Studio di funzione periodica
Non sto riuscendo a capire come si fa la derivata prima della seguente funzione:
$f(x) = |cosx|+sin2x$
Mi sono affidato al WolframeAlpha e ho notato che mi scrive anche la derivata in questo modo:
$ f'(x) = 1/2|e^(-ix) +e^(ix)|+1/2ie^(-2ix) - 1/2ie^(2ix)$
Ma come ci si arriva?
Ecco il link:
[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=f'(x)%20%3D%20%7Ccosx%7C%2Bsin2x&t=crmtb01[/url]
$f(x) = |cosx|+sin2x$
Mi sono affidato al WolframeAlpha e ho notato che mi scrive anche la derivata in questo modo:
$ f'(x) = 1/2|e^(-ix) +e^(ix)|+1/2ie^(-2ix) - 1/2ie^(2ix)$
Ma come ci si arriva?
Ecco il link:
[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=f'(x)%20%3D%20%7Ccosx%7C%2Bsin2x&t=crmtb01[/url]
Risposte
"minomic":
Formule di duplicazione: $$\sin 2x = 2\sin x\cos x$$ quindi ottieni $$2\sin x\cos^2 x > 0 \quad\rightarrow\quad \sin x\cos^2 x > 0$$
Ho fatto come hai detto e sono arrivato a risolvere la seguente disequazione:
$senx(1-sen^2x)>0 $
dici che e' corretto?
ho risolto il sistema:
$ { ( senx>0 ),( 1-sen^2x>0):} $
Il risultato finale e':
$pi/2+2kpi
Dite che ho fatto bene?
Per evitare di uccidere i soliti moscerini con il solito cannone... perché cambiare $\cos^2 x$ quando è già un quadrato, quindi con segno noto?
Potevi dire che $$\cos^2 x > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}-\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\right\}$$ Invece $$\sin x > 0 \quad\rightarrow\quad x \in \left(2k\pi, \left(2k+1\right)\pi\right)$$
Oppure, limitandosi per comodità al primo giro, $$\cos^2 x > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}-\left\{\frac{\pi}{2}, \frac{3}{2}\pi\right\}$$ $$\sin x > 0 \quad\rightarrow\quad x \in \left(0, \pi\right)$$ da cui si capisce che il risultato è $$x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$$ Prova a vedere dove hai sbagliato.
Potevi dire che $$\cos^2 x > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}-\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\right\}$$ Invece $$\sin x > 0 \quad\rightarrow\quad x \in \left(2k\pi, \left(2k+1\right)\pi\right)$$
Oppure, limitandosi per comodità al primo giro, $$\cos^2 x > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}-\left\{\frac{\pi}{2}, \frac{3}{2}\pi\right\}$$ $$\sin x > 0 \quad\rightarrow\quad x \in \left(0, \pi\right)$$ da cui si capisce che il risultato è $$x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$$ Prova a vedere dove hai sbagliato.
Nel mio procedimento ho sbagliato che consideravo quel $sen^2x<1$ come se fosse una equazione del tipo $sen^x = 1$ che ha per soluzioni $+-1$ e poi dal grafico dei segni cercavo dove era negativa la disequazione$sen^2x<1$!
Adesso che ho visto i tuoi calcoli, ho ricordato che $sin^2x<1$ oppure $cos^2x<1$ e' sempre vera quando e' minore di uno e non bisogna considera nessun $+-1$.
Se magari, tecnicamente vorresti aggiungere qualcosa che faccia capire meglio quanto ho detto io, te ne sarei grato!
Adesso che ho visto i tuoi calcoli, ho ricordato che $sin^2x<1$ oppure $cos^2x<1$ e' sempre vera quando e' minore di uno e non bisogna considera nessun $+-1$.
Se magari, tecnicamente vorresti aggiungere qualcosa che faccia capire meglio quanto ho detto io, te ne sarei grato!
Adesso ho ricavato la derivata prima e ho impostato la seguente disequazione:
$2cos^2 2x -sen^2 2x>0$
Come devo risolvera?
Non sto ricordando se posso fare una sostituzione di quel periodo o utilizzare le formule di addizione del seno e coseno???
$2cos^2 2x -sen^2 2x>0$
Come devo risolvera?
Non sto ricordando se posso fare una sostituzione di quel periodo o utilizzare le formule di addizione del seno e coseno???
Secondo me non serve sostituire il periodo, mettila tutta in seno o tutta in coseno e risolvi la disequazione di secondo grado che ne deriva no?
E comunque la tua derivata mi pare errata.
E comunque la tua derivata mi pare errata.
Ho riverificato la derivata prima ed ho:
$f'(x)= 2cos2xcosx-sen2xsenx$
Scusami, ma dove sto sbagliando???
$f'(x)= 2cos2xcosx-sen2xsenx$
Scusami, ma dove sto sbagliando???
Che direi che $cos2x*cosx!=cos^2(2x)$.
Sono uno sbadato! Grazie per aver capito la cavolata che ho fatto...........
E adesso, in che forma conviene portarla per risolvere la seguente disequazione?
$2cos2xcosx-sen2xsenx>0$
E adesso, in che forma conviene portarla per risolvere la seguente disequazione?
$2cos2xcosx-sen2xsenx>0$
Ti spiego il ragionamento che farei, perché finchè ti limiti a guardare le risposte non imparerai ad arrivarci da solo.
Partiamo dal presupposto che abbiamo tre modi per scrivere $cos 2x$, cioè $$\cos 2x = \cos^2 x-\sin^2 x = 1-2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1$$ Quindi qui abbiamo parecchia scelta. Il secondo addendo è invece $$\sin 2x\sin x = 2\sin^2x \cos x$$ senza alternative. Cerchiamo quindi di rendere il primo addendo simile al secondo per quanto possibile. Sceglieremo quindi $$\cos 2x = 1-2\sin^2 x$$ Prova a proseguire.
Partiamo dal presupposto che abbiamo tre modi per scrivere $cos 2x$, cioè $$\cos 2x = \cos^2 x-\sin^2 x = 1-2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1$$ Quindi qui abbiamo parecchia scelta. Il secondo addendo è invece $$\sin 2x\sin x = 2\sin^2x \cos x$$ senza alternative. Cerchiamo quindi di rendere il primo addendo simile al secondo per quanto possibile. Sceglieremo quindi $$\cos 2x = 1-2\sin^2 x$$ Prova a proseguire.
"minomic":
Prova a proseguire.
Sono andato a rivedere questi concetti e sono riuscito a risolverlo grazie al tuo spunto
Spero di non aver fatto cavolate:
$ 2cos2xcosx-sen2xsenx>0 $
$ [2(1-sen^2x)cosx]-[2sen^2xcosx]>0 $
$ 2cosx-2sen^2xcosx -2sen^2xcosx>0 $
$ 2cosx-4sen^2xcosx>0 $
$ 2cosx(1-sen^2x)>0 $
Adesso posso impostare il sistema:
$ { ( 2cosx>0 ),( 1-sen^2x>0 ):}=> { ( cosx>0 ),( sen^2x<1 ):}=>{ ( 2kpi
Ha come soluzioni:
$ 0
Cosa ne dici?
Veramente io avevo detto $$\cos 2x = 1-2\sin^2 x$$ Hai dimenticato quel $2$...
"minomic":
Veramente io avevo detto $$\cos 2x = 1-2\sin^2 x$$ Hai dimenticato quel $2$...
Ho sbagliato dalla fretta!
Si, un attimo che corretto!
$ 2cos2xcosx-sen2xsenx>0 $
$ [2(1-2sen^2x)cosx]-[2sen^2xcosx]>0 $
$ 2cosx-4sen^2xcosx -2sen^2xcosx>0 $
$ 2cosx-6sen^2xcosx>0 $
$ 2cosx(1-3sen^2x)>0 $
Adesso posso impostare il sistema:
$ { ( 2cosx>0 ),( 1-3sen^2x>0 ):}=> { ( cosx>0 ),( sen^2x<1/3 ):}=>{ ( 2kpi
Ha come soluzioni:
$ 0
Ho messo quel $~pi/10$ perchèil$sen^x = 1/3$ non è un angolo noto, ho fatto bene?
$ [2(1-2sen^2x)cosx]-[2sen^2xcosx]>0 $
$ 2cosx-4sen^2xcosx -2sen^2xcosx>0 $
$ 2cosx-6sen^2xcosx>0 $
$ 2cosx(1-3sen^2x)>0 $
Adesso posso impostare il sistema:
$ { ( 2cosx>0 ),( 1-3sen^2x>0 ):}=> { ( cosx>0 ),( sen^2x<1/3 ):}=>{ ( 2kpi
Ha come soluzioni:
$ 0
Ho messo quel $~pi/10$ perchèil$sen^x = 1/3$ non è un angolo noto, ho fatto bene?
Errore / orrore: la disequazione $$2\cos x \left(1-3\sin^2x\right)>0$$ è verificata NON SOLO se entrambi i fattori sono positivi, ma anche se sono entrambi negativi! Quindi non si traduce in un sistema!
Devi studiare il segno di ogni fattore e fare il grafico con i $+$ e i $-$...
Devi studiare il segno di ogni fattore e fare il grafico con i $+$ e i $-$...
Si, è quello che ho fatto, solo che sto facendo un errore e ne sono molto sicuro!
Ecco cosa avrei dovuto fare:
Oppure $1-3sen^2x=0 => senx = (sqrt(3))/3 $
Giusto
Potresti aiutarmi a capire come faccio a dare un calcolo preciso se non è un angolo noto???????
Ecco cosa avrei dovuto fare:
Oppure $1-3sen^2x=0 => senx = (sqrt(3))/3 $
Giusto
Potresti aiutarmi a capire come faccio a dare un calcolo preciso se non è un angolo noto???????
"Bad90":
Potresti aiutarmi a capire come faccio a dare un calcolo preciso se non è un angolo noto???????
Semplicemente non fai alcun calcolo... $$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{3} \quad\rightarrow\quad x = \arcsin \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Allora potrò dire che la funzione, mediante la derivata prima, sarà verificata in:
$0
VA bene adesso?
Ha quindi un massimo in $x= 0.61$, un minimo in $x=1.57$ si ripete un massimo ancora in $x=2.52$ ancora un minimo in $x=4.71$ e poi cresce per $2pi$
$0
VA bene adesso?
Ha quindi un massimo in $x= 0.61$, un minimo in $x=1.57$ si ripete un massimo ancora in $x=2.52$ ancora un minimo in $x=4.71$ e poi cresce per $2pi$
OLEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE!
Ho fatto la verifica e dopo tutti gli step, il risultato è stato giusto!
Ovviamente grazie a tutte le dritte che mi avete dato!
Ho fatto la verifica e dopo tutti gli step, il risultato è stato giusto!
Ovviamente grazie a tutte le dritte che mi avete dato!
Nella seguente funzione:
$f(x) = |3x+2|e^-x$
Ho trovato che il suo dominio è tutto $R$, e mi sembrà ovvio in quanto qualsiasi valore alla $x$, non comporta un annullamento della funzione, bene, ma allora perchè nella seguente funzione $f(x) = e^(|(x-1)/(x)|$, non si potrebbe dire lo stesso?
Lasciamo stare il fatto che si devono stidiare i due casi, bene, ma ad un esponenziale, io potrò dare qualsiasi valore, non si annulla mai, anche perchè la base dell'esponenziale è $>1$.
Perchè
Intanto comincio a impostare gli step risolutivi e spero di fare bene, poi mi dirai della scorciatoia:
Pari o dispari
$f(-x) = |-3x+2|e^-x != f(x) $
Non è pari e ne dispari.
Esame della formula
$ |3x+2|e^-x = { ( (3x+2)e^-x if x>0),( -(3x+2)e^-x if x<0 ):} $
Si può studiare un solo caso, oppure devo fare tutti i calcoli?
Caso 1
$(3x+2)e^-x if x>0$
$(3x+2)e^-x >0$ porta a $(3x+2)>0; 1/(e^x) >0$
$ { ( (3x+2)>0 ),( 1/(e^x) >0 ):}=>{ ( x> -2/3 ),( 1/(e^x) >0 ):}=>{ ( x> -2/3 ),( AA x in R):} => x> -2/3$
Caso 2
Senza fare calcoli, si conclude che la funzione per il caso $if x<0$, verrà studiata dal punto $x<-2/3$
Considerazioni
Se non erro, da $x<-2/3$ a $-oo$, essendo un valore assoluto e quindi sempre sopra l'asse reale, alla fine dei calcoli, dovrò ribaltare il grafico, sopra l'asse delle $x$, giusto??
In aggiunta dico anche che in $x=-2/3$, la funzione cambia di definizione, quindi in questo punto della funzione, ci potrebbero essere flessi, cuspidi ecc.! Vero?
Quindi in questo caso, conviene subito fare la verifica sulla continuità della funzione, calcolando i limiti e $f(x_0)$ ......, così saprò se la funzione ha dei comportamenti strani. Vero????
Allora verifico se ci sono punti angolosi:
$ f(x) = { ( (3x+2)e^(-x) if x>=-2/3 ),( -(3x+2)e^(-x) if x<=-2/3 ):}=>{ ( Caso1 ),( Caso2 ):} $
Caso 1
$ lim_(x -> (-2/3)^+) (3x+2)e^(-x) = 0 $
$ f(-2/3)=(3x+2)e^(-x) = 0 $
Si ha continuità a destra.
$ f'(x)=3e^(-x) - e^(-x)(3x+2) $ allora $ f'(-2/3)=5.84 $
Caso 2
$ lim_(x -> (-2/3)^-) (-3x-2)e^(-x) = 6.49 $
$ f(-2/3)=(-3x-2)e^(-x) = 6.49$
Si ha continuità a sinistra.
$ f'(x)=-3e^(-x) + e^(-x)(3x+2) $ allora $ f'(-2/3)= -5.84 $
Allora essendo diversi i valori delle derivate, ci sarà un punto angoloso!
Limiti Caso 1
$lim_(x->+oo) (3x+2)e^(-x) = 0$ allora $y=0$ è asintoto orizzontale.
Limiti Caso 2
$lim_(x->-oo) (-3x-2)e^(-x) = +oo$ ci potrebbero essere asintoti obbliqui per questo secondo caso, mi viene in mente che potrebbero non esserci asintoti abbliqui, penso che per il fatto di quel punto angoloso e per il fatto che c'è quella continuità a destre per il caso 1 e continuità a sinistra per il caso 2, si ha un cambio di def. in $x=-2/3$, perchè mai devo andare a fare le verifica e perdere tempo? Si può dire che non possono esistere asintoti obbliqui!
Intersezioni con gli assi Caso 1
${ ( y=0 ),( (3x+2)e^(-x) = 0 ):}$ Questa equazione $(3x+2)e^(-x) = 0$ è impossibile per il fatto che $1/(e^x)=0$ è impossibile, non potrebbe mai essere zero, in quanto si arriverebbe a dire $1=0$ e il che impossibile!
${ ( x=0 ),( y=2*(1/(e^0)) = 2 ):}$ si ha un punto di intersezione in $P_1 = (0,2)$
Intersezioni con gli assi Caso 2
${ ( y=0 ),( (-3x-2)e^(-x) = 0 ):}$ Questa equazione $(-3x-2)e^(-x) = 0$ è impossibile per il fatto che $1/(e^x)=0$ è impossibile, non potrebbe mai essere zero, in quanto si arriverebbe a dire $1=0$ e il che impossibile!
${ ( x=0 ),( y=-2*(1/(e^0)) = -2 ):}$ si ha un punto di intersezione in $P_2 = (0,-2)$
Massimi e minimi Caso 1
$f'(x) = e^(-x)(1-3x)$ allora $ e^(-x)(1-3x)>0$ sarà $1/(e^(-x))>0 AA x in R$ e quindi $x<1/3$
$x_M=1/3 = 0.33$; $f(0.33) = 2.14$ il punto di massimo è in $P_M = (0.33,2.14)$
Massimi e minimi Caso 2
$f'(x) = e^(-x)(3x-1)$ allora $ e^(-x)(3x-1)>0$ sarà $1/(e^(-x))>0 AA x in R$ e quindi $x>1/3$
$x_m=1/3 = 0.33$; $f(0.33) = -2.14$ il punto di minimo è in $P_m = (0.33,-2.14)$
Adesso qual'è la regola che mi fa vedere se ci sono delle tangenti per entrambi i casi???
Concavità e flessi Caso 1
$f''(x) = e^(-x)(4-3x)$ allora $e^(-x)(4-3x)>0$ ; $e^(-x)>0 AA x in R$ e $x<4/3$ , si ha un flesso in $x= 4/3$ ; $f(4/3) = 1.58$ e si ha un punto di flesso in $P_f = (1.33,1.58)$
Concavità e flessi Caso 2
$f''(x) = e^(-x)(4-3x)$ allora $e^(-x)(4-3x)>0$ ; $e^(-x)>0 AA x in R$ e $x<4/3$ , si ha un flesso in $x= 4/3$ ; $f(4/3) = -1.58$ e si ha un punto di flesso in $P_f = (1.33,-1.58)$
E adesso abbiamo tutto ciò che serve per poter disegnare il grafico!
Cosa ne dite?
Potreste aiutarmi a vedere dove ho fatto considerazioni sbagliate????
$f(x) = |3x+2|e^-x$
Ho trovato che il suo dominio è tutto $R$, e mi sembrà ovvio in quanto qualsiasi valore alla $x$, non comporta un annullamento della funzione, bene, ma allora perchè nella seguente funzione $f(x) = e^(|(x-1)/(x)|$, non si potrebbe dire lo stesso?
Lasciamo stare il fatto che si devono stidiare i due casi, bene, ma ad un esponenziale, io potrò dare qualsiasi valore, non si annulla mai, anche perchè la base dell'esponenziale è $>1$.
Perchè
Intanto comincio a impostare gli step risolutivi e spero di fare bene, poi mi dirai della scorciatoia:
Pari o dispari
$f(-x) = |-3x+2|e^-x != f(x) $
Non è pari e ne dispari.
Esame della formula
$ |3x+2|e^-x = { ( (3x+2)e^-x if x>0),( -(3x+2)e^-x if x<0 ):} $
Si può studiare un solo caso, oppure devo fare tutti i calcoli?
Caso 1
$(3x+2)e^-x if x>0$
$(3x+2)e^-x >0$ porta a $(3x+2)>0; 1/(e^x) >0$
$ { ( (3x+2)>0 ),( 1/(e^x) >0 ):}=>{ ( x> -2/3 ),( 1/(e^x) >0 ):}=>{ ( x> -2/3 ),( AA x in R):} => x> -2/3$
Caso 2
Senza fare calcoli, si conclude che la funzione per il caso $if x<0$, verrà studiata dal punto $x<-2/3$
Considerazioni
Se non erro, da $x<-2/3$ a $-oo$, essendo un valore assoluto e quindi sempre sopra l'asse reale, alla fine dei calcoli, dovrò ribaltare il grafico, sopra l'asse delle $x$, giusto??
In aggiunta dico anche che in $x=-2/3$, la funzione cambia di definizione, quindi in questo punto della funzione, ci potrebbero essere flessi, cuspidi ecc.! Vero?
Quindi in questo caso, conviene subito fare la verifica sulla continuità della funzione, calcolando i limiti e $f(x_0)$ ......, così saprò se la funzione ha dei comportamenti strani. Vero????
Allora verifico se ci sono punti angolosi:
$ f(x) = { ( (3x+2)e^(-x) if x>=-2/3 ),( -(3x+2)e^(-x) if x<=-2/3 ):}=>{ ( Caso1 ),( Caso2 ):} $
Caso 1
$ lim_(x -> (-2/3)^+) (3x+2)e^(-x) = 0 $
$ f(-2/3)=(3x+2)e^(-x) = 0 $
Si ha continuità a destra.
$ f'(x)=3e^(-x) - e^(-x)(3x+2) $ allora $ f'(-2/3)=5.84 $
Caso 2
$ lim_(x -> (-2/3)^-) (-3x-2)e^(-x) = 6.49 $
$ f(-2/3)=(-3x-2)e^(-x) = 6.49$
Si ha continuità a sinistra.
$ f'(x)=-3e^(-x) + e^(-x)(3x+2) $ allora $ f'(-2/3)= -5.84 $
Allora essendo diversi i valori delle derivate, ci sarà un punto angoloso!
Limiti Caso 1
$lim_(x->+oo) (3x+2)e^(-x) = 0$ allora $y=0$ è asintoto orizzontale.
Limiti Caso 2
$lim_(x->-oo) (-3x-2)e^(-x) = +oo$ ci potrebbero essere asintoti obbliqui per questo secondo caso, mi viene in mente che potrebbero non esserci asintoti abbliqui, penso che per il fatto di quel punto angoloso e per il fatto che c'è quella continuità a destre per il caso 1 e continuità a sinistra per il caso 2, si ha un cambio di def. in $x=-2/3$, perchè mai devo andare a fare le verifica e perdere tempo? Si può dire che non possono esistere asintoti obbliqui!
Intersezioni con gli assi Caso 1
${ ( y=0 ),( (3x+2)e^(-x) = 0 ):}$ Questa equazione $(3x+2)e^(-x) = 0$ è impossibile per il fatto che $1/(e^x)=0$ è impossibile, non potrebbe mai essere zero, in quanto si arriverebbe a dire $1=0$ e il che impossibile!
${ ( x=0 ),( y=2*(1/(e^0)) = 2 ):}$ si ha un punto di intersezione in $P_1 = (0,2)$
Intersezioni con gli assi Caso 2
${ ( y=0 ),( (-3x-2)e^(-x) = 0 ):}$ Questa equazione $(-3x-2)e^(-x) = 0$ è impossibile per il fatto che $1/(e^x)=0$ è impossibile, non potrebbe mai essere zero, in quanto si arriverebbe a dire $1=0$ e il che impossibile!
${ ( x=0 ),( y=-2*(1/(e^0)) = -2 ):}$ si ha un punto di intersezione in $P_2 = (0,-2)$
Massimi e minimi Caso 1
$f'(x) = e^(-x)(1-3x)$ allora $ e^(-x)(1-3x)>0$ sarà $1/(e^(-x))>0 AA x in R$ e quindi $x<1/3$
$x_M=1/3 = 0.33$; $f(0.33) = 2.14$ il punto di massimo è in $P_M = (0.33,2.14)$
Massimi e minimi Caso 2
$f'(x) = e^(-x)(3x-1)$ allora $ e^(-x)(3x-1)>0$ sarà $1/(e^(-x))>0 AA x in R$ e quindi $x>1/3$
$x_m=1/3 = 0.33$; $f(0.33) = -2.14$ il punto di minimo è in $P_m = (0.33,-2.14)$
Adesso qual'è la regola che mi fa vedere se ci sono delle tangenti per entrambi i casi???
Concavità e flessi Caso 1
$f''(x) = e^(-x)(4-3x)$ allora $e^(-x)(4-3x)>0$ ; $e^(-x)>0 AA x in R$ e $x<4/3$ , si ha un flesso in $x= 4/3$ ; $f(4/3) = 1.58$ e si ha un punto di flesso in $P_f = (1.33,1.58)$
Concavità e flessi Caso 2
$f''(x) = e^(-x)(4-3x)$ allora $e^(-x)(4-3x)>0$ ; $e^(-x)>0 AA x in R$ e $x<4/3$ , si ha un flesso in $x= 4/3$ ; $f(4/3) = -1.58$ e si ha un punto di flesso in $P_f = (1.33,-1.58)$
E adesso abbiamo tutto ciò che serve per poter disegnare il grafico!
Cosa ne dite?
Potreste aiutarmi a vedere dove ho fatto considerazioni sbagliate????
"Bad90":
perchè nella seguente funzione $f(x) = e^(|(x-1)/(x)|$, non si potrebbe dire lo stesso?
Semplicemente perché è presente un denominatore, che come sempre non deve annullarsi, quindi $$D=\left(-\infty, 0\right)\cup\left(0, +\infty\right)$$
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