Studio di funzione periodica

[Bad90]

Non sto riuscendo a capire come si fa la derivata prima della seguente funzione:
$f(x) = |cosx|+sin2x$

Mi sono affidato al WolframeAlpha e ho notato che mi scrive anche la derivata in questo modo:
$ f'(x) = 1/2|e^(-ix) +e^(ix)|+1/2ie^(-2ix) - 1/2ie^(2ix)$

Ma come ci si arriva?

Ecco il link:

[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=f'(x)%20%3D%20%7Ccosx%7C%2Bsin2x&t=crmtb01[/url]

[minomic]

No quella non è la derivata. E' che tu nel testo hai messo l'apostrofo dopo la $f$ e lui lo ha ripreso.
Comunque quella forma si ottiene dalla famosa Formula di Eulero.

[Bad90]

Scusami, ma allora cosa e' in sostanza?
Potresti aiutarmi a vedere come ci si arriva?

Se vedi nel link, mi scrive ance un'altra derivata !

Allora e' quella?

Cioè:

$f'(x) = sen(2x) + sqrt(cos^2x)$

Dici che è questa???

[minomic]

Ti ripeto: non ti ha derivato proprio nulla. Ti ha messo l'apostrofo dopo la $f$ perchè tu lo avevi messo nel testo che hai inserito. Lui lo ha solo ricopiato. Quelle due "alternate forms" sono due modi per scrivere la funzione che tu gli hai dato; lui non ha derivato niente.

[Bad90]

"minomic":Ti ripeto: non ti ha derivato proprio nulla. Ti ha messo l'apostrofo dopo la $f$ perchè tu lo avevi messo nel testo che hai inserito. Lui lo ha solo ricopiato. Quelle due "alternate forms" sono due modi per scrivere la funzione che tu gli hai dato; lui non ha derivato niente.

Ok, ho capito perfettamente!

Mi puoi far vedere allora come si arriva a scrivere la funzione in quel modo?

Se parto da questa scritta in questo modo:

$f(x) = |cosx|+sin2x$

Come faccio a scriverla in questo modo?

$ f'(x) = 1/2|e^(-ix) +e^(ix)|+1/2ie^(-2ix) - 1/2ie^(2ix)$

Mi puoi perfavore insegnare a fare i passaggi?

[minomic]

Certo! Dunque la formula di Eulero afferma che \[e^{ix} = \cos x + i\sin x\] Da questa si ricava immediatamente \[e^{-ix} = \cos(-x) + i\sin(-x) = \cos x - i\sin x\] dove l'ultima uguaglianza è giustificata dal fatto che il coseno è pari mentre il seno è dispari.
Sommando i due membri di destra si ottiene \[\cos x + i\sin x + \cos x - i\sin x = 2\cos x\] quindi se si vuole il coseno è sufficiente prendere questa somma e dividerla per $2$. Ma sommare i membri di destra equivale ovviamente a sommare i membri di sinistra (è una sorta di somma membro-a-membro), quindi \[2\cos x = e^{ix} + e^{-ix} \quad \Rightarrow \quad \cos x = \frac{e^ {ix} + e^{-ix}}{2}\] Analogamente si ricava l'espressione per il seno.

[Bad90]

Ma perche' la funzione $arctg x$ e' dispari????

[minomic]

Perché $$\arctan(-x) = -\arctan(x)$$

[Bad90]

Ho la seguente funzione:
$f(x) = log(1+sinx+|sinx|)$
So che l'argomento deve essere:

$(1+sinx+|sinx|)>0$

MA come bisogna risolvere il seguente sistema??

${ ( 1+sinx+sinx if 0
Ovviamente se ho impastato bene il sistema!! é impostato correttamente???

Ho provato a risolverlo in questo modo:

${ ( 1+sinx+sinx>0 if 00 if pi { ( 0

Cita

Segnala

[minomic]

Vedo subito un errore nella seconda: rimane $1>0$ che è vera $\forall x \in RR$.

[Bad90]

"minomic":Vedo subito un errore nella seconda: rimane $1>0$ che è vera $\forall x \in RR$.

Ero insicuro ed ho messo che l'insieme era vuoto! Perfetto, ti ringrazio!

[Bad90]

Ehi, minomic , ma secondo te questa funzione $f(x) = log(1+sinx+|sinx|)$ , è pari o dispari???

Io ho pensato che fosse pari:

$f(-x) = log(1-sinx+|-sinx|)= log(1-sinx+sinx)=f(x)$

Solo che non capisco perchè devo studiarla per forza in $2pi$, se essendo pari, dovrebbe avere un simmetrico rispetto alla $y$, vero?

Poi ho pensato che essendo pari, ha come conseguenza che sarà sempre positiva, vero?

[minomic]

Comunque è sbagliata anche la prima disequazione...

Per quanto riguarda la parità... vediamo! $$\begin{aligned}f(-x) &= \log\left[1+\sin(-x)+|\sin(-x)|\right] = \log\left[1-\sin x + |-\sin(x)|\right] = \\ &= \log\left[1-\sin x + |\sin x|\right]\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}
-f(x) = -\log\left[1+\sin x + |\sin x|\right]
\end{aligned}$$ Quindi non è nè pari nè dispari.

[Bad90]

Scusami, ma perchè è sbagliata la prima disequazione??

${ ( 1+sinx+sinx>0 if 00 if pi { ( 0

Cita

Segnala

[minomic]

Perché rimane $$\sin x >-\frac{1}{2}$$ la cui soluzione è $$0\leq x<\frac{7}{6}\pi \vee \frac{11}{6}\pi

Cita

Segnala

[Bad90]

"minomic":Comunque è sbagliata anche la prima disequazione...

Per quanto riguarda la parità... vediamo! $$\begin{aligned}f(-x) &= \log\left[1+\sin(-x)+|\sin(-x)|\right] = \log\left[1-\sin x + |-\sin(x)|\right] = \\ &= \log\left[1-\sin x + |\sin x|\right]\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}
-f(x) = -\log\left[1+\sin x + |\sin x|\right]
\end{aligned}$$ Quindi non è nè pari nè dispari.

v
Non mi è tanto chiaro come hai fatto a dire che non è ne pari e ne dispari

Ma se io faccio il pari o dispari, ho:

$f(-x) = log(1-sinx+|-sinx|)= log(1-sinx+sinx)= log(1) = f(x)$

Non è corretto fare in questo modo????

[minomic]

Ma nella $f(x)$ che hai postato prima c'era $... 1+\sin x ...$
Poi in quella che hai scritto hai dimenticato il valore assoluto.

[Bad90]

"minomic":Perché rimane $$\sin x >-\frac{1}{2}$$ la cui soluzione è $$0\leq x<\frac{7}{6}\pi \vee \frac{11}{6}\pi

Ho visto che tu hai detto si può studiare in $[0,pi]$, ma questa possibilità di studio, perchè Quale regola ti permette di fare questo???

[minomic]

"Bad90":Ho visto che tu hai detto si può studiare in $[0,pi]$, ma questa possibilità di studio, perchè Quale regola ti permette di fare questo???

No no io non ho detto che la funzione si può studiare in quell'intervallo! Ho solo detto che quella disequazione era valida in quell'intervallo come anche tu hai scritto nell' $if$.

[Bad90]

"minomic":Ma nella $f(x)$ che hai postato prima c'era $... 1+\sin x ...$
Poi in quella che hai scritto hai dimenticato il valore assoluto.

Penso che adesso cominceranno delle botte e risposte ce ci faranno perdere
Ho scritto bene, ho solo fatto un passaggio in meno e ho scritto direttamente $-sinx$, lascia perdere, tu perchè dici che non è ne pari e ne dispari???

[Bad90]

"minomic":[quote="Bad90"]Ho visto che tu hai detto si può studiare in $[0,pi]$, ma questa possibilità di studio, perchè Quale regola ti permette di fare questo???

No no io non ho detto che la funzione si può studiare in quell'intervallo! Ho solo detto che quella disequazione era valida in quell'intervallo come anche tu hai scritto nell' $if$.[/quote]

Ok, ti riferivi alla disequazione, non allo studio di funzione

Scusami!

Ma ancora mi resta un dubbio....
Se faccio il grafico dei segni, vedo che la funzione in $[0, pi]$, ha soluzioni positiva in $0,pi$ e in $11/6pi,2pi$