Studio di funzione periodica

[Bad90]

Non sto riuscendo a capire come si fa la derivata prima della seguente funzione:
$f(x) = |cosx|+sin2x$

Mi sono affidato al WolframeAlpha e ho notato che mi scrive anche la derivata in questo modo:
$ f'(x) = 1/2|e^(-ix) +e^(ix)|+1/2ie^(-2ix) - 1/2ie^(2ix)$

Ma come ci si arriva?

Ecco il link:

[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=f'(x)%20%3D%20%7Ccosx%7C%2Bsin2x&t=crmtb01[/url]

[minomic]

Perché $f(-x) != f(x)$. A te viene uguale perché hai messo un meno di troppo. Tu hai scritto $f(-x) = log(1-sin x + |sin x|)$ e va bene. Però poi dici che questa è uguale a $f(x)$ quando invece $f(x)=log(1+sin x + |sin x|$. E' lì il problema!

[Bad90]

Per il pari ho dispari e meglio lasciar stare, altrimenti avremo un ben 100mila botte e risposte ed è un peccato perdere il filo del thread
Passiamo a risolvere la questione che io ho detto:

${ ( 1+sinx+sinx>0 if 00 if pi { ( 0
Se si fa il grafico dei segni, ho che la funzione in $[0,pi]$ tratto continuo e tratto tratteggiato da $[pi,2pi]$, ha come soluzioni della disequazione iniziale, con tratto continuo in $[0,7/6pi]vv[11/6pi,2pi]$ e tratto discontinuo in $[7/6pi,11/6pi]$, cosa ne dici

Dal grafico dei segni, viene fuori che$ ( 0

Cosa ne dici

Non penso di aver sbagliato, ma se riesci a farmi cambiare idea, ti offro un bel caffè!

[minomic]

Ovviamente parliamo della prima, giusto? Anche perché l'altra non pone problemi.
Sinceramente non capisco molto il discorso del continuo-tratteggiato, ma non credo sia necessario. Tu hai semplicemente questa disequazione $$\sin x > -\frac{1}{2}$$ Qual è la sua soluzione? E' $$0\leq x < \frac{7}{6}\pi \vee \frac{11}{6}\pi
PS. Il caffè mi piace amaro...

[Bad90]

"minomic":

PS. Il caffè mi piace amaro...

Vediamo, se riesco a capire...
Quello che dici va bene e lo comprendo quando devo dire semplicemente che la disequazione deve essere $senx> -1/2$, bene, in quel caso vale l'intervallo che hai detto, bene, e se faccio il grafico x ed y, ho una linea continua da $0$ a $7/6pi$, pi tratteggiata da $7/6pi$ a $11/6pi$, poi continua da $11/6pi$ a $2pi$.
Se io impongo la condizione che deve essere in $0,pi$, mi sembra ovvio che avrò un tratto continuo in questo $if$, che sia continuo da $0$ a $pi$, bene, allora se fai l'intersezione, cosa ne verrà fuori???


Se vinco io voglio due caffe?

[Bad90]

"minomic":Perché $f(-x) != f(x)$. A te viene uguale perché hai messo un meno di troppo. Tu hai scritto $f(-x) = log(1-sin x + |sin x|)$ e va bene. Però poi dici che questa è uguale a $f(x)$ quando invece $f(x)=log(1+sin x + |sin x|$. E' lì il problema!

Ho aspettato pazientemente il consiglio di un mio caro amico, con un tocco di classe ed eleganza si rende comprensibile anche il concetto più complicato:

$f(-x)=log(1-sinx+|-sinx|)=log(1-sinx+|sinx|)!=f(x)$
E quindi non ci sono simmetrie. Il $!=$ deriva dal fatto che un addendo cambia segno e gli altri no. Non puoi togliere il valore assoluto perché non sai il segno del suo contenuto.
In assenza di simmetrie, scelgo come CS $[0,2pi]$.

Allora cosa ne dici???

[Bad90]

"minomic":. Ora andiamo a fare l'intersezione di questa soluzione con la condizione ($if$) corrispondente e troviamo $0
PS. Il caffè mi piace amaro...

Ho pensato ad una interpretazione corretta!

La disequazione $ 1+sinx+sinx>0 if 00$ e basta! Insomma, non si tratta di risolvere un sistema con il classico modo, ma è semplicemente un caso che si prende in considerazione, una volta positivo e una volta negativo.

Tu invece, non hai pensato di dirmi che stavo sbagliando ad interpretare il concetto, ma hai semplicemente confermato un mio errore, dicendo che:

Ora andiamo a fare l'intersezione di questa soluzione con la condizione ($if$) corrispondente e troviamo $0

Penso che il caffè te lo dovrò offrire per forza, perchè non è la prima volta che mi aiuti, ma questa volta ti impongo di prenderlo extra zucchero

[minomic]

"Bad90":Allora cosa ne dici???

Per me tu facevi l'errore nel primo dei due seni: nella $f(x)$ ha segno $+$ mentre nella $f(-x)$ ha segno $-$.

[minomic]

"Bad90":[quote="minomic"]
Tu invece, non hai pensato di dirmi che stavo sbagliando ad interpretare il concetto, ma hai semplicemente confermato un mio errore, dicendo che:

Ora andiamo a fare l'intersezione di questa soluzione con la condizione ($if$) corrispondente e troviamo $0

[/quote]
Secondo me la fai più complessa di quanto sia... Io ho solo risolto la disequazione $\sin x > -1/2$ e poi ho tenuto i pezzi della soluzione che cadevano nell'intervallo $(0,pi)$.

[Bad90]

"minomic":
Secondo me la fai più complessa di quanto sia... Io ho solo risolto la disequazione $\sin x > -1/2$ e poi ho tenuto i pezzi della soluzione che cadevano nell'intervallo $(0,pi)$.

Facciamo un grafico dei segni perchè stai continuando a creare confusione:

$0
$0.................pi..................2pi$
$++++++ ------$

$senx> -1/2$ ha :

$0................pi......7/6pi.......... 11/6pi.........2pi$
$+++++++++ ---+++++$

Se adesso faccio l'intersezione, cosa ne verrà fuori??

Che avrò una linea continua comune a entrambi per

Dimmelo tu come risolveresti il sistema?!?!?

[minomic]

"Bad90":

Facciamo un grafico dei segni perchè stai continuando a creare confusione:

$0
$0.................pi..................2pi$
$++++++ ------$

Guarda, se ti creo confusione posso anche smettere di rispondere che non ho problemi. Però ciò che tu dici è sbagliato. Ti ripeto per l'ennesima volta che $0 -1/2$ e poi INTERSECARE le sue soluzioni con l'intervallo $0 Io non so davvero come dirtelo ma non ci interessa fare lo studio dei segni, bensì lo studio delle INTERSEZIONI tra la soluzione della disequazione $sin x > -1/2$ e l'intervallo $(0,pi)$

[Bad90]

Ma non sei tu che crea confusione , bensi io !
Non voglio che smetti di rispondermi, ti devo ringraziare per le risposte che dai, continua e te ne ringrazio!
Solo che adesso ti devo offrire il caffe ' e pure amaro!

Grazie minomic, adesso ho capito!

[minomic]

Ah ok! Allora grazie per il caffè.
Nel frattempo, anche se hai già detto di aver capito, ho pensato una cosa: puoi vedere quell'esercizio come la seguente domanda: "quali sono gli angoli appartenenti all'intervallo $(0,pi)$ tali che il loro seno sia maggiore di $-1/2$?" La risposta è ovviamente "tutti", perché tutti gli angoli appartenenti a $(0,pi)$ hanno seno positivo, quindi certamente maggiore di $-1/2$.

[Bad90]

Ho capito, stai puntando al secondo caffe'!
Ok, ti ringrazio!

[Bad90]

Adesso ho cominciato la seguente:

$f(x)=log((2|x|-1)/(x+2))^2$

Allora, ho pensato che fosse pari, ma il testo dice no !

Io ho pensato di studiare il caso per $x>0$ con dominio $x>1/2$ , e poi per $x<0$ di con dominio $-2
Potete aiutarmi a determinare il dominio?

Perche' non e' pari?

Ecco cosa mi dice:

[minomic]

Ben ritrovato!
Partiamo dal dominio e procediamo una cosa alla volta. Quando mi dici che hai capito passiamo a quella successiva, così manteniamo un po' di ordine, ok?

L'argomento del logaritmo è un quadrato, quindi dovremo imporre che questa frazione che viene messa al quadrato ESISTA e NON SI ANNULLI. Per l'esistenza dovremo porre il denominatore diverso da zero, quindi $$x \neq -2$$ Poi abbiamo detto che la frazione non deve annullarsi, quindi $$2|x|-1 \neq 0 \quad\rightarrow\quad |x| \neq \frac{1}{2} \quad\rightarrow\quad x \neq \pm \frac{1}{2}$$ che è il risultato proposto dal tuo libro.

Tutto chiaro fin qui?

[Bad90]

ok, procediamo!

[minomic]

Bene, ora guardiamo parità/disparità. Calcoliamo $f(-x)$ e $-f(x)$. $$f(-x) = \log\left(\frac{2|-x|-1}{-x+2}\right)^2$$ $$-f(x) = -\log\left(\frac{2|x|-1}{x+2}\right)^2 = \log\left(\frac{2|x|-1}{x+2}\right)^{-2}$$ Possiamo dire che $$f(x) \neq f(-x)$$ perché quel meno a denominatore davanti alla $x$ rende le due funzioni generalmente diverse. Inoltre si vede chiaramente che in generale $$f(-x) \neq -f(x)$$ In conclusione la funzione non è né pari né dispari.

[Bad90]

perfetto, adesso procedo a risolverla e poi ti faccio sapere!
Ti ringrazio!

[Bad90]

Ho calcolato i limiti e sono arrivato alla giusta conclusione, solo che non sono sicuro di aver penato bene:

$lim_(x->+(1/2)^+) log((2x+1)/(x+2))^2$
$lim_(x->+(1/2)^-) log((2x+1)/(x+2))^2$

$lim_(x->-(1/2)^+) log((2(-x)+1)/(x+2))^2$
$lim_(x->-(1/2)^-) log((2(-x)+1)/(x+2))^2$

Come si calcolano per arrivare alla giusta conclusione???

[minomic]

Al numeratore ci va $-1$.