prendiamo ad esempio il primo: la frazione $(2x-1)/(x+2) -> 0$ e quindi tutto il limite tende a $-oo$ perché $log(0) -> -oo$
"minomic":
Prendiamo ad esempio il primo: la frazione $(2x-1)/(x+2) -> 0$ e quindi tutto il limite tende a $-oo$ perché $log(0) -> -oo$
Ok, perfetto, ma non bisogna considerare il quadrato ?
E per il valora $(-1/2)^(+-)$
Correggimi se sbaglio, ma allora è come pensare che :
$lim_(x->+(1/2)^+) log((2x-1)/(x+2))^2$
$lim_(x->+(1/2)^-) log((2x-1)/(x+2))^2$
siano:
$lim_(x->+(0)^+) log(0)^2$
$lim_(x->+(0)^-) log(0)^2$
$lim_(x->+(1/2)^+) log((2x-1)/(x+2))^2$
$lim_(x->+(1/2)^-) log((2x-1)/(x+2))^2$
siano:
$lim_(x->+(0)^+) log(0)^2$
$lim_(x->+(0)^-) log(0)^2$
Se proprio vogliamo essere precisi, potresti effettuare il cambio di variabile $x-1/2 = t$ così quando $x->1/2$ hai $t->0$ e il limite diventa $$\lim_{t\to 0}\log\left(\frac{2t+1-1}{t+\frac{1}{2}+2}\right)$$ La frazione dentro al log tende a zero, quindi il limite è ancora $-oo$. Ovviamente questo cambio di variabile è inutile perché ci si arrivava immediatamente.
Facciamo che la penso in questo modo, anche se tu sei stato rapidissimo ad arrivare alla soluzione, io invece faccio in questo modo:
$lim_(x->+(1/2)^+) log(2x-1)^2 - log(x+2)^2 = lim_(x->+(0)^+) 0 - log(1/2+2)^2= lim_(x->+(0)^+) log(1/6.25)= -oo$
Comunque in questo primo caso ci si arriva immediatamente perchè per un valore $+(0)^+$ il logaritmo di un qualcosa e sempre che tende a meno infinito, giusto??
Idem per gli altri casi!
Cosa ne pensi?
$lim_(x->+(1/2)^+) log(2x-1)^2 - log(x+2)^2 = lim_(x->+(0)^+) 0 - log(1/2+2)^2= lim_(x->+(0)^+) log(1/6.25)= -oo$
Comunque in questo primo caso ci si arriva immediatamente perchè per un valore $+(0)^+$ il logaritmo di un qualcosa e sempre che tende a meno infinito, giusto??
Idem per gli altri casi!
Cosa ne pensi?
Non va bene quando cambi $x->1/2$ in $x -> 0$ senza fare cambi di variabile. E poi quello $0$ che metti non va bene perché è l'argomento del logaritmo che tende a zero e non tutto il logaritmo.
Per sfruttare la tua idea puoi scrivere $$\lim_{x\to\frac{1}{2}}\left[\log(2x-1)^2 - \log(x+2)^2\right]$$ e questo è giusto. Ora si conclude a occhio: il secondo termine è finito mentre il primo tende a $\log(0)\to -oo$ e abbiamo ancora lo stesso risultato.
Comunque tutto questo equivale a uccidere i moscerini con il cannone, e oltretutto si rischia di commettere errori nel formalismo matematico.
Per sfruttare la tua idea puoi scrivere $$\lim_{x\to\frac{1}{2}}\left[\log(2x-1)^2 - \log(x+2)^2\right]$$ e questo è giusto. Ora si conclude a occhio: il secondo termine è finito mentre il primo tende a $\log(0)\to -oo$ e abbiamo ancora lo stesso risultato.
Comunque tutto questo equivale a uccidere i moscerini con il cannone, e oltretutto si rischia di commettere errori nel formalismo matematico.
"minomic":
Per sfruttare la tua idea puoi scrivere $$\lim_{x\to\frac{1}{2}}\left[\log(2x-1)^2 - \log(x+2)^2\right]$$ e questo è giusto. Ora si conclude a occhio: il secondo termine è finito mentre il primo tende a $\log(0)\to -oo$ .
Sto facendo confusione, in quanto il logaritmo $log(0)=0$, come fai a dire che $log(0)$ tende a $-oo$
Io riesco a giustificare quanto dici, pensando che:
$lim_(x->1/2)log(0^+) = -oo$
Cosa ne dici???
"Bad90":
Sto facendo confusione, in quanto il logaritmo $log(0)=0$, come fai a dire che $log(0)$ tende a $-oo$
Ricorda il grafico del logaritmo: ti garantisco che $log(0) -> -oo$ (o eventualmente $+oo$ se la base del logaritmo è minore di $1$).
Ovviamente si parla di $0^+$ perché a sinistra la funzione logaritmo non è definita.
"minomic":
Ricorda il grafico del logaritmo: ti garantisco che $log(0) -> -oo$ (o eventualmente $+oo$ se la base del logaritmo è minore di $1$).
Ovviamente si parla di $0^+$ perché a sinistra la funzione logaritmo non è definita.
Ma infatti, ciò che dico io, è che il logaritmo di zero, in realtà non esiste, mentre il logaritmo di un valore che si avvicina sempre più allo zero, tende a $-oo$!
Forse sono io che non mi sto esprimendo bene!
Insomma, il logaritmi di un qualcosa, che tende a $0^+$ è meno infinito! Io sto dicendo questo, ma è proprio pensando al grafico che sono certo che il logaritmo di zero non esiste!
"Bad90":
Ma infatti, ciò che dico io, è che il logaritmo di zero, in realtà non esiste, mentre il logaritmo di un valore che si avvicina sempre più allo zero, tende a $-oo$!
Allora su questo siamo d'accordo!
Quindi come vedi il limite è già risolto.
"minomic":
[quote="Bad90"]Ma infatti, ciò che dico io, è che il logaritmo di zero, in realtà non esiste, mentre il logaritmo di un valore che si avvicina sempre più allo zero, tende a $-oo$!
Allora su questo siamo d'accordo!
Quindi come vedi il limite è già risolto.
[/quote]Ti ringrazio per avermi portato a ragionare
Chiedo una ulteriore conferma per questi due limiti:
$lim_(x->-(1/2)^+) log((2(-x)-1)/(x+2))^2$
$lim_(x->-(1/2)^-) log((2(-x)-1)/(x+2))^2$
Allora sappiamo che il limite che tende ad un qualcosa di negativo, non esiste, bene, in questo caso lo si considera per una questione di $C.S.$ e quindi esiste, bene, in aggiunta è possibile ma solo in funzione della funzione che stiamo studiando, vero???
Altrimenti io avrei detto che due limiti del genere:
$lim_(x->-(1/2)^+) log((2(-x)-1)/(x+2))^2$
$lim_(x->-(1/2)^-) log((2(-x)-1)/(x+2))^2$
Non esistono in partenza per il fatto che $lim_(x->-(1/2)^(+-)$ c'è quel meno avanti ad $1/2$, vero???
$lim_(x->-(1/2)^+) log((2(-x)-1)/(x+2))^2$
$lim_(x->-(1/2)^-) log((2(-x)-1)/(x+2))^2$
Allora sappiamo che il limite che tende ad un qualcosa di negativo, non esiste, bene, in questo caso lo si considera per una questione di $C.S.$ e quindi esiste, bene, in aggiunta è possibile ma solo in funzione della funzione che stiamo studiando, vero???
Altrimenti io avrei detto che due limiti del genere:
$lim_(x->-(1/2)^+) log((2(-x)-1)/(x+2))^2$
$lim_(x->-(1/2)^-) log((2(-x)-1)/(x+2))^2$
Non esistono in partenza per il fatto che $lim_(x->-(1/2)^(+-)$ c'è quel meno avanti ad $1/2$, vero???
"Bad90":
Chiedo una ulteriore conferma per questi due limiti:
$lim_(x->-(1/2)^+) log((2(-x)-1)/(x+2))^2$
$lim_(x->-(1/2)^-) log((2(-x)-1)/(x+2))^2$
Allora sappiamo che il limite che tende ad un qualcosa di negativo, non esiste, bene
Fermi tutti. Perché non esiste? Qualunque cosa venga, viene poi messa al quadrato, quindi il limite risulterà calcolabile.
Non capisco il tuo ragionamento.
Ho anche un dubbio sul tipo di discontinuità della funzione, correggimi se sbaglio ma a me sembra che si tratti di una discontinuità di seconda specie, vero??????
"Bad90":
Ho anche un dubbio sul tipo di discontinuità della funzione, correggimi se sbaglio ma a me sembra che si tratti di una discontinuità di seconda specie, vero??????
Sì esatto, la funzione tende all'infinito quindi la discontinuità è di seconda specie.
"minomic":
Fermi tutti. Perché non esiste? Qualunque cosa venga, viene poi messa al quadrato, quindi il limite risulterà calcolabile.
Non capisco il tuo ragionamento.
Avevo pensato anche io a questo, solo che non ero sicuro e ho detto la seconda cosa che ho pensato
Bene, adesso è tutto chiaro!
$f(x)=log((2|x|-1)/(x+2))^2$
Adesso sto cercando di ricavare la derivata prima della $C.S.$ per $x>=0$ e mi trovo che la derivata prima è:
$f'(x)= log((2x+1)/(x+2))* 6/(2x^2+5x+2)$
Per la $C.S.$ per $x<=0$ e mi trovo che la derivata prima è:
$f'(x)= log((-2x-1)/(x+2))* 6/(2x^2+5x+2)$
Ottengo esattamente gli stessi risultati della $C.S.$ per $x>=0$.
Insomma, mi trovo che la derivata prima in $C.S.$ per $x>=0$ è sempre crescente per $x>0$ e che in $C.S.$ per $x<=0$ è sempre crescente per $x<0$, dove sto sbagliando???
E poi non se esiste una scorciatoia per determinare massimi o minimi, questo sempre se è fatta bene il calcolo della derivata prima?!?!
Perchè il testo dice che la derivata prima è la seguente??
Come fa a dire che la derivata prima è positiva per $x<-2$ e per $-1/21/2$
Non sto riuscendo ad arrivare alla soluzione del testo!
Adesso sto cercando di ricavare la derivata prima della $C.S.$ per $x>=0$ e mi trovo che la derivata prima è:
$f'(x)= log((2x+1)/(x+2))* 6/(2x^2+5x+2)$
Per la $C.S.$ per $x<=0$ e mi trovo che la derivata prima è:
$f'(x)= log((-2x-1)/(x+2))* 6/(2x^2+5x+2)$
Ottengo esattamente gli stessi risultati della $C.S.$ per $x>=0$.
Insomma, mi trovo che la derivata prima in $C.S.$ per $x>=0$ è sempre crescente per $x>0$ e che in $C.S.$ per $x<=0$ è sempre crescente per $x<0$, dove sto sbagliando???
E poi non se esiste una scorciatoia per determinare massimi o minimi, questo sempre se è fatta bene il calcolo della derivata prima?!?!
Perchè il testo dice che la derivata prima è la seguente??
Come fa a dire che la derivata prima è positiva per $x<-2$ e per $-1/2
Non sto riuscendo ad arrivare alla soluzione del testo!
Ma scusa, se la derivata del logaritmo $lnf(x)$ è $(f'(x))/f(x)$ a te come fa a comparire un logaritmo nella derivata? Hai commesso qualche errore direi 
"burm87":
Ma scusa, se la derivata del logaritmo $lnf(x)$ è $(f'(x))/f(x)$ a te come fa a comparire un logaritmo nella derivata? Hai commesso qualche errore direi
E' perchè ho dovuto considerare quella potenza di due dell'argomento!
Posso non considerarla, vero?
Infatti, così facendo ottengo il corretto risultato, solo che adesso non sto riuscendo a disegnare il grafico senza la derivata seconda!
Vorrei farlo senza la derivata seconda, perchè vedo che il testo non la considera e penso si possa fare con tutti i dati a disposizione fino alla derivata prima!
Sapresti come fare??
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