Studio di funzione periodica
Non sto riuscendo a capire come si fa la derivata prima della seguente funzione:
$f(x) = |cosx|+sin2x$
Mi sono affidato al WolframeAlpha e ho notato che mi scrive anche la derivata in questo modo:
$ f'(x) = 1/2|e^(-ix) +e^(ix)|+1/2ie^(-2ix) - 1/2ie^(2ix)$
Ma come ci si arriva?
Ecco il link:
[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=f'(x)%20%3D%20%7Ccosx%7C%2Bsin2x&t=crmtb01[/url]
$f(x) = |cosx|+sin2x$
Mi sono affidato al WolframeAlpha e ho notato che mi scrive anche la derivata in questo modo:
$ f'(x) = 1/2|e^(-ix) +e^(ix)|+1/2ie^(-2ix) - 1/2ie^(2ix)$
Ma come ci si arriva?
Ecco il link:
[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=f'(x)%20%3D%20%7Ccosx%7C%2Bsin2x&t=crmtb01[/url]
Risposte
"Bad90":
E' perchè ho dovuto considerare quella potenza di due dell'argomento!
La potenza è dell'argomento, non del logaritmo. E' la differenza che c'è tra $$\log \left(x^2\right)$$ e $$\left(\log x\right)^2$$
Per chiarezza, $(logx)^2=log^2x$.
Quindi per il mio caso, essendo un quadrato dell'argomento, la derivata puo' essere calcolata senza considerare quel 2 alla potenza dell'argomento?
Io non l'ho considerata e mi e' venuto fuori il risultato corretto!
Come si puo' spiegare questo???
Io non l'ho considerata e mi e' venuto fuori il risultato corretto!
Come si puo' spiegare questo???
No Bad90, avrai commesso qualche errore, oppure si spiega con un gran colpo di fortuna. Il quadrato va ovviamente considerato.
Comunque riguardando velocemente solo il caso $x>=0$ non capisco davvero cosa fai con quella derivata. Ti consiglio di partire da capo mettendo i passaggi così possiamo aiutarti.
Comunque riguardando velocemente solo il caso $x>=0$ non capisco davvero cosa fai con quella derivata. Ti consiglio di partire da capo mettendo i passaggi così possiamo aiutarti.
Adesso non posso digitare i calcoli, ma invio questa immagine e penso che siano i calcoli giusti!
Non ho controllato i calcoli, ma posso dirti che la prima riga della derivata pare corretta, mi sembra impostata correttamente.
"burm87":
Non ho controllato i calcoli, ma posso dirti che la prima riga della derivata pare corretta, mi sembra impostata correttamente.
Dopo il tuo consiglio sono riuscito a capirla! mMa se fosse stato $(logx)^2$, come si sarebbe dovuta risolvere?????
Hai la derivata della potenza di una funzione: $f(x)=log^2x$ allora $f'(x)=2logx*1/x$.
Perfetto, adesso ho capito!
Ti ringrazio!
Ti ringrazio!
$f(x) = x+(logx)/(x)$
Sono arrivato a studiare la positività della funzione, ovviamente ho impostato la seguente:
$(x^2+logx)/(x)>0$
Il denominatore è ovvio che sia $x>0$, ma non riesco a capire come potrei risolvere algebricamente il numeratore e allora mi sono tuffato nella via grafica, so di aver fatto bene, ho fatto in questo modo:
$logx> -x^2$
Due grafici noti, nessun problema nel capire graficamente dove è positiva, lo sarà dove il grafico del logaritmo è sopra il grafico della parabola, bene, ma in termini di numeri, come faccio a ricavare il punto di intersezione tra i due grafici per dire che da quel valore della $x$ in poi sarà sempre positiva?
Ecco cosa dice la soluzione del testo:
Segno: la funzione e positiva per$ x >= x_1$.
E poi quando vado a ricavare le intersezioni con gli assi, come devo fare?
Si tratta anche quì della via grafica?
Ecco cosa dice il testo:
Intersezione con gli assi: $f(x) = 0 $se e solo se $x = x_1$, con $0 < x_1 < 1$ (questo si puo vedere per via gra ca).
$(x^2+logx)/(x)=0=> x^2+logx=0$ E poi come bisogna continuare??? Quali saranno i punti di intersezione
Sono arrivato a studiare la positività della funzione, ovviamente ho impostato la seguente:
$(x^2+logx)/(x)>0$
Il denominatore è ovvio che sia $x>0$, ma non riesco a capire come potrei risolvere algebricamente il numeratore e allora mi sono tuffato nella via grafica, so di aver fatto bene, ho fatto in questo modo:
$logx> -x^2$
Due grafici noti, nessun problema nel capire graficamente dove è positiva, lo sarà dove il grafico del logaritmo è sopra il grafico della parabola, bene, ma in termini di numeri, come faccio a ricavare il punto di intersezione tra i due grafici per dire che da quel valore della $x$ in poi sarà sempre positiva?
Ecco cosa dice la soluzione del testo:
Segno: la funzione e positiva per$ x >= x_1$.
E poi quando vado a ricavare le intersezioni con gli assi, come devo fare?
Si tratta anche quì della via grafica?
Ecco cosa dice il testo:
Intersezione con gli assi: $f(x) = 0 $se e solo se $x = x_1$, con $0 < x_1 < 1$ (questo si puo vedere per via gra ca).
$(x^2+logx)/(x)=0=> x^2+logx=0$ E poi come bisogna continuare??? Quali saranno i punti di intersezione
Ciao Bad, dobbiamo ricorrere alle soluzioni approssimate. Abbiamo la funzione $$f(x) = x^2+\log x$$ Dal grafico capiamo che il valore che cerchiamo sarà $$x=\alpha, \qquad 0.1<\alpha<1$$ dove ho preso $0.1$ perché in $0$ il logaritmo non è definito. Andiamo a calcolare $$f(0.1) = -0.99 < 0$$ mentre $$f(1)=1>0$$ Consideriamo il punto medio dell'intervallo, cioè $0.5$ (che in realtà non sta proprio a metà ma fa lo stesso). Abbiamo $$f(0.5) = -0.051 < 0$$ ma ormai ci siamo quasi. Se vogliamo continuare possiamo dire che la soluzione sarà $$x=\alpha, \qquad 0.5<\alpha<1$$ Prendiamo nuovamente il punto medio, cioè $0.75$: otteniamo $$f(0.75) = 0.4375 > 0$$ Allora la soluzione sarà compresa tra $0.5$ e $0.75$. Di nuovo il punto medio: $$f(0.625) = 0.186 > 0$$ Quindi la soluzione sta tra $0.5$ e $0.625$. Ripetiamo ulteriormente: $$f(0.5625) = 0.0665$$ Allora la soluzione starà tra $0.5$ e $0.5625$. Se volessimo continuare potremmo prendere ancora il punto medio di questo intervallo e proseguire.
PS. Ho fatto con il $log_10$ ma il procedimento è lo stesso anche con $ln$.
PS. Ho fatto con il $log_10$ ma il procedimento è lo stesso anche con $ln$.
Ma questa è la teoria Degli intervalli incapsulati? 
Eh?? No è il metodo di bisezione! 
"minomic":
Eh?? No è il metodo di bisezione!
Si,
ma permettimi di dirti, che se si vuole, si può procedere per bisezione, benissimo, oppure potrò utilizzare $|I_n | = (b-a)/(2^n)$ , $AA n in N$ Ho solo scritto una formula, ma ci vorrebbe il resto della spegazione, in cui io non sono tanto bravo, magari se cì sarà qualcuno a spiegarci bene il concetto degli intervalli incapsulati, sarò felice di ascoltarlo
Ok, non so cosa sia ma ti credo.
"minomic":
Ok, non so cosa sia ma ti credo.
Aspettiamo qualcuno che ne sa più di noi, perchè questo concetto, insieme al tuo, (bisezione), fanno parte del Teorema degli zeri
Sì quello so cosa sia, e si chiama Teorema di esistenza degli zeri. Afferma che se una funzione è continua in un intervallo $[a,b]$ ed è tale che $f(a)f(b) < 0$ (cioè cambia segno) allora si annulla in almeno un punto $c in [a,b]$. Infatti il metodo di bisezione che ti ho mostrato sfrutta proprio questo fatto, individuando un intervallo come quello appena descritto e dimezzandolo ad ogni iterazione dell'algoritmo.
YESSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
E per l'intersezione, come devo fare?????
Allora si può pensare al fatto che l'intersezione con gli assi, può essere esposta in questo modo:
$f(x) = 0$ se e solo se $x=alpha$ con $0
Si tratta dunque, del Teorema degli zeri!
Allora si può pensare al fatto che l'intersezione con gli assi, può essere esposta in questo modo:
$f(x) = 0$ se e solo se $x=alpha$ con $0
Si tratta dunque, del Teorema degli zeri!
E' esattamente la soluzione che ti ho mostrato prima. Non è vero che sia il valore medio, ad esempio in questo caso abbiamo visto che la soluzione risulta compresa tra $0.5$ e $0.5625$. Per la precisione il PC trova $0.52724512781965$.
Non confonderti con il teorema del valore medio (Lagrange) o con il valore medio (rapporto tra area sottesa e base).
Non confonderti con il teorema del valore medio (Lagrange) o con il valore medio (rapporto tra area sottesa e base).
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