Numeri complessi: esercizi...
buona sera a tutti, avrei dei semplici esercizi sui numeri complessi di cui non capisco dei piccoli dettagli, ad esempio:
trovare la parte immaginaria di: $Imm((sqrt3/2+i)/(2-i))=$ $(sqrt3+2i)/(2-i)*(2+i)/(2+i)=$ $(2sqrt3-2+sqrt3i+4i)/5$ $rArr$ $((sqrt3+4)/5)i$ però sul libro non mi trovo, da come risultato: $((sqrt3+4)/10)i$ dove ho sbagliato? i calcoli sembrano fatti bene, li ho ricontrollati più volte.....
trovare la parte immaginaria di: $Imm((sqrt3/2+i)/(2-i))=$ $(sqrt3+2i)/(2-i)*(2+i)/(2+i)=$ $(2sqrt3-2+sqrt3i+4i)/5$ $rArr$ $((sqrt3+4)/5)i$ però sul libro non mi trovo, da come risultato: $((sqrt3+4)/10)i$ dove ho sbagliato? i calcoli sembrano fatti bene, li ho ricontrollati più volte.....
Risposte
Hai dimenticato un 2 a denominatore. Il calcolo è
$=(sqrt 3+2i)/2*1/(2-i)*(2+i)/(2+i)=...$
$=(sqrt 3+2i)/2*1/(2-i)*(2+i)/(2+i)=...$
"domy90":
buona sera a tutti, avrei dei semplici esercizi sui numeri complessi di cui non capisco dei piccoli dettagli, ad esempio:
trovare la parte immaginaria di: $Imm((sqrt3/2+i)/(2-i))=$ $(sqrt3+2i)/(2-i)*(2+i)/(2+i)=$ $(2sqrt3-2+sqrt3i+4i)/5$ $rArr$ $((sqrt3+4)/5)i$ però sul libro non mi trovo, da come risultato: $((sqrt3+4)/10)i$ dove ho sbagliato? i calcoli sembrano fatti bene, li ho ricontrollati più volte.....
All'inizio, al numeratore, hai moltiplicato per 2 senza dividere per 2, ottenendo quindi una espressione diversa da quella data. Infatti se dividi per 2 il tuo risultato ti viene corretto (solo in questo caso però).
In ogni caso, che io sappia, la parte immaginaria di un numero complesso è il coefficente dell'unità immaginaria, ovvero la parte immaginaria è un numero reale (correggetemi se sbaglio!) Non capisco quindi perchè il libro ti dia l'unità immaginaria nel risultato.
"giammaria":
Hai dimenticato un 2 a denominatore. Il calcolo è
$=(sqrt 3+2i)/2*1/(2-i)*(2+i)/(2+i)=...$
ecco perchè, ho fatto il m.c.m. all'inizio ma non ho lasciato il denominatore....
"raffamaiden":
In ogni caso, che io sappia, la parte immaginaria di un numero complesso è il coefficente dell'unità immaginaria, ovvero la parte immaginaria è un numero reale (correggetemi se sbaglio!) Non capisco quindi perchè il libro ti dia l'unità immaginaria nel risultato.
si si hai ragione infatti ho sbagliato pure a riportare il risultato del libro perdonatemi...
poi dello stesso numero ne devo calcolare il valore assoluto e cioè: $|(sqrt3/2+i)/(2-i)|$; dunque devo fare il valore assoluto di $|(sqrt3-1)/5+(sqrt3+4)/10i|$..
dire fare il valore assoluto equivale alla radice quadrata e quindi: $sqrt((sqrt3-1)/5+(sqrt3+4)/10i)$ dunque elevo tutto al quadrato:
$sqrt(((sqrt3-1)/5)^2+((sqrt3+4)/10i)^2)= sqrt(((3-2sqrt3+1)/25)+(-(3+8sqrt3+16)/100)$ $=sqrt((4-2sqrt3)/25-(19+8sqrt3)/100)= sqrt((16-8sqrt3-19-8sqrt3)/100)=$ $sqrt((-3-16sqrt3)/100)$
però arrivato a questo punto credo di aver mancato qualcosa perchè non si trova....
dire fare il valore assoluto equivale alla radice quadrata e quindi: $sqrt((sqrt3-1)/5+(sqrt3+4)/10i)$ dunque elevo tutto al quadrato:
$sqrt(((sqrt3-1)/5)^2+((sqrt3+4)/10i)^2)= sqrt(((3-2sqrt3+1)/25)+(-(3+8sqrt3+16)/100)$ $=sqrt((4-2sqrt3)/25-(19+8sqrt3)/100)= sqrt((16-8sqrt3-19-8sqrt3)/100)=$ $sqrt((-3-16sqrt3)/100)$
però arrivato a questo punto credo di aver mancato qualcosa perchè non si trova....
Sia $z in CC$ generico. Allora $z=a+ ib$, $a,b in RR$.
La definizione di modulo (o di valore assoluto) di un numero complesso è la seguente:
$|z|=|a+ib|=sqrt(a^2+b^2)$
Nel nostro caso, $a=(sqrt(3)-1)/5$, $b=(sqrt(3)+4)/10$
Pertanto $|(sqrt(3)-1)/5+(sqrt(3)+4)/10i|=sqrt([(sqrt(3)-1)/5]^2+[(sqrt(3)+4)/10]^2)$
Il tuo errore è stato quello di portare dentro anche la $i$, che ti ha fatto sbagliare dei calcoli.
Ok?
P.S.: Il risultato dovrebbe venire $sqrt(35)/10$
La definizione di modulo (o di valore assoluto) di un numero complesso è la seguente:
$|z|=|a+ib|=sqrt(a^2+b^2)$
Nel nostro caso, $a=(sqrt(3)-1)/5$, $b=(sqrt(3)+4)/10$
Pertanto $|(sqrt(3)-1)/5+(sqrt(3)+4)/10i|=sqrt([(sqrt(3)-1)/5]^2+[(sqrt(3)+4)/10]^2)$
Il tuo errore è stato quello di portare dentro anche la $i$, che ti ha fatto sbagliare dei calcoli.
Ok?
P.S.: Il risultato dovrebbe venire $sqrt(35)/10$
no credo che hai sbagliato esce: $sqrt(35/100) rarr sqrt(7/20)$...
È preferibile scrivere la forma $sqrt(35/100)$ senza radice a denominatore, quindi $sqrt35/sqrt100=sqrt35/10$ piuttosto che semplificare e mantenere numeratore e denominatore all'interno della radice $sqrt(7/20)$
capito, no perchè il libro mi riporta il risultato $sqrt(7/20)$... è un errore oppure "andrebbe" bene?
Si tratta solo di una scelta nella rappresentazione del risultato.
ok ho capito grazie a tutti per gli aiuti.....
poi volevo passare ad un'altra tipologia di esercizi (sempre sui numeri complessi):
calcolare la potenza di:
$(-sqrt2+sqrt2i)^3$ scrivo tutto in forma trigonometrica:
$rho: sqrt((-sqrt2)^2+(sqrt2)^2)= 2$
$cos theta: -sqrt2/2$
$sin theta: (sqrt2)/2$ dunque $theta=-3/4 pi$, per cui ora posso scrivere con la prima formula di De Moivre: $Z^3=[2^3;3*(-3/4pi)] rArr [2^3;-9/4pi]$ però ora non riesco a portare tutto in forma algebrica dato che $-9/4pi$ non è un angolo noto..... il libro lo calcola lo stesso, ma io non ci riesco, come posso fare?....
poi volevo passare ad un'altra tipologia di esercizi (sempre sui numeri complessi):
calcolare la potenza di:
$(-sqrt2+sqrt2i)^3$ scrivo tutto in forma trigonometrica:
$rho: sqrt((-sqrt2)^2+(sqrt2)^2)= 2$
$cos theta: -sqrt2/2$
$sin theta: (sqrt2)/2$ dunque $theta=-3/4 pi$, per cui ora posso scrivere con la prima formula di De Moivre: $Z^3=[2^3;3*(-3/4pi)] rArr [2^3;-9/4pi]$ però ora non riesco a portare tutto in forma algebrica dato che $-9/4pi$ non è un angolo noto..... il libro lo calcola lo stesso, ma io non ci riesco, come posso fare?....
$-9/4 pi=-2pi-pi/4$: è un angolo noto, e questo succede tutte le volte che l'angolo di partenza è un angolo speciale.
Trattandosi di un'elevazione solo al cubo, io avrei preferito usare il cubo del binomio, previo mettere in evidenza $sqrt 2$:
$=(sqrt 2)^3*(-1+i)^3=2 sqrt 2(-1+3i-3i^2+i^3)=...$
Trattandosi di un'elevazione solo al cubo, io avrei preferito usare il cubo del binomio, previo mettere in evidenza $sqrt 2$:
$=(sqrt 2)^3*(-1+i)^3=2 sqrt 2(-1+3i-3i^2+i^3)=...$
"giammaria":
$-9/4 pi=-2pi-pi/4$: è un angolo noto, e questo succede tutte le volte che l'angolo di partenza è un angolo speciale.
ho capito il $-pi/4$ da dove ne deriva mentre il $-2pi$ non ho capito perchè si sceglie; facendo le perazioni ci serve per arrivare a $-9/4pi$;
però se ho un altro angolo che deriva sempre da uno speciale come faccio a scomporlo facilmente, devo provare con tutti gli angoli noti?
Questo è un argomento che dovresti aver studiato all'inizio della trigonometria; se guardi sui tuoi quaderni di allora, lo trovi quasi certamente. Comunque vediamo una regola semplice, valida quando gli angoli sono una frazione $p/q$ di $pi$, con $p>q$. Comincia a calcolare la divisione $p:q$, arrotondando il risultato ad un intero che chiamerò $n$. Io arrotondo sempre all'intero più vicino, ma si può scegliere fra i due interi fra cui la frazione è compresa ed alcuni preferiscono altri criteri. Ora scriviamo $p/q pi=n pi+(...)/q pi$ in cui, al posto dei puntini, metti il numero che rende vera l'uguaglianza; può essere positivo o negativo, a seconda che l'arrotondamento sia stato per difetto o per eccesso. A questo punto non ti è difficile capire in quale punto del cerchio goniometrico ti trovi: se $n$ è pari, indica dei giri interi e lo puoi trascurare, mentre se è dispari indica giri interi più mezzo giro.
Se nella frazione iniziale c'è il segno meno, hai due possibilità: o fare gli stessi calcoli usando numeri negativi, o lasciare il meno in evidenza e ragionare sui positivi.
Se nella frazione iniziale c'è il segno meno, hai due possibilità: o fare gli stessi calcoli usando numeri negativi, o lasciare il meno in evidenza e ragionare sui positivi.
ma ora nell'esercizio devo prendere quindi $-pi/4$?
cioè: $Z^3=[2^3;-pi/4] rarr 2^3*(cos-pi/4+i*sin-pi/4)$? solo che non si trova......
cioè: $Z^3=[2^3;-pi/4] rarr 2^3*(cos-pi/4+i*sin-pi/4)$? solo che non si trova......
Non ci avevo fatto caso, ma hai sbagliato $theta$: se il seno è positivo e il coseno negativo, siamo nel secondo quadrante: $theta=+(3pi)/4$
ok, infatti volevo dire che non mi tornava l'angolo (andavo a finire nel quarto quadrante)... comunque mi trovo: $8+8i$ il libro lo risolve direttamente nel modo che hai consigliato, quindi:
$Z^3=(-sqrt2+sqrt2i)^3$
$= (sqrt2)^3(-1+i)^3$
$=2sqrt2(-1+i+3i+3)$
$=2sqrt2(2+4i) rarr sqrt2(4+4i)$
ora come posso dimostrare che i due risultati sono la stessa cosa?
$Z^3=(-sqrt2+sqrt2i)^3$
$= (sqrt2)^3(-1+i)^3$
$=2sqrt2(-1+i+3i+3)$
$=2sqrt2(2+4i) rarr sqrt2(4+4i)$
ora come posso dimostrare che i due risultati sono la stessa cosa?
Lo puoi dimostrare correggendo il segno nei calcoli precedenti. Abbiamo $Z^3=[2^3, (9pi)/4]$ e sappiamo che $(9pi)/4=2pi+pi/4$, quindi la formula di De Moivre dà
$Z^3=2^3[cos(9pi/4)+isen(9pi/4)]=8[cos(pi/4)+isen(pi/4)]=8( (sqrt2)/2+i(sqrt2)/2)=8*(sqrt2)/2(1+i)$
e semplificando ottieni il precedente risultato.
P.S.: i tuoi ultimi calcoli contengono alcuni errori; i calcoli giusti sono
$Z^3=(sqrt2)^3(-1+i)^3=2sqrt2(-1+i^3+3i-3i^2)=2sqrt2(-1-i+3i+3)=2sqrt2(2+2i)=4sqrt2(1+i)$
$Z^3=2^3[cos(9pi/4)+isen(9pi/4)]=8[cos(pi/4)+isen(pi/4)]=8( (sqrt2)/2+i(sqrt2)/2)=8*(sqrt2)/2(1+i)$
e semplificando ottieni il precedente risultato.
P.S.: i tuoi ultimi calcoli contengono alcuni errori; i calcoli giusti sono
$Z^3=(sqrt2)^3(-1+i)^3=2sqrt2(-1+i^3+3i-3i^2)=2sqrt2(-1-i+3i+3)=2sqrt2(2+2i)=4sqrt2(1+i)$
ah ecco, mi confondo sempre con gli angoli!!!!!
cambiando esercizio e cioè: $Z^4=(1+sqrt3i)$
$rho=sqrt(1+3)=2$
$cos theta=1/2$
$sen theta=sqrt3/2$ quindi è ovviamente un angolo noto di valore $theta=pi/3$ e riscrivo $Z^4$ in forma trigonometrica:
$Z^4=[2;pi/3]^4=[2^4;4/3pi]$ riscrivo in forma algebrica:
$Z^4=2^4(cos (pi/3)+i sin (pi/3))=16(1/2+i sqrt3/2)=8+8 sqrt3 i= 8(1+sqrt3i)$ non mi trovo con il segno, il libro riporta $-8(1+sqrt3i)$; ho ricontrollato più volte il valore di seno e coseno a $pi/3$ sono quelli, $4/3pi=pi+pi/3$ e dunque non capisco l'errore...
cambiando esercizio e cioè: $Z^4=(1+sqrt3i)$
$rho=sqrt(1+3)=2$
$cos theta=1/2$
$sen theta=sqrt3/2$ quindi è ovviamente un angolo noto di valore $theta=pi/3$ e riscrivo $Z^4$ in forma trigonometrica:
$Z^4=[2;pi/3]^4=[2^4;4/3pi]$ riscrivo in forma algebrica:
$Z^4=2^4(cos (pi/3)+i sin (pi/3))=16(1/2+i sqrt3/2)=8+8 sqrt3 i= 8(1+sqrt3i)$ non mi trovo con il segno, il libro riporta $-8(1+sqrt3i)$; ho ricontrollato più volte il valore di seno e coseno a $pi/3$ sono quelli, $4/3pi=pi+pi/3$ e dunque non capisco l'errore...
$Z^4=2^4[cos((4pi)/3)+isin((4pi)/3)]=16[cos(pi+pi/3)+isin(pi+pi/3)]=16[-cos(pi/3)-isin(pi/3)]=...$
già il meno si mette perchè a $pi+pi/3$ mi trovo nel terzo quadrante quindi seno e coseno sono negativi....
poi volevo chiedere nei calcoli di esercizi precedenti e successivi mi è capitato un $cos (-pi/2)+i sen (-pi/2)$ ora $-pi/2$ sarebbe $3/2pi$ giusto???
poi volevo chiedere nei calcoli di esercizi precedenti e successivi mi è capitato un $cos (-pi/2)+i sen (-pi/2)$ ora $-pi/2$ sarebbe $3/2pi$ giusto???
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